第6章 弯曲变形2

1、Chapter 6 Deflection of Beams 弯曲变形弯曲变形目 录6-1 6-1 基本概念及工程实例基本概念及工程实例6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-56-5 静不定梁的解法静不定梁的解法6-6-6 6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 弯曲变形弯曲变形 弯曲变形弯曲变形2FF2F 弯曲变形弯曲变形 （ Deflection ）（basic concepts)CCBAB w 弯曲变形弯曲变形(slope) 转角转角 ACCwB xw挠度（挠度（B 弯曲

2、变形弯曲变形(Deflection curve) 式中，式中，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标，为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w 为该点的挠度。为该点的挠度。挠曲线挠曲线wAB x转角转角 w挠度（挠度（CCB( )wf x 弯曲变形弯曲变形（ Relationship between deflection and slope)：wAB x转角转角 w挠度挠度CCB挠曲线挠曲线( )tgww x 弯曲变形弯曲变形（Sign convention for deflection and slope) wAB x转角转角 w挠度挠度CCB挠曲线挠曲线 弯曲变形弯曲变形（ Differential

3、 equation of the deflection curve)1MEI oyxdd sd xd1ddd,dssddMsEI 随弧长随弧长S的增加，的增加，?也是增加的，也是增加的，有有ds为正，为正，d?也是正的。也是正的。ddMsEI 弯曲变形弯曲变形darctandddxddwdxsdx dsdxdxds222dd1wdxxdsdwdxoyxdd sd xd1/22dd = 1ddwsxx由3/221MwEIwddMsEI223/23/222dddd11wwxswdwdx挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 弯曲变形弯曲变形 2 2wMwEI3/221MwEIw 弯曲变形弯曲变形（Bea

4、m deflection by integration ) MwEI1EIwMdxC EIwMdxdxC xC12 ( )tgww x 弯曲变形弯曲变形 AwBwAB0Aw0BwAwA 0Aw0A AB 弯曲变形弯曲变形lABxFmaxwmax 弯曲变形弯曲变形xlwABxF( )() (1)M xF lx ( ) (2)EIwM xFlFx 21 (3)2FxEIwFlxC 2312(4)26FlxFxEIwxCC 弯曲变形弯曲变形21 (3)2FxEIwFlxC 2312(4)26FlxFxEIwxCC 0,0 0,0 xwxw120 0CC22FxEIwFlx 2326FlxFxEIw

5、xlwABxF 弯曲变形弯曲变形BwmaxmaxxlyAF（ ）222max|22x lFlFlFlEIEIEI max maxw（ ）3max|3x lFlwwEI 22FxEIwFlx 2326FlxFxEIw 弯曲变形弯曲变形max maxwABq 弯曲变形弯曲变形2ABqlRRABqRARBx2( )22qlqM xxx2346qlqEIwxxC 222qlqEIwxx 341224qlqEIwxxCxD MwEI 弯曲变形弯曲变形233(64)24qlxxlEI 233(2)24qxwlxxlEI xABqRARB A B3max24ABqlEI wmax4max25384lxqlw

6、wEI 2346qlqEIwxxC 341224qlqEIwxxCxD 0,xl0w /2xl0w 弯曲变形弯曲变形ABFDab 弯曲变形弯曲变形AbRFlBaRFlRARBABFDab12xx1(0)AbMR xFxxal2() ()bMFxF xaaxll 弯曲变形弯曲变形111bFxEIwMl2112bxEIwFCl 31116b xEIwFC xDl1(0)AbMR xFxxal 弯曲变形弯曲变形22()bFxF xaEIwMl 2222()22bF xaxFEIwCl33222()66bF xaxFxEIwCDl22() ()bMFxF xaaxll 弯曲变形弯曲变形12ww12ww

7、10w 20w 120DD2212()6FbCClbl ABFDabl12RARB 弯曲变形弯曲变形1(0)xa22211()36FbwlbxlEI 22216FbxlwbxlEI2()axl2222221()()23FblxawxlblEI b 33222() ()6FblxxawxlblEI b 弯曲变形弯曲变形10()|6AxPab lblEI 2()|6Bx lPab lalEImax()6BPab lalEI 弯曲变形弯曲变形0w 10w22211()036FbwlbxlEI 221(2 )33lba abx 1222 3max()0 06429 3x xFbFblw |lb.wEI

8、lEI 弯曲变形弯曲变形222(34)0.062548CFbFblwlbEIEI1222 3max()0 06429 3x xFbFbly |lb.wEIlEI 弯曲变形弯曲变形( Beam deflections by superposition ) (Superposition ) 弯曲变形弯曲变形(Superposition of loads) 121122(,)()()()nnnF FFFFF121122(,)()()()nnnw F FFw FwFwF 弯曲变形弯曲变形BqFACaaF=AB+ABq 24FAFaEI 36FCFawEI4524qCqawEI 33qAqaEI 弯曲变

9、形弯曲变形 24FAFaEI 36FCFawEI33qAqaEI 4524qCqawEI AFAqA2(34)12aFqaEI 435()246CqaFawEIEI qFF=+AAABBBCaaq 弯曲变形弯曲变形ABC 弯曲变形弯曲变形ABCq(a)BAm(c)Aq(b)BBq Aq CqwBm Am CmwCCCqCmwwwAAqAm 42538416qlmlEIEI ( )( )3()243mlqlEIEI BBqBm( )3246mlqlEIEI 弯曲变形弯曲变形。ABCql/2ABCq/2CABq/2q/2 弯曲变形弯曲变形 弯曲变形弯曲变形ABCq/24415(2)5384768C

