第2章__平面力系22

1、第第2 2章章 平面力系平面力系力系力系 平面力系平面力系 空间力系空间力系 汇交力系汇交力系 一般力系一般力系 汇交力系汇交力系 平行力系平行力系 平行力系平行力系 一般力系一般力系 2.1.2.1.平面一般力系平面一般力系 定义定义：作用在物体上的各力的作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行，这样的力系称为平面一般力系。如图起重机横梁。 GQFAyFAxFT 2.2 2.2 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影注意注意：力的投影是代数量，有正负之分。规定如下：如由a到b（或由a1到b1）的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。 AF

2、yoxBaba1b1FxFy 若已知力F F在直角坐标轴上的投影，则该力的大小和方向为： 若已知力F F 的大小为F，它和x轴的夹角为，则力在坐标轴上的投影可按下式计算：22coscosxyxyFFFFFFFcossinxyFFFF 合力投影定理合力投影定理 ：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。它是用解析法求解平面汇交力系合成与平衡问题的理论依据。 ynyyyyxnxxxxFFFFFFFFFF2121 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件 ：该力系的合力F F等于零，即力系中所有力在任选两个坐标轴上投影的代数和均为零。 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程

3、： 00yxFF 静力学平衡问题的一般方法和步骤静力学平衡问题的一般方法和步骤 ：（1）选择研究对象 （2）画受力图 （3）建立坐标系，根据平衡 条件列平衡方程 例1.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，F2=5000N，F3=3000N。试求合力。 解解 建立如图坐标系。分别计算各力的投影。112000 xFFN 22cos305000 0.8664330 xFFNN 03xF01yFNNFFy25005 . 0500030sin22NFFy3000332000433006330 xxFFNN NNFFyy55003000250002222633055008386xy

4、FFFNN 则合力的大小为：由合力投影定理可得：由于Fx、Fy都是负值，所以合力应在第三象限： cos/6330/83860.7548xFF41例例2.2.如图所示一简易起重机装置，重量G G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。 FGFABFACx xy解解: :取滑轮为研究对象，作出它的受力图并建立如图直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程： FGFABFACx xy030cos30sinGFFNA

5、C030sin30cosFFFNACNABcos3022 0.8667.46sin300.5NACGFFkNkN cos30sin30NABNACFFF 7.46 0.8662 0.55.46kNkN F FNACNAC为负值，表明F FNACNAC的实际指向与假设方向相反，其反作用力为AC杆所受的力，所以AC杆为受压杆件。 2.2.力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 力对点之矩力对点之矩 概念概念 ：力使物体产生转动效应转动效应的物理量称为力矩力矩。产生转动的中心点称为力矩中心（简称矩心），力的作用线到力矩中心的距离d称为力臂力臂，力使物体绕矩心转动的效应取决于力F的大小与力臂d的乘积及力矩的

6、转动方向。力对点之矩用M MO O（F F）来表示，即 ： FdFMO力矩是代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。规定力使物体绕矩心作逆时针逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。力矩的单位 是或 mkN mN 合力矩定理：合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。即： 1nOOiiMFMF 力对点之矩的求法力对点之矩的求法 方法方法1 1：用力矩的定义式定义式，即力和力臂的乘积求力矩。这种方法的关键在于确定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直垂直于力的作用线。 方法方法2 2：运用合力矩定理合力矩定理求力

7、矩。在工程实际中，有时力臂的几何关系较复杂，不易确定时，可将作用力正交分解为两个分力，然后应用合力矩定理求原力对矩心的力矩。 例：如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F F作用于C点，其方向角为 ，又知OB= ，BC= ，求力F F对O点的力矩。 hl解：解：用力矩的定义进行求解。过点O作出力F F作用线的垂线与其交于点a，则力臂d即为线段oa。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则: sincosOMFFdF obabF lh 力偶及其性质力偶及其性质它既不平衡，也不能合成为一个合力，只能使物体产生转动效应。力偶两个力所在的平面，称为力偶力偶作用面。作用面。两力作用线

8、之间的垂直距离，叫作力偶臂（力偶臂（以d来表示）。力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。力偶的转向。力偶对物体的转动效应，取决于力偶中的力与力偶臂的乘积，称为力偶矩。力偶矩。记作： 或M： 定义：定义：作用在物体上的一对大小相等、方向相反、作用线相互平行相互平行两个力称为力偶力偶，记作FF，FFM，FdFFM， 力偶同力矩一样，是一代数量。其正负号正负号只表示力偶的转动方向，规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。 力偶矩的单位单位是： 或 力偶矩的大小大小、转向转向和作用平面作用平面称为力偶的三要素力偶的三要素。 mN mkN 力偶的性质力偶的性质1.力偶无合力，力偶不能用一个力来等效，

9、也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。 力和力偶是组成力系的两个基本物理量。力和力偶是组成力系的两个基本物理量。2.力偶对其作用平面内 任一点的力矩，恒等 于其力偶矩，而与矩 心的位置无关。 如图所示： 3.力偶的等效性： 作用在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。推论推论1 1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应。即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。推论推论2 2 在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动效应。 3.3.平面力偶系的合成与平

