第二章 单自由度系统的振动1(长沙理工大学结构动力学)

1、第二章 单自由度系统的振动2.1单自由度系统的无阻尼自由振动( )( )0m y tky t 自由振动：是指体系在没有外来干扰作用下所发生的振动。它是有初始位移或初始速度或两者共同作用下引起的振动。一、自由振动的解1、无阻尼自由振动方程这是个常系数线性齐次微分方程令km2( )( )0y ty t（2-1）（2-2）代入（2-1）方程得：2、自由振动方程的解12( )sincosy tCtCt方程（2-2）的通解由数学知识可知为：（2-3）C1、C2为待定系数，可由初始条件确定。设t=0时的初始位移 ，0(0)yy0(0)yy可求得： ， 于是20Cy1yC00( )sincosyy ttyt

2、( )sin()y tAt 0220yAy001yytg（2-4）即：（2-5）式中:为单自由度体系振动幅值；为单自由度体系振动的初相位角。由解的表达式可知，该解为简谐振动。初速度 代入（2-3）二、单自由度系统的动力特性1）周期T：振动一次所需的时间，由解答可知 2T2）频率f：每秒钟内振动的次数， 1fT2T3）圆频率 ： 21stgggkmmm gWy（2-6）其中 k 刚度系数（单位位移作用下所需加的力） g 重力加速度 重力 重力引起的位移styW单位为秒（s）单位为赫兹（Hz）秒钟内振动的次数，-柔度系数（单位力作用下相应的位移）ycym1sF2sFyy12312yy2ssEIkF

3、Fhyyy( )mckP t624.5 10mEIN12312=2EIkkkh1228.284/kkkrad smm4.5022fHzcy my EIh243 1My( ( )yP tmycyIfmy dfcy EIl483 ( ( )dIyP tff( ( )yP tmycy3148kEImmmlIfmy dfcy 348lEI ()Pymycy3)(11768ltPEIP Ifmy dfcy efky ( )mycykyP t9EIlEIl=111=1ll/2l练习练习1.1.求图示体系的自振周期求图示体系的自振周期. .3111127EImml1111211()23222ll lll l

4、 lllEI 327212mlTEI解解: :3712lEI10利用振动规律利用振动规律( )sin()y tAt2( )sin()y tAt 2( )( )sin()I tmy tmAt 位移与惯性力同频同步位移与惯性力同频同步. .233EImAkAAl/mWg33EIklgWEIkl2mAAkAAlEI332mA练习练习2.2.图示质点重图示质点重W,求体系的频率求体系的频率. .解解: :2.2 单自由度系统的有阻尼自由振动一、有阻尼自由振动的解( )( )( )0m y tc y tky t1、有阻尼自由振动方程km2( )2( )( )0y ty ty t令 阻尼比 代入（2-7）

5、方程得：这是个常系数线性齐次微分方程（2-7）2cm（2-8）2、自由振动方程的解由数学知识方程的解可设为 代入（2-8）可得特征方程( )rty tBe2220rr解此方程得：21,21r 3、讨论于是001=DyyC20C =y这时，由于阻尼过大，系统的运动为按指数规律衰减的非周期蠕动。1）临界阻尼情况（ 或 ）=1=2mc00( )=e(1)ty tyty t（2-9）该系统不发生振动，=1称为临界阻尼比2）强阻尼情况（ 或 ）12mc通解：1,20r此时12( )=etDDy tC shtC cht（2-10）式中2=1D 利用初始条件得：利用初始条件得：12( )=(C +C t)e

6、ty t通解：此时1,2=-r200C =+yy10=yC3）低阻尼或弱阻尼情况（ 或 ）12mc1,2r此时通解：12( )=esincostDDy tCtCt利用初始条件得：000( )=esincosesintDDDtDyyy ttytAt（2-11）式中22000=DyyAy 000=Dytgyy2=1D特性：这时的自由振动为衰减振动。振幅为Aet周期为：2T =DD设nA为nt时的振幅，1nAnDtT为时的振幅，则()1=nDnDtTntTnAeAeAeA为常数， 故振幅按等比级数递减。3）低阻尼或弱阻尼情况（ 或 ）12mc是两个复数根，实际结构表明一般钢筋混凝土杆系结构阻尼比为0

7、.05，最大的阻尼比0.2（堆石坝），这时2=10.96DDy因此，工程结构动力计算中常不计阻尼对自振圆频率的影响，取阻尼比：拱坝0.030.05，重力坝0.050.1，土坝0.10.2二、阻尼的量测对相邻幅值比取自然对数，称为对数递减率222ln1DTyDDeT222yy由此得：（2-13）为获得更高精度的222yym（2-14）221yDmmT 其中：即：可量测相隔m个周期的两个幅值比这时阻尼比为：考虑到实际阻尼一般均小于0.2，可取11ln22ynnAA211则（2-13）和（2-14）可以简化为：或1ln22ynn mAmmA（2-16）（2-15）例 结构参数如例1，若使m产生侧移2

8、5mm，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5周后测得的侧移为7.12mm，试求1）考虑阻尼时的自振频率，2）阻尼比和阻尼系数，3）振动10周后的振幅。解：由y0=25mm和y0+5Td=7.12mm，求阻尼比和阻尼系数。00 51125lnln0.04210107.12dyTymy考虑阻尼影响的自振频率和工程频率22 5000 28.284 0.04 11313.6/Cmkg s 22128.28410.0428.281/drads214.498dffHz显然与 非常接近。f由2dmn mnyey取n=0，m=5,10 有：2 550dyey 2 10100dyey 两式相除：2 51055

9、000/dyyyeyyy 22510007.122.02825yyymmy练习练习: : 对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验. .用钢用钢 丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置2cm,2cm,用用 力力16.4kN,16.4kN,将绳突然切断将绳突然切断, ,开始作开始作 自由振动自由振动. .经经4 4周期周期, ,用时用时2 2秒秒, ,振幅振幅降为降为1cm.1cm.求求1.1.阻尼比阻尼比2.2.刚度系数刚度系数3.3.无阻尼周期无阻尼周期4.4.重量重量5.5.阻尼系数阻尼系数6.6.若质量增加若质量增加800kg800kg体系体系的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少kN4 .16解解: :1.1.阻尼比阻尼比12ln0.02762412.2.刚度系数刚度系数351116.4108.210 (/)0.02kNm3.3.有阻尼周期有阻尼周期2 / 40.5(s)DT210.4998(s)DTT4.4.重量重量212.57(1 / s)T211