大学物理稳恒磁场习题课

1、稳恒磁场稳恒磁场习题习题课课王硕王硕一、内容一、内容提要提要1磁场、磁感应强度磁场、磁感应强度磁场磁场 在在运动电荷运动电荷(电流电流)周围，除了形成电场，还形成磁场。周围，除了形成电场，还形成磁场。磁场的基本性质之一是磁场的基本性质之一是它它对置于其中的运动电荷或电流施加作用力。对置于其中的运动电荷或电流施加作用力。与电场一样，磁场也是一种特殊物质。与电场一样，磁场也是一种特殊物质。磁感应强度磁感应强度 是描述磁场对运动电荷或电流是描述磁场对运动电荷或电流 有作用力的性质的物理量有作用力的性质的物理量 BT磁感应强度的单位是特斯拉磁感应强度的单位是特斯拉( ) 2毕奥一萨伐尔定律毕奥一萨伐尔

2、定律电流元电流元 lIdIdl电流元电流元 是矢量，是矢量，大小等于电流大小等于电流 与与 导线元长度导线元长度 的乘积，的乘积，方向沿电流正方向。方向沿电流正方向。 P毕奥一萨伐尔定律毕奥一萨伐尔定律 电流元电流元 在在 点产生的磁感应强度为点产生的磁感应强度为 203044rrlIdrrlIdBdlId270104AN磁场叠加原理磁场叠加原理 PLiBPPP导线导线 中的电流在中的电流在 点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度 等于每个电流元单独存在时，等于每个电流元单独存在时，在在 点所产生的磁感应强度的矢量和点所产生的磁感应强度的矢量和 若空间存在若干载流导线，若空间存在若干载流导线，

3、每一导线在每一导线在 点所产生的磁感应强度为点所产生的磁感应强度为 ， 则则 点的磁感应强度为点的磁感应强度为iBB304rrlIdBdBBIa三种特殊形状载流导线的磁场：三种特殊形状载流导线的磁场： BIRO(3)均匀密绕均匀密绕“无限长无限长”直载流螺线管内的磁场直载流螺线管内的磁场nIB0n为螺丝管单位长度的匝数为螺丝管单位长度的匝数 (1)“无限长无限长”直线电流周围的磁场直线电流周围的磁场aIB20(2)载流圆线圈中心处磁场载流圆线圈中心处磁场RIB203磁高斯定理磁高斯定理磁感应线磁感应线 磁感应线是一些有向曲线，磁感应线是一些有向曲线，其上各点切线方向表示该点磁感应强度的方向。其

4、上各点切线方向表示该点磁感应强度的方向。稳恒磁场中每一条磁感应线都是与电流套合的稳恒磁场中每一条磁感应线都是与电流套合的无头无尾的闭合曲线无头无尾的闭合曲线 磁感应通量磁感应通量 SdBdmSmSdB磁高斯定理磁高斯定理 0dSSB它表达了磁场是它表达了磁场是“无源的无源的”这一特征这一特征 4安培环路定理安培环路定理BCS0真空磁场中，磁感应强度真空磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径沿任意闭合路径 的的环流等于正向通过环路环流等于正向通过环路 所围曲面所围曲面 的电流的的电流的代数和乘以代数和乘以 它表明磁场是它表明磁场是“有旋有旋”场。场。安培环路定理安培环路定理 可用来计算某些具有高度对

5、称性的磁场分布。可用来计算某些具有高度对称性的磁场分布。CiIl dB0C5带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动洛仑兹力洛仑兹力 Qv电荷为电荷为 的粒子以速度的粒子以速度 在磁场中运动时所受磁力在磁场中运动时所受磁力 BvQF洛仑兹力对运动电荷不做功洛仑兹力对运动电荷不做功 圆周运动圆周运动 mQvB质量为质量为 、电荷为、电荷为 的粒子以速度的粒子以速度 进入进入磁感应强度为磁感应强度为 的匀强磁场，的匀强磁场， Bv当当 时，粒子作匀速圆周运动时，粒子作匀速圆周运动 半径半径 QBmvr 回转周期回转周期 QBmvrT226磁场对电流的作用磁场对电流的作用安培定律安培定律 一般任