10、衡平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 力偶对物体只产生转动效应，转动效应的大小取决于力偶矩的大小及转向。所以，物体内某一平面内受力偶系作用时，也只能使物体产生转动效应。力偶系对物体转动效应的大小等于各力偶转动效应的总和，即平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。合力偶矩用M表示： MMMMMn21 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。力偶系中各力偶矩的代数和等于零。 0M例1： 梁AB 受一主动力偶作用，如图，其力偶矩 ，梁长 ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。 mNM1005lm 解

11、解: :以梁为研究对象，受力图，如图所示。作用于梁上的有矩为M的力偶和两支座的约束反力F FA A、F FB B。根据力偶只能用力偶来平衡的性质可知F FA A必须与F FB B组成一个力偶，即力F FA A必须与F FB B大小相等、方向相反、作用线平行。 平衡方程为：0BF lM100/205ABFFM lNN例2： 电机轴通过联轴器与工件相连接，联轴器上四个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，如图示。此圆周的直径 ，电机轴传给联轴器的力偶矩 ，求每个螺栓所受的力。 150dmm2.5MkN m解：解：以联轴器为研究对象。联轴器上的力有力偶矩M M，四个螺栓的约束反力，假设四个

12、螺栓的受力均匀，则F1=F2=F3=F4=F，如图所示。由平面力偶系平衡条件可知，F F1 1与F F3 3 、F F2 2与F F4 4组成两个力偶，与电动机传给联轴器的力偶矩M M平衡。据平面力偶系的平衡方程 ：0FdFdM2.58.3322 0.15MFkNkNd 平面一般力系的简化平面一般力系的简化 1.1.力的平移定理力的平移定理FAOFF FF AOFF M=因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。等于原力对平移点的力矩。 FMFdFFMO ，d

13、d2.2.平面一般力系向平面内任意一点的简化平面一般力系向平面内任意一点的简化 作用于简化中心O点的平面汇交力系可合成为一个力，称为该力系的主矢主矢 ，其作用线过简化中心点O。各附加力偶组成的平面力偶系的合力偶矩，称为该力系的主主矩矩 。主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上,如图示。主矢的大小和方向为：RFxyyxyxRFFFFFFFtan2222OM3.3.简化结果及分析简化结果及分析结果结果：平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢和一个主矩，主矢的大小和方向与简化中心的选择无关。主矩的值一般与简化中心的选择有关。 分析分析：（1）若 ，则原力系简化为一个力和

14、一个力偶。在这种情况下，根据力的平移定理，这 个力和力偶还可以继续合成为一个合力F FR R，其作用 线离O点的距离为 ，利用主矩的转向来 确定合力F FR R的作用线在简化中心的哪一侧。00ORMF，/ORdMFOF FR R MoOF FR R d OMoF FR R OF FR R d (2)若 ，则原力系简化为一个力。在这种情况下，附加力偶系平衡，主矢即为原力系的合力F FR R，作用于简化中心。(3)若 ，则原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果与简化中心的选择无关。即无论力系向哪一点简化都是一个力偶，且力偶矩等于主矩。(4)若 ，则原力系是平衡

15、力系。 同理，如果力系是平衡力系，该力系的主矢、主矩必然为零。因此， 就是平面一般力平面一般力系平衡的必要与充分条件系平衡的必要与充分条件。 00ORMF，00ORMF，00ORMF，00ORMF，由此可由此可得平面得平面一般力一般力系的系的平平衡方程衡方程为为 ：00( )0 xyOFFMF例例1 1：求图示梁支座的约束反力。已知 ：2FkN2amaaaFFAB解:取梁为研究对象。受力图如图示。建立坐标系，列平衡方程：FyFxFByxFx- FBsin30=0 Fy+ FBcos30-2F=0-Fa-2Fa+ 3aFBcos30=000( )0 xyOFFMF即：求得：FB =2.3KN F

16、x = 1.15KN Fy =2KN5.5.平面平行力系平面平行力系 定义：定义：平面力系中各力的作用线互相平行，则称为平行力系，如图所示。F1F2F3F4F5yxo 平面平行力系的平衡方程：平面平行力系的平衡方程：如取坐标系中Oy轴与各力平行，各力在x轴上的投影恒等于零，即 因此，平面平行力系的平衡方程平衡方程为： 。0 xF 00FMFOy 00FMFMBA或式中式中A A、B B 两点连线不能与各力的作用线平行。两点连线不能与各力的作用线平行。 例例2 2：如图示为铁路起重机，起重机重力G1 1=500kN，重心C在两铁轨的对称面内，最大起重力F=200kN。为保证起重机在空载和满载时都

17、不致翻倒，求平衡重力G及其距离x。尺寸如图所示。 空载时，以A点为矩心，列平衡方程： GX-0.75G1 =0 (1) 解：设左边铁轨对起重机的支撑力为FA，左边铁轨对起重机的支撑力为FB。则：空载时，此时FB=0；满载时，FA=0。 满载时，以B点为矩心，列平衡方程： G(X+1.5)+0.75G1-6F =0 (2) 由（1）、（2）可得： G=300KN X=1.25m6.6.物体系统的平衡条件物体系统的平衡条件 由多个构件通过一定的约束组成的系统称为物物体系统体系统（物系）物系）。系统外部物体对系统的作用力称为物系外力物系外力；系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力物系内力。 在求

