第8章 曲面立体10.11.4

1、退出退出退出退出退出退出第八章 曲面立体 8.1 曲线与曲面 8.2 回转面 8.3 直纹面 8.4 螺旋线和螺旋面中途返回请按“ESC” 键8.1.1 曲线8.1 曲线与曲面一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类1、形成:曲线可以看作由以下三种方式形成： 点不断改变方向运动轨迹； 曲面与平面或曲面与曲面的交线； 直线族或曲线族的包络线；上上上一一一节节节下下下一一一节节节返返返回回回退退退出出出2、分类根据几何性质不同（或曲线上点的相对位置）而分： 规则曲线 不规则曲线 平面曲线：曲线上所有点都在同一平面内。如：圆、椭圆，抛物线等； 空间曲线：连续四点不在同一平面上的曲线。如：圆柱螺旋线、

2、两曲面体相贯线等； 为了能准确地画出曲线的投影，一般应把曲线上特殊点的投影作出，以控制曲线投影的形状和范围。特殊点： 本身上的特殊点：反曲点 、反折点；（控制形状） 对投影面特殊点：最前、后、上、下、左、右点；（控制范围）二、曲线投影的性质1.曲线的投影一般仍为曲线2.属于曲线的点的投影 必属于该曲线同面投影3.属于曲线某点的切线 投影与该曲线同面投 影仍相切于该切点的 投影中途返回请按“ESC” 键1、平面曲线投影的特性2、圆的投影1、圆柱螺旋线：四、空间规则曲线2、圆锥螺旋线画法上上上一一一节节节下下下一一一节节节返返返回回回3、椭圆的投影4、椭圆的画法圆柱螺旋线的形成及三要素圆柱螺旋线的

3、画法圆柱螺旋线的展开、螺旋角、升角(1) 已知椭圆的长、短轴，作椭圆(2) 已知椭圆的任意一对共轭直径，作椭圆三、平面规则曲线退退退出出出1、平面曲线投影的特性中途返回请按“ESC” 键积聚性实形性尖点两重点拐点三、平面规则曲线1）.倾斜于投影面的圆，它的投影为椭圆返返返回回回2、圆的投影2） 倾斜于投影面的圆上任意一对相互垂直的直径 投影成椭圆上的一对共轭直径返返返回回回3）倾斜于投影面的圆上一对相互垂直的直径，其中一 条为投影面平行线时，则它们在该投影面的投影为椭圆的长、短轴返返返回回回例1 已知一圆属于铅垂面P，（P平面对V面的夹角为b），直径为 2R，且已知该圆圆心O的两面投影，试作该

4、圆的两面投影。中途返回请按“ESC” 键例2 已知一般位置平面I II III IV上有一个以O为圆心，直径为2R的 圆，试作其两面投影中途返回请按“ESC” 键3、椭圆的投影1）在特定条件下，椭圆 投影可为一圆2）椭圆的一对共轭直径， 投影后性质不变返返返回回回 一般斜平面上的圆圆所在的平面倾斜于三个投影面时，圆的任一投影都是椭圆，椭圆长轴的长度总是等于圆的直径d。1）已知椭圆的长、短轴，作椭圆 中途返回请按“ESC” 键4、椭圆的画法2）已知椭圆的任意一对共轭直径，作椭圆中途返回请按“ESC” 键1234例题 已知一圆属于正垂面P，并知其圆心为O，直径为 40 mm，求作该圆的三面投影图。

5、20中途返回请按“ESC” 键例题如图所示，在平行四边形IJKL内有一个圆，已知圆心C的正面投影c，直径为28mm，求作这个圆的两面投影。按给定条件作平行四边形上的圆的两面投影(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果作圆心作圆心C C的水平投影的水平投影c c。作圆的水平投影椭圆作圆的水平投影椭圆。作圆的正面投影椭圆作圆的正面投影椭圆。例例 半径为半径为r r的圆位于一般倾斜平面的圆位于一般倾斜平面ABCDABCD上，并知圆上，并知圆心的位置，试作出其投影。心的位置，试作出其投影。 解：首先，在水平投影中作椭圆的长短轴：长轴的方向为面内水平线的水平投影的方向