10、qlqlwEIEI 3311(2)2448BAqlqlEIEI 弯曲变形弯曲变形CABq/2q/2Bq/2ACq/2 3322( )( )2224384ABqlqlEIEI20Cw4125768CCCqlwwwEI ( )33312348384128AAAqlqlqlEIEIEI ( )33312748384384BBBqlqlqlEIEIEI ( ) 弯曲变形弯曲变形ABCDaa2a2qq 弯曲变形弯曲变形2qAB2qa2BqaMBCDq2qa2BqaM 弯曲变形弯曲变形BCDq2qa2BqaM2qAB2BMqa2qa 弯曲变形弯曲变形2qaBCDq2BqaMqBCDBCD2BqaM 弯曲变

11、形弯曲变形wDqBqDBC33MBBBqBqaEI424BDDqDMqawwwEI2qaBCDq2BqaMBBM BDMwDBC2BqaM 33243BqqlqaEIEI 3233BBBMlqaMEIEI 445538424DqqlqawEIEI42164BBDMqalMwEIEI 弯曲变形弯曲变形AB1w2qaBBCDq2BqaM 弯曲变形弯曲变形A2qB2qa2BqaMAB1w2qaBBCDq2BqaM 弯曲变形弯曲变形122BAwwwaw 42(2 )8qawEI 44473412AqaqaqawEIEIEIAB1w2qaBBCDq2BqaM2wA2qB2qa2BqaM 弯曲变形弯曲变形

12、（stiffness condition)（mathematical formula)(application of stiffness condition)（ Check the stiffness of the beam）（Determine the allowable load on the beam）（Determine the required dimensions of the beam）maxmax ww w 弯曲变形弯曲变形（Basic concepts） （statically indeterminate beams)(Solution methods For statica

13、lly indeterminate beams)FABABCFRARBRC 弯曲变形弯曲变形( redundant constraint )( redundant reaction)RBABCFFABRARC(degree of statically indeterminate problem ): 弯曲变形弯曲变形ABql0BwqABRBBBBqBRwww0BBqBRww 弯曲变形弯曲变形 BqwBBRwqAB48BqqlwEI 33BBBRlRwEI BARBqABRB43083BqllREIEI0BBqBRww38BqlR 弯曲变形弯曲变形0A ABqlABqlmA 弯曲变形弯曲变形简单

14、超静定梁的解法简单超静定梁的解法 采用变形比较法解超静定梁的一般步骤：采用变形比较法解超静定梁的一般步骤： 首先选定多余约束，并把多余约束解除，使超静定梁变首先选定多余约束，并把多余约束解除，使超静定梁变 成静定梁成静定梁基本静定系基本静定系 。 把解除的约束用把解除的约束用未知的多余约束反力来代替未知的多余约束反力来代替。这时基本静。这时基本静 定梁上除了作用着原来的荷载外，还作用着未知的多余约定梁上除了作用着原来的荷载外，还作用着未知的多余约 束反力。束反力。 列出基本静定梁在多余约束反力作用处梁变形的计算式，并与原来超列出基本静定梁在多余约束反力作用处梁变形的计算式，并与原来超静定梁在该

15、约束处的变形进行比较，静定梁在该约束处的变形进行比较，建立变形协调方程建立变形协调方程，求出多余约，求出多余约束反力。束反力。 在求出多余约束反力的基础上，根据静力平衡条件，解出超静定梁的在求出多余约束反力的基础上，根据静力平衡条件，解出超静定梁的其它所有支座反力。其它所有支座反力。 按通常的方法（已知外力求内力、应力、变形的方法）进行所需的强按通常的方法（已知外力求内力、应力、变形的方法）进行所需的强度和刚度计算。度和刚度计算。 弯曲变形弯曲变形梁梁AC如图所示如图所示,梁的梁的A端用一钢杆端用一钢杆AD与梁与梁AC铰接铰接, 在在梁受荷载作用前梁受荷载作用前, 杆杆AD内没有内力内没有内力

16、,已知梁和杆用同样的钢材已知梁和杆用同样的钢材制成制成, 材料的弹性模量为材料的弹性模量为E, 钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为I, 拉杆横截拉杆横截面的面积为面的面积为A,其余尺寸见图其余尺寸见图,试求钢杆试求钢杆AD内的拉力内的拉力FN.a2aABCq2qDl 弯曲变形弯曲变形CADBq2qA解：这是一次超静定问题解：这是一次超静定问题.将将AD杆与梁杆与梁AC之间的连结绞看作之间的连结绞看作多余约束多余约束. 拉力拉力FN为多余反力为多余反力. 基本静定系如下图所示基本静定系如下图所示 弯曲变形弯曲变形ADBCq2qwAFNlA1Awl FN 弯曲变形弯曲变形BCq2qFNAwAAqANwwwBCq2qAqwBCFNANwAqANwwl 弯曲变形弯曲变形EIqawAq1274BCq2qAqw 弯曲变形弯曲变形CFNANw1wAAB2a2w312NANF awwwEI3223NAFaawEI313NF awEIMA=FN.a 弯曲变形弯曲变形EAlFlN EAlFEIaFEIqaNN34127ADBCq2qFNFNlA1Aw43712()NAqaFIlAaAqANlww