6、意形状的载流导线在磁场中受到的安培力一般任意形状的载流导线在磁场中受到的安培力 电流元电流元 在磁场中受磁力即安培力为在磁场中受磁力即安培力为 为为 所在处的磁感应强度。所在处的磁感应强度。 BlIdFdBlIdFdF均匀磁场中导线受力均匀磁场中导线受力Bl IF为从电流起点指向终点的有向线段为从电流起点指向终点的有向线段 lIdlIdBlmPSI磁矩磁矩 载流平面线圈的磁矩的大小载流平面线圈的磁矩的大小等于电流乘以线圈平面的面积，等于电流乘以线圈平面的面积，方向按右手螺旋法则确定。方向按右手螺旋法则确定。 nISPm磁力矩磁力矩 BPMm磁力的功磁力的功 mIAm表示通过线圈平面的磁感应通量

7、的增量表示通过线圈平面的磁感应通量的增量 磁力矩总是力图使磁矩转向磁感应强度的方向磁力矩总是力图使磁矩转向磁感应强度的方向 载流线圈在恒定磁场中转动时，磁力矩所做的功载流线圈在恒定磁场中转动时，磁力矩所做的功 7介质中的磁场介质中的磁场相对磁导率相对磁导率 介质在磁场中被磁化，介质在磁场中被磁化， 介质表面出现分子电流，改变了原来的磁场。介质表面出现分子电流，改变了原来的磁场。 在充满各向同性均匀介质的情况下，磁感应强度为在充满各向同性均匀介质的情况下，磁感应强度为 0BBrr相对磁导率相对磁导率 顺磁质顺磁质 1r抗磁质抗磁质 1r铁磁质铁磁质 1r磁化强度磁化强度 磁化强度是表征介质磁化程

8、度的物理量，磁化强度是表征介质磁化程度的物理量，用单位体积的分子磁矩的矢量和来表示用单位体积的分子磁矩的矢量和来表示 VPMmV0lim对顺磁质，对顺磁质， 为有矩分子的固有磁矩，为有矩分子的固有磁矩， 的方向与外磁场方向相同的方向与外磁场方向相同 对抗磁质，对抗磁质， 为无矩分子在外磁场中出则的附加磁矩，为无矩分子在外磁场中出则的附加磁矩， 的方向与外磁场方向相反的方向与外磁场方向相反 mPmPMM磁场强度磁场强度 H引入磁场强度辅助矢量引入磁场强度辅助矢量 MBH0在各向同性均匀介质中在各向同性均匀介质中 HMmm称为磁化率，是一个纯数。称为磁化率，是一个纯数。 1m1m顺磁质中顺磁质中

9、，抗磁质中，抗磁质中 。 和和 的关系为的关系为 HBHHHBrm00)1 (称为介质的磁导率称为介质的磁导率 介质中的安培环路定理介质中的安培环路定理 在稳恒磁场中，在稳恒磁场中， 矢量沿任意闭合路径矢量沿任意闭合路径 的线积分的线积分等于正向通过以等于正向通过以 为边界的任一曲面的传导电流代数和为边界的任一曲面的传导电流代数和 BCCoIl dHL铁磁质铁磁质 铁磁质有下列特性：铁磁质有下列特性： (2)有剩磁现象；有剩磁现象；(3)有一临界温度有一临界温度(居里点居里点)， 超过此温度时转变为顺磁质。超过此温度时转变为顺磁质。(1) 与与 不成比例关系，不成比例关系， 不是常数，不是常数