18、解物系的平衡问题时，不仅要考虑系统外力，同时还要考虑系统内力。 若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。 例例3:3: 如图所示一三铰拱桥。左右两半拱通过铰链C联接起来，通过铰链A、B与桥基联接。已知G G=40kN，P P=10kN。试求铰链A、B、C三处的约束反力。 3m解解: :取整体为研究对象画出受力图，并建立如图所示坐标系。列平衡方程 0NAxNBxFF20NAyNByFFPG129110NByFPGG解之得：47.5NByFkN42.5NAyFkN取左半拱为研究对象画出受力图，并建立如图所示坐标系。列解平衡

19、方程 ：0NAxNCxFF0NCyNAyFFG6560NAxNAyFGF解之得：9.2NAxFkN9.2NCxFkN2.5NCyFkN所以：9.2NBxFkN7.7.考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。本节主要介绍静滑动摩擦及考虑摩擦时物体的平衡问题。 （1 1）滑动摩擦：）滑动摩擦：两物体接触表面间产生相对滑动或具有相对滑动趋势时所具有的摩擦。 两物体表面间只具有滑动趋势而无相对滑动时的摩擦，称为静滑动摩擦（静摩擦）静滑动摩擦（静摩擦）； 接触表面间产生相对滑动时的摩擦，称为动滑动摩擦（动摩擦）动滑动摩擦（动摩擦）。 静滑动摩擦静滑动摩擦F FT T很小时

20、，B盘没有滑动而只具有滑动趋势，此时物系将保持平衡。摩擦力F Ff f与主动力F FT T等值。F FT T逐渐增大，F Ff f也随之增加。F Ff f具有约束反力的性质，随主动力的变化而变化。F Ff f增加到某一临界值F Ffmaxfmax时，就不会再增大，如果继续增大F FT T，B盘将开始滑动。因此，静摩擦力随主动力的不同而变化，其大小由平衡方程决定，但介于零与最大值之间，即：max0ffFF静摩擦定律：静摩擦定律：实验证明，最大静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势方向相反，大小与接触面法向反力F FN N的大小成正比，即： 式中比例常数 称为静摩擦系数静摩擦系数， 的大小与两物体接触面

21、的材料及表面情况（粗糙度、干湿度、温度等）有关，而与接触面积的大小无关。一般材料的静摩擦系数可在工程手册上查到。常用材料的值见表。 maxfNFfFff动滑动摩擦动滑动摩擦动摩擦定律动摩擦定律: :当水平力F FT T超过F Ffmaxfmax时，盘B开始加速滑动，此时盘B所受到的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动摩擦力。实验证明，动滑动摩擦力的大小与接触表面间的正压力F FN N成正比，即： 式中比例常数 称为动摩擦系数，其大小除了与两接触物体的材料及表面情况有关外，还与两物体的相对滑动速度有关。常用材料的值见表。 NfFfFf（2 2）摩擦角与自锁现象）摩擦角与自锁现象 摩擦角摩擦角 FpGFN

22、FfFRF FN N 正压力F Ff f 静摩擦力F FR R 全约束反力 （全反力） 全反力与接触面 法线的夹角m:全反力与法线间的最大夹角。摩擦系数摩擦系数f f ：摩擦角的正切值。即： fFfFFFNNNfmmaxtan摩擦锥：摩擦锥：如果物体与支承面的静摩擦系数在各个方向都相同，则摩擦角范围在空间就形成为一个锥体，称为摩擦锥摩擦锥。m自锁：自锁：若主动力的合力F FQ Q作用在锥体范围内，则约束面必产生一个与之等值、反向且共线的全反力F FR R与之平衡。但无论如何增加力F FQ Q，物体总能保持平衡。全反力作用线不会超出摩擦锥的这种现象称为自锁自锁。 FQF FR R自锁条件自锁条件

23、 : :m（3 3）考虑摩擦的平衡问题）考虑摩擦的平衡问题 考虑摩擦与不考虑摩擦时构件的平衡问题，求解方法基本相同。不同的是在画受力图时要画出摩擦力Ff ，并需要注意摩擦力的方向与滑动摩擦力的方向与滑动趋势方向相反，不能随意假定趋势方向相反，不能随意假定。 由于Ff值是一个范围（平衡范围平衡范围），确定这个范围可采取两种方式：一种是分析平衡时的临界情况，假定摩擦力取最大值，以Ff=Ffmax=fFN作为补充条件，求解平衡范围的极值。另一种是直接采用 ，以不等式进行运算。 fNFfF例例1 1：已知如图重力G=100N， ，物块与斜面间摩擦系数f=0.38,f =0.37，求物块与斜面间的摩擦力。试问物块在斜面上是静止、下滑还是上滑？如果要使物块上滑，求作用在物块并与斜面平行的力F F至少应多大？ 30GFf f物体受主动力物体受主动力G的作用，不可能