6、，长度等于圆的直径2r。短轴垂直于长轴，长度利用直角三角形法求出。 其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是一对共轭直径12、34。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个点5、6、7、8，用八点法画出正面投影椭圆。 最后，利用平面上定点的方法求出水平投影中的5、6、7、8四点，从而画出水平投影椭圆。返返返回回回一、曲面的形成一、曲面的形成 曲面可以看作为动线（直线或曲线）在一定的约束条件下运动的轨迹。动线称为母线母线；其在任一位置称为素线素线。约束母线运动的线或面，分别称为导线导线或导面导面。8.1.2曲面返返返回回回二、曲面的分类按曲面形成是否有规律:规则、不规则；按曲面是否可展开:

7、可展、不可展； 据母线是直线还是曲线：直纹面、曲线面；据母线运动是否回转轴：回转面、非回转面； 248.2.1回转面的形成和基本性质回转面的形成和基本性质 8.2 8.2 回转面回转面 1.回转面的形成回转面的形成母母 线线（子午线（子午线）轴轴 线线喉喉 圆圆赤道圆赤道圆纬纬 圆圆 以一平面曲线或直线为母线，绕同以一平面曲线或直线为母线，绕同一平面内的一条定直线旋转而形成的曲一平面内的一条定直线旋转而形成的曲面。该定直线称为旋转面的轴线面。该定直线称为旋转面的轴线。 母线的任意位置称母线的任意位置称素线素线。母线上。母线上任意点的运动轨迹都是一个垂直于任意点的运动轨迹都是一个垂直于轴线的圆，

8、称为轴线的圆，称为纬圆纬圆。曲面上比相。曲面上比相邻两侧都大的纬圆，称为曲面的邻两侧都大的纬圆，称为曲面的赤赤道圆道圆；都小时则称为；都小时则称为喉圆喉圆。母线的。母线的上、下端点所形成的纬圆，分别称上、下端点所形成的纬圆，分别称作作顶圆和底圆顶圆和底圆。8.2 回转面 258.2 8.2 回转面回转面2.回转面的投影及面上的点顶顶 圆圆喉喉 圆圆纬纬 圆圆赤道圆赤道圆底底 圆圆退退退出出出表1 常见回转体圆 柱 体 回转面形成规律 母线:与轴线平 行的直线轴线:直线轴线:直线母线:圆或圆弧轴线:圆的直径母线:圆或圆弧轴线:不经过圆心而 与之同平面的 直线直观图圆 锥 体圆 球 体圆 环 体母

9、线:与轴线相 交的直线8.2.2 回转体一、圆柱作图步骤：画底面和顶面的投影画转向线画轴线正面转向线侧面转向线空间分析中途返回请按“ESC” 键圆柱返回圆柱投影图分析底面水平面转向线顶面水平面圆柱面前半个圆柱面后半个圆柱面左半个圆柱面右半个圆柱面正面转向线侧面转向线后前左右中途返回请按“ESC” 键例3 已知属于圆柱面上的点A、B、C 的一个投影求另外 两面投影中途返回请按“ESC” 键例4 已知圆柱面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面 投影中途返回请按“ESC” 键二、圆锥作图步骤：画底面的投影画转向线画轴线画正面转向线画侧面转向线空间分析中途返回请按“ESC” 键画锥顶圆锥返回圆锥投影图

10、分析底面：水平面前半个圆锥面后半个圆锥面圆锥面：左半个圆锥面右半个圆锥面锥顶:中途返回请按“ESC” 键圆锥表面上取点线例例例 5 5 5例例例 7 7 71.属于圆锥表面的特殊位置点纬圆法素线法已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另外两面投影中途返回请按“ESC” 键2.属于圆锥表面的一般位置点例例例 6-16-16-1例例例 6-26-26-2 过点取属于圆锥面的线（直线或圆），则点的投影在该线上返回返回返回例5 圆锥表面上取点-特殊位置点返回例6 圆锥表面上取点-纬圆法返回例6 圆锥表面上取点-素线法返回例7 已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另外两面 投影返回例7 已知圆锥面上的

11、曲线AD 的水平投影，求另外两面 投影中途返回请按“ESC” 键圆台的投影圆台的投影圆台的投影圆台的投影(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图圆锥台中途返回请按“ESC” 键三、圆球投影图：画转向线画轴线空间分析中途返回请按“ESC” 键圆球返回圆球投影图分析正面转向线A侧面转向线B水平面转向线C中途返回请按“ESC” 键例8 圆球表面上取点-特殊位置点中途返回请按“ESC” 键例9-1 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影水平圆为辅助线中途返回请按“ESC” 键例9-2 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影正平圆为辅助线中途返回请按“ESC” 键例9-3