10、， 与与 有关；有关； HHB二、二、问题讨论问题讨论1静止的点电荷能在它的周围空间任一点激起电场；静止的点电荷能在它的周围空间任一点激起电场；线电流元是否也能在它的周围空间任一点激起磁场线电流元是否也能在它的周围空间任一点激起磁场?答：不一定。答：不一定。 电流元激起的磁场由电流元激起的磁场由毕奥毕奥-萨伐尔定律给出萨伐尔定律给出 304rrlIdBd0sin420rIdlBd在电流元在电流元 的延长线上各点，电流元不能激起磁场。的延长线上各点，电流元不能激起磁场。在线电流元周围空间的其他位置上，是能够激发在线电流元周围空间的其他位置上，是能够激发磁场的。磁场的。lId 为电流元到空间任一点

11、为电流元到空间任一点(场点场点)的有向线段，的有向线段，当当 与与 的夹角的夹角 为为0或或 时，时， lIdrr172按毕奥一萨伐尔定律可求得真空中一有限载流按毕奥一萨伐尔定律可求得真空中一有限载流直导线直导线 在空间在空间 点产生的磁感应强度大小点产生的磁感应强度大小 1a2ABIOPC210coscos4aIB方向垂直于方向垂直于 ，今沿如图中圆形环路今沿如图中圆形环路 做做 的线积分，得到的线积分，得到 210coscos2Il dBCIl dBC0此结果与安培环路定理（此结果与安培环路定理（ ）不一致，）不一致，这是什么缘故这是什么缘故? ABPOPBC181a2ABIOPC答：安培

12、环路定理答：安培环路定理仅适用于稳恒电流，仅适用于稳恒电流，而稳恒电流必定是闭合的。而稳恒电流必定是闭合的。若若 中电流是稳恒的，中电流是稳恒的，则上面计算的磁场只是则上面计算的磁场只是闭合电流磁场的一部分，闭合电流磁场的一部分，而安培环路定理中的而安培环路定理中的 所表达的是所表达的是闭合电路磁场的全部，闭合电路磁场的全部，故两者不相一致。故两者不相一致。ABB22l dI11l dIr3两电流元两电流元 和和 距离为距离为 ，并互相垂直，并互相垂直，两电流元之间的相互两电流元之间的相互作用力是否大小相等、作用力是否大小相等、方向相反方向相反?如果不是，那么是否违反牛顿第三定律如果不是，那么

13、是否违反牛顿第三定律?22l dI11l dIr22l dI11l dIr12B12Fd2110124rdlIB方向垂直向里方向垂直向里 122212BdlIdF 方向如图所示方向如图所示 所受作用力大小为所受作用力大小为 22l dI答：由毕奥一萨伐尔定律，答：由毕奥一萨伐尔定律， 在在 处产生的处产生的场强大小为场强大小为22l dI11l dI22l dI11l dIr12B12Fd021B021dF由此可见，这两个电流元之间的相互作用力由此可见，这两个电流元之间的相互作用力不遵守牛顿第三定律不遵守牛顿第三定律 所受作用力大小为所受作用力大小为11l dI在在 处产生的处产生的磁场大小为

14、磁场大小为 11l dI22l dI122212BdlIdF 22l dI11l dIr12B12Fd122212BdlIdF 021dF实际上，电流元实际上，电流元 受到当地磁场的力，受到当地磁场的力，施力者是磁场，受力者是电流元施力者是磁场，受力者是电流元 ， 的反作用力是电流元的反作用力是电流元 给磁场的力给磁场的力 ， 和和 才是一对作用力和反作用力。才是一对作用力和反作用力。因为因为 和和 不是一对作用力和反作用力，不是一对作用力和反作用力，两者不等，并不违反牛顿第三定律两者不等，并不违反牛顿第三定律 22l dI22l dI22l dI12Fd12Fd12/Fd12/Fd12Fd2

