结构力学第四章(2)-弯曲应力

1、1 引言引言 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面5、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力 引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力F 剪应力t t弯矩M 正应力s s平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无F的情况)平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有F又有M的情况)2、研究方法、研究方法纵向对称面纵向对称面P1P2例如： 某段梁的内力只有弯矩某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变没有剪力时，该段梁

2、的变形称为纯弯曲。如形称为纯弯曲。如AB段。段。PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):2 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、 纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴bdacabcdMM横截面上只有正应力。横截面上只有正应力。平面假设：平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发

3、生转动，距中性轴等高处，变形相等。转动，距中性轴等高处，变形相等。3. .推论推论2. .两个概念两个概念中性层：中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。4. 4. 几何方程：几何方程：OO1abOO1A1B1dq qr rxyabAB ryxABABBAx11 1111 OOOOBAqrqrqrdddy)( ry （二）物理关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向应 力状态。(2) .

4、 rsEyExxs sxs sx（三）静力学关系：（三）静力学关系：0dddrrrszAAAxESAyEAEyAF轴过形心中性)( 0zSz0dd)d(rrrsyzAAAyEIAyzEAEyzzAM（对称面永远满足）（对称面永远满足）MEIAyEAEyyAMzAAAzrrrsdd)d(22zzEIMr1 (3)EIz 杆的杆的抗弯刚度抗弯刚度 （弯曲刚度弯曲刚度）(4) . zxIM y s s（四）最大正应力：（四）最大正应力：zWMmaxs (5)DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圆环bBhH)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz回字框maxyI Wzz 抗弯截面模量

5、。抗弯截面模量。( 弯曲截面系数弯曲截面系数 )例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM331254120 180101212 5.832 10 mzbhIMPa7 .6110832. 56060

6、 5121zIyMss求应力18030( (压应力压应力) )MPa6 .92 10832. 510901060533max1max1zIyMsm 4 .194106010832. 51020035911MEIzrMPa2 .104maxmaxmaxzIyMs求曲率半径求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax1212018030y1y2GA1A2A3A4解：解：画弯矩图画弯矩图例例2 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样

7、放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM画危面应力分布图，找危险点画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度校核强度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMPa2 .4610763884824zByAIyMsLLss2 .28maxyyss2 .46maxT T字头在上面合理，反之失效。字头在上面合理，反之失效。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4MPa

8、0 .1710763525 . 2811zCyAIyMs3 3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1、两点假设： 剪应力与剪力平行；距中性轴等距离处，剪应力 相等。2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段；dxxbdxyxzOBA1B1AmmmnnmnttdAsyxzO1NF2NFsFd zzAzAzANSIMAyIMAIMyAFddd1111szzAzANSIdMMAyIdMMAFd)(d122s012SNNFdFFbdxFdStbISdxdMZZtbISFZZStt1ytt5 . 123maxAFFt t 方向：与横截面上剪力

9、方向相同；t t 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中F为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；zZbISF 1tIz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 工字钢截面：工字钢截面：maxtmint; maxA Qt tf结论：结论： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大剪应力Af 腹板的面积

10、。; maxA Ft tf 圆截面：tt3434maxAF 薄壁圆环：tt22maxAFzDzDd 4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴。缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴。Qt ts ss ss sMt t一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件： t

11、 tt t zzIbSQmaxmaxmax s ss s zWMmaxmax3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：校核强度校核强度： ;maxmaxttss设计截面尺寸：设计截面尺寸：maxsMWz设计载荷：设计载荷：)( ;maxmaxMfPWMzs4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M 较小，而 F 较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。解：解： 画内力图求危面内力画

12、内力图求危面内力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x 求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度q=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+xmaxmaxmax34050 0.0912 6.25MPa7MPa zMybhIss0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQ二、梁的合理设计二、梁的合理设计

13、（一）矩形木梁的合理高宽比（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhbhAQ3433. 1mmaxtt 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1tt)2/( ;,41221 DRaaD时当强度：正应力：剪应力：1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 sszIyM ttzzbIQS* 其它材料与其它截面形状梁的合理截面zDzaamtt2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时当1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWmtt5 . 1maxzD0.8Da12a1z)(= 3 . 2mmaxfAQtt工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z 对于铸铁类抗拉、压能