12、 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影侧平圆为辅助线中途返回请按“ESC” 键例10 已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面投影中途返回请按“ESC” 键例10 已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两 面投影中途返回请按“ESC” 键四、圆环圆环的投影：画母线圆圆心轨迹画转向线画轴线判别可见性，图线加粗中途返回请按“ESC” 键画母线圆圆环投影图分析：内环面外环面外环面水平面转向线内环面正面转向线内环面水平面转向线外环面正面转向线内、外环面分界线内环面外环面环面中途返回请按“ESC” 键外环面和内环面返回例11 已知圆环面上的点A、B 的一个投影，求它们的另 一个投

13、影中途返回请按“ESC” 键例12 已知圆环面上的曲线AD 的水平投影，求正面投影中途返回请按“ESC” 键同轴回转体的投影 两个投影图形相同,另外一个投影为若干个同心圆。中途返回请按“ESC” 键同轴回转体表面上的点中途返回请按“ESC” 键 60 直纹面是由直母线运动而形成的曲面。直纹面分为可展直纹曲面和不可展直纹曲面。8.3 直纹面 8.3 8.3 直纹面直纹面 可展直纹曲面可展直纹曲面 当曲面上相邻两素线相交或平行时，当曲面上相邻两素线相交或平行时，所形成的曲面可以展平在一个平面上而称为所形成的曲面可以展平在一个平面上而称为可展直纹曲面。常见的可展直纹曲面有可展直纹曲面。常见的可展直纹

14、曲面有柱面柱面和和锥面锥面。 1、锥面返返返回回回正椭圆锥面斜椭圆锥面正圆锥面 628.3 8.3 直纹面直纹面锥面应用锥面应用 锥面在建筑工程中，锥面在建筑工程中，也有着广泛的应用。右图也有着广泛的应用。右图表示了一个用锥面构成的表示了一个用锥面构成的完体建筑。完体建筑。2、柱面正椭圆柱面斜椭圆柱面正圆柱面柱面返返返回回回3、切线曲面返返返回回回4、渐开线螺旋面48例题 过图中所示的螺旋线(右旋,导程为48 mm),作一渐开 线螺旋面。 中途返回请按“ESC” 键5、双曲抛物面中途返回请按“ESC” 键双曲抛物面的形成P导平面直导线直导线直母线 708.3 8.3 直纹面直纹面双曲抛物面应用

15、实例双曲抛物面应用实例（a）屋顶 （b）岸坡（渐变段）6、锥状面中途返回请按“ESC” 键形成：一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。P导平面曲导线直导线 738.3 8.3 直纹面直纹面锥状面锥状面应用实例应用实例 下图下图是锥状面作为厂房屋顶的一个实例。屋面上是锥状面作为厂房屋顶的一个实例。屋面上的素线都平行于山墙。的素线都平行于山墙。7、柱状面形成：中途返回请按“ESC” 键P形成：一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面导平面曲导线曲导线 76柱状面的应用实例8.3 8.3 直纹面直纹面 六、柱状面六

16、、柱状面 798.3 8.3 直纹面直纹面柱状面应用实例柱状面应用实例 右图所示的是右图所示的是柱状面应用于拱门柱状面应用于拱门上的实例。可以看上的实例。可以看出：导线应为拱口出：导线应为拱口曲线曲线(一为半圆一为半圆，一一为半椭圆为半椭圆)，导，导面应为水平面。面应为水平面。8、单页双曲回转面的形成：由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。中途返回请按“ESC” 键单页双曲回转面的投影中途返回请按“ESC” 键 类直纹曲面中途返回请按“ESC” 键拉伸曲面中途返回请按“ESC” 键9、 球面、环面返返返回回回回转曲面中途返回请按“ESC” 键边界曲面中途返回请按“ESC” 键柱状圆纹曲面返返返回

17、回回羊角状圆纹曲面返返返回回回8.4.1、圆柱螺旋线中途返回请按“ESC” 键旋向1）形成2）三要素：直径导程右旋左旋8.4 螺旋线与螺旋面 母线旋转一周时，动点沿母线移动的距离叫做螺距。螺距h和导圆柱的半径R是确定螺旋线的两个参数。给出这两个参数的大小，再根据螺旋线的方向(譬如是右螺旋)，就可以做出螺旋线的投影。Rh螺旋线投影作法：（1）用半径用半径R作出导圆柱的投影；作出导圆柱的投影；（2）把导圆柱的底圆周把导圆柱的底圆周(在水平投影上在水平投影上)和和螺距螺距h(在正面投影上在正面投影上)分成同样多的等份分成同样多的等份(如如12等份等份)；（3）在水平投影上用数字沿螺旋线方向在水平投影