15、1Fd4在没有电流分布的空间区域里，在没有电流分布的空间区域里， 是否能存在这样的稳恒磁场：是否能存在这样的稳恒磁场：其磁感应线为一系列不均匀分布的平行直线。其磁感应线为一系列不均匀分布的平行直线。 BB1B2BSS答：不存在。答：不存在。假设存在如问题中所描述的磁场，假设存在如问题中所描述的磁场，磁感应线如图所示。磁感应线如图所示。0dSSBS当当 很小时，可得很小时，可得012SBSB12BB 有有 ，即同一条磁感应线上的，即同一条磁感应线上的 相等相等 B沿磁感应线做一柱形高斯面，沿磁感应线做一柱形高斯面，如图由磁场的高斯定理如图由磁场的高斯定理B/BBdabc说明假想的磁场不遵守稳恒磁

16、场的安培环路定理，说明假想的磁场不遵守稳恒磁场的安培环路定理，即这样的稳恒磁场并不存在即这样的稳恒磁场并不存在 0abcdal dB0/cdBabBl dBabcda而根据安培环路定理，而根据安培环路定理，考虑到环路考虑到环路 中中不包围电流，应有不包围电流，应有 abcda如再在该磁场中做一有向矩形安培环路如再在该磁场中做一有向矩形安培环路 ，让让 、 与磁感应线平行，与磁感应线平行， 、 与磁感应线垂直。与磁感应线垂直。设沿设沿 段磁感应强度为段磁感应强度为 ，沿，沿 段磁感应强度为段磁感应强度为 ，由磁感应线疏密不均匀可知由磁感应线疏密不均匀可知 ，磁感应强度沿该回路的线积分为磁感应强度

17、沿该回路的线积分为 abcdaababcdcdbcda/BBLiIl dHiI5介质中安培环路定理为，介质中安培环路定理为， 为正向穿过闭合回路的传导电流的代数和，为正向穿过闭合回路的传导电流的代数和，这是否可以说，这是否可以说， 只与传导电流有关，与分子电流无关只与传导电流有关，与分子电流无关H答：不可以这样认为。答：不可以这样认为。介质中的安培环路定理说明磁场强度介质中的安培环路定理说明磁场强度 的环路积分的环路积分只与穿过环路的传导电流有关，与分子电流无关，只与穿过环路的传导电流有关，与分子电流无关，但不能由此得出但不能由此得出 本身与分子电流无关本身与分子电流无关或与磁介质无关的结论。

18、或与磁介质无关的结论。 HH在一般情况下，在一般情况下， 是与分子电流有关的，是与分子电流有关的，因为介质磁化产生的分子电流也激发磁场。因为介质磁化产生的分子电流也激发磁场。这可以从公式这可以从公式 或或 中看出中看出 BHMBH0HLIILl dBLl dB0LIl dB06在一载流螺线管外，在一载流螺线管外，做一平面圆回路做一平面圆回路 ，且其平面垂直于螺线管的轴，且其平面垂直于螺线管的轴，圆心在轴上。圆心在轴上。则环路积分则环路积分 等于多少等于多少?有人说，有人说， ，有人根据安培环路定理认为有人根据安培环路定理认为 ，究竟哪种说法究竟哪种说法 正确正确?LLl dB0nIB00B答：

19、密绕的无限长螺线管，常用紧密排列的封闭答：密绕的无限长螺线管，常用紧密排列的封闭圆电流组来近似，因而管内圆电流组来近似，因而管内 ，管外，管外 。所以，紧密排列的封闭圆电流组产生的磁场中，所以，紧密排列的封闭圆电流组产生的磁场中，在管外绕一周，积分在管外绕一周，积分 。30LIILIl dB0但实际的螺线管并不等同于紧密排列的封闭圆电流组，但实际的螺线管并不等同于紧密排列的封闭圆电流组，电流总是从一端输入，一端输出，电流总是从一端输入，一端输出，以管外任一闭合回路为边界的曲面总和一根电线相交，以管外任一闭合回路为边界的曲面总和一根电线相交，因而因而 。 LLBB1S7在稳恒磁场中，穿出以封闭曲

