第6章第7节常用模拟低通滤波器特性

1、八、常用模拟低通滤波器特性将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器模拟滤波器 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器1、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数2*()()()aaaHjHjHj( )()aasjHs Hs h(t)是实函数2()aHj( )aHs()()aaHjHj 将左半平面的的极点归( )aHs将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一半归( )aHs( )aHs由幅度平方函数得象限对称的s平面函数将 因式分解，得

2、到各零极点( )()aaHs Hs对比 和 ，确定增益常数()aHj( )aHs由零极点及增益常数，得( )aHs2()( )aaHjHs由确定的方法2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函数：，求系统函数例：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjss 7, 6ss 极点：零点： （二阶）5sj 零点：5sj 7, 6ss 的极点：( )aHs设增益常数为K020(25)( )(7)(6)aKsHsss000( )()4asaHsHjK由，得2224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss2、

3、Butterworth 低通逼近幅度平方函数：221()1aNcHj当2()1/2acHj时称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽c1( 0)20lg3()aacHjdBHjN为滤波器的阶数c为通带截止频率1）幅度函数特点：221()1aNcHj20()1aHj 21()1/23caHjdB 3dB不变性c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小 st 当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减2Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs Hssj1211222( 1)1,2,.,2kjN

4、NkccsjekN 2）幅度平方特性的极点分布： 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为/ N rad 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点3）滤波器的系统函数：1( )()NcaNkkHsss121221,2,.,kjNkcsekN 1 /ccrrad s 为归一化系统的系统函数( )anHs去归一化，得( )( )crcaanssHsHscrancsH4）滤波器的设计步骤：221()1apNpcHj120.10.1101101spk根据技术指标求出滤波器阶数N：12ps确定技术指标：120lg()apHj 由12

5、0.1110Npc得：220.1110Nsc同理：sspp令lglgspspkN 则：120.10.1101101Nps求出归一化系统函数：11( )()anNkkHsss或者由N，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技术指标 给出或由下式求出：c110.12101Ncp 121221,2,.,kjNkcsekN 其中极点：去归一化阻带指标有富裕210.12101Ncs 或通带指标有富裕 例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于 rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率 到 之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。0.20.3/

6、0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计Butterworth模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsss234561( )1 3.

7、86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssc) 构造系统函数或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去归一化4）将 展成部分分式形式:( )aHs1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.63041 0.99720.2570zzz变换成Butterworth数字滤波器

8、：2、用双线性变换法设计20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.3066spspNkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHss

9、sc) 构造系统函数234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去归一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz( )aHs4）将 变换成Butterworth数字滤波器：3、Chebyshev低通逼近N：滤波器的阶数幅度平方函数：2221()1()aNcH

10、jC ：截止频率，不一定为3dB带宽c ，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大01 ：N阶Chebyshev多项式( )NCx11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx等波纹幅度特性单调增加 2()1/ 1caHj 1）幅度函数特点： 通带外：迅速单调下降趋向0c 221()1aNcHjC N为偶数2( 0)1/ 1aHj N为奇数( 0)1aHj 通带内：在1和 间等波纹起伏c 21/ 10 2）Chebyshev滤波器的三个参量： ：通带截止频率，给定c ：表征通带内波纹大小20.1111101scchNch10.121012max1min()20lg20lg 1()a

11、aHjHjN：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高s为阻带截止频率3）幅度平方特性的极点分布：2/221()( )()1aaas jNcHjHs HssCj1,2,.,2kkksjkN 22221()()kkccabsin(21)2kcakN 21111112NNa1112NNbcos(21)2kcbkN 1,2,.,2kkksjkN 4）滤波器的系统函数：1( )()aNkkKHsss12NcNKsin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.,kN其中：5）滤波器的设计步骤:10.12101ssp1111()schkNch1ppp归

12、一化：12ps确定技术指标：根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：210.1110.1101101k其中：111( )2()anNNkkHsss( )aanpsHsH21111112NNa1112NNb或者由N和 ，直接查表得( )anHs1其中极点由下式求出：求出归一化系统函数：去归一化sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.,kN例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在频率低于 rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率 到 之间的阻带内，衰减大于15dB。0.20.320.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT

13、 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：0.65/cprad s 20.11111013.01414scchNNch 取10.11010.5088 a）确定参数3）设计Chebyshev模拟低通滤波器b) 求左半平面极点sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 21114.17021110.36462NNa1111.06442NNb0.09070.63901,40.21890.26472,3jkjkc) 构造系统函数220.04381(0.43780.1180)(0.18140.4166)ssss44311( )2()cakkHsssc) 去归一化2340.2756( )0.27560.74261.45390.9528anHsssss( )aancsHsH220.04381(043780.1180)(0.18140.4166)ssssb) 由N=4， 直接查表得11dB或者：112 11( )( )azsTzH zHs1 412120.001836(1)(1 1.49960.8482) (1 1.55480.6493)zzzzz( )aHs4）将 变换成Chebyshev数字滤波器：将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标小结：利用