18、上用数字沿螺旋线方向顺次标出各分点顺次标出各分点0、1、12；（4）从从0、1、12 向上作铅垂联系线，向上作铅垂联系线，得各分点的得各分点的正面投影；正面投影；（5）用曲线圆滑的连接用曲线圆滑的连接0、l、2 12各点，各点， 得一正弦曲线该曲线得一正弦曲线该曲线就是所作螺旋线的正面投影。就是所作螺旋线的正面投影。0678910111212345 0 1 2 3111210 9 8 7 6 5 4圆柱螺旋线的画法中途返回请按“ESC” 键2、圆锥螺旋线画法中途返回请按“ESC” 键8.4.2、正螺旋柱状面的形成中途返回请按“ESC” 键 一直线沿着圆柱螺旋线和圆柱轴线滑动，并始终与轴线相交成

19、定角。这样形成的曲面叫做螺旋面。螺旋面分平、斜两种。平螺旋面平螺旋面圆柱螺旋面的画法中途返回请按“ESC” 键 998.4 8.4 螺旋线与螺旋面螺旋线与螺旋面43217869510111213空心螺旋面的投影画法空心螺旋面的投影画法 100平螺旋面的应用平螺旋面的应用 螺旋楼梯扶手螺旋楼梯扶手 101平螺旋面的应用平螺旋面的应用 螺旋楼梯螺旋楼梯 1028.4 8.4 螺旋线与螺旋面螺旋线与螺旋面例例 已知螺旋楼梯所在内、外两个导圆柱的直径分别为已知螺旋楼梯所在内、外两个导圆柱的直径分别为d和和D，沿螺旋上行一圈有十二个踏步，导程为沿螺旋上行一圈有十二个踏步，导程为L，楼板的竖直厚度为，楼板

20、的竖直厚度为h。作出该螺旋楼梯（右旋）的两面投影。作出该螺旋楼梯（右旋）的两面投影。在螺旋楼梯的每个踏步中，在螺旋楼梯的每个踏步中，踏面为扇形，踢面为矩形，踏面为扇形，踢面为矩形，两端面是圆柱面，底面是平两端面是圆柱面，底面是平螺旋面；将螺旋楼梯看成是螺旋面；将螺旋楼梯看成是一个踏步沿着两条圆柱螺旋一个踏步沿着两条圆柱螺旋线上升而形成，每级踏面与线上升而形成，每级踏面与踢面的交线是顶部平螺旋面踢面的交线是顶部平螺旋面的素线；楼板的竖直厚度可的素线；楼板的竖直厚度可被认为由底部与顶部平螺旋被认为由底部与顶部平螺旋面间的厚度，如图所示。面间的厚度，如图所示。 平螺旋面的应用平螺旋面的应用 螺旋楼梯

21、螺旋楼梯 1038.4 8.4 螺旋线与螺旋面螺旋线与螺旋面作图步骤：（1）把螺旋面的H投影分为十二等分，每一等分就是螺旋梯上的一个踏面的H投影。螺旋梯踢面的H投影，分别积聚在两踏面的分界线上，如图中(11)2122(12)和(31)4142(32)。因此，在画螺旋梯的两投影时，只要按一个导程的步级数目等分螺旋面的H投影，就完成了螺旋梯的H投影。图（a） 104作图步骤：（2）画第一级的V投影。第一级踢面1122的H投影积聚成一水平线段(11)2122(12)，踢面的底线12是螺旋面的一根素线，求出它的V投影1112后，过两端点分别画一竖直线，截取一步级的高度，得点21和22。矩形112122

22、12就是第一级踢面的V投影，它反映踢面的实形。图（b） 105作图步骤：（3）画第二步级的V投影。过点31和32分别画一竖直线，截取一步级的高度，得点41和42，矩形31324241就是第二级踢面V投影。以此画出其余各步级的踏面和踢面的V投影。注意，第四步级和第十步级踢面平行于W面，它的V投影积聚成一竖直线段。第五及第九步级的踢面，由于被螺旋梯本身所挡住，它们的V投影是看不见的。各步级V投影图（c）所示。 106作图步骤：作图步骤：(4)(4)画螺旋梯板底面画螺旋梯板底面的投影。梯板底面也的投影。梯板底面也是一个螺旋面，其形是一个螺旋面，其形状和大小与梯级的螺状和大小与梯级的螺旋面完全一样，只是旋面完全一样，只是两者相距一个梯板沿两者相距一个梯板沿竖直