20、线在稳恒磁场中，穿出以封闭曲线 为边界的为边界的 各曲面的各曲面的 通量是否均相等通量是否均相等?穿出以封闭曲线穿出以封闭曲线 为边界的各曲面的为边界的各曲面的 通量是否均相等通量是否均相等LLBH答：因为磁场是涡旋场，答：因为磁场是涡旋场， 根据磁高斯定理，根据磁高斯定理， 对任意闭合曲面均有对任意闭合曲面均有 ，因此正向穿出以因此正向穿出以 为边界的为边界的 诸曲面的磁通量相等。诸曲面的磁通量相等。或者形象地说磁感应线是闭合的，不能中断，或者形象地说磁感应线是闭合的，不能中断，穿出以穿出以 为边界的各曲面的磁感应线的数目是相同的为边界的各曲面的磁感应线的数目是相同的 0dSSBLLHHHB

21、rm00)1 (所以，由磁高斯定理得到所以，由磁高斯定理得到0dd0SrSSHSBrr如果不能保证任何闭合曲面上各点的如果不能保证任何闭合曲面上各点的 都相等，都相等，就不能将就不能将 移到积分号外，移到积分号外，也就不能推出也就不能推出 。因此，一般说来，不能得出因此，一般说来，不能得出通过以闭合曲线通过以闭合曲线 为边界的各曲面的通量均相等的结论为边界的各曲面的通量均相等的结论0dSSH但对于但对于 则不同，因为则不同，因为HL例如例如，一永磁棒，设棒内，一永磁棒，设棒内 为一常值，为一常值，对以对以 为边界的二曲面为边界的二曲面 和和 ，有，有21SSSdBSdBMBH0M1S2SLL对

22、对 面上各点，面上各点， ，因此因此111100SSSSSdMSdMSdBSdH1S1S2SMLM1S2SLL0022SSSdBSdH110SSSdMSdH21SSSdHSdH21SSSdBSdB0M0BH对对 上各点，上各点，因此因此2S显然显然 四、解题指导四、解题指导1a1O2O2a1a1O1a2O2a2a例例1. 载流的圆形线圈（半径载流的圆形线圈（半径 ）与）与正方形线圈（边长正方形线圈（边长 ）通有相同电流，）通有相同电流，若两个线圈中心若两个线圈中心 ， 处的磁感应强度大小相同，处的磁感应强度大小相同，求半径求半径 与边长与边长 之比为。之比为。20acm20IAO例例2.四条平

23、行的无限长直导线，四条平行的无限长直导线，垂直通过边长为垂直通过边长为 正方形顶点，正方形顶点，每条导线中的电流都是每条导线中的电流都是 ，这四条导线，这四条导线在正方形中心点在正方形中心点 产生的磁感应强度为产生的磁感应强度为 。 aO40.8 10BT41.6 10BT0B 40.4 10BTA. B. C. D. abcdebcdRO0120IB O例例3.一根无限长直导线一根无限长直导线 弯成图所示的形状，弯成图所示的形状，中部中部 是半径为是半径为 、对圆心、对圆心 张角为张角为 的圆弧的圆弧当通以电流当通以电流 时，时， 处磁感应强度的处磁感应强度的大小大小 ，方向为，方向为 。a

24、bcdeOIR01201R2RI例例4. 两个同心半圆弧组成一闭合线圈，通有电流两个同心半圆弧组成一闭合线圈，通有电流 ，设线圈平面法向设线圈平面法向 垂直纸面向里。垂直纸面向里。则圆心则圆心 点的磁感应强度点的磁感应强度 ， 线圈的磁矩线圈的磁矩 。nBmOI1.0Rcm3.0IA例例5.在一半径在一半径 的的无限长半圆柱形金属薄片中，无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流自上而下地有电流 通过，通过，试求：试求：圆柱轴线上任一点圆柱轴线上任一点 的磁感应强度的磁感应强度IOIabrBr例例6.有一很长的载流导体直圆管，有一很长的载流导体直圆管，内半径为内半径为 ，外半径为，外半径为 ，电流强度为，电流强度为 ，电流沿轴线方向流动，电流沿轴线方向流动，且均匀地分布在管壁的横截面上，且均匀地分布在管壁的横截面上，求空间各点的