结晶学第四讲—点对称操作和晶系.

1、第四讲第四讲 点对称操作、点对称操作、晶系晶系第三讲第三讲 晶体投影晶体投影意义：意义：1、投影是研究晶体外形和结构、投影是研究晶体外形和结构的有用工具。的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达极射赤面投影能清楚表达晶体点群中对称要素的空间分布晶体点群中对称要素的空间分布。复习：复习：AB180o - 180o - a1a2a3a5a4a6P2P6P5P3P4P1PZT微观对称性的反映微观对称性的反映Op = r tan( /2)SNOAP p /2rSNSNSNOACBSNOxyyxzSNSNSNBANBANBASNOBANBAN例：铜单晶体的极射赤面投影例：铜单晶体的极射赤面投影(001)(

2、100)(010)(111)(111)(111)(111)yxz(110)(110)(101)(011)(001)(100)(010)(110)(110)(101)(011)010100010100001001110110110110011011101101011011010100001yxzCu单晶体的极射赤面投影单晶体的极射赤面投影(111)(111)(111)(111)xy111111111111010100010100001110110110110011101101011001100010第四讲第四讲(I)(I) 点对称操作点对称操作在操作过程中保持空间有一不动点在操作过程中保持空间有

3、一不动点的对称操作。的对称操作。比较：平移操作比较：平移操作(t)花椒凤蝶花椒凤蝶 狼毒狼毒 香格里拉的秋天香格里拉的秋天 三叶草三叶草 四叶三叶草四叶三叶草 Type Ib HPHT Diamond Type IIa CVD Diamond Natural Diamond 43.51 carat SG(No.227): Fd3mDiamond single crystals for abrasives1 (E，L1)重要概念：重要概念：对称操作、点对称操作、参考轴、对称算符对称操作、点对称操作、参考轴、对称算符晶体对称的特点：晶体对称的特点：晶体外形的对称性（宏观对称晶体外形的对称性（宏观对

4、称性）决定于晶体内部结构的对称性（微观对称性）。所有的晶性）决定于晶体内部结构的对称性（微观对称性）。所有的晶体结构都是对称的。晶体外形是有限图形，宏观对称是有限的，体结构都是对称的。晶体外形是有限图形，宏观对称是有限的，而微观结构被视作无限的。晶体的对称不仅体现在外形上，同而微观结构被视作无限的。晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。时也体现在物理性质上。yxzxym (，P )xy极射赤面（平）投影极射赤面（平）投影yxz对称操作、点对称操作、参考轴、对称算符对称操作、点对称操作、参考轴、对称算符对分子或晶体，对分子或晶体，使其各个原子的位置发生变换使其各个原子的位置发生变换

5、的操作，但其结果是使分子或的操作，但其结果是使分子或晶体的状态与操作前的状态正晶体的状态与操作前的状态正好相同。好相同。在操作过程中保在操作过程中保持空间有一不动点的对称操作。持空间有一不动点的对称操作。bac1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ABABttt = mt镜面镜面m001，反映，反映恒等恒等 1x y zx y z-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1=x y zx y z=-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1参考轴：参考轴：对称算符对称算符r = Rra, b, c (无需正交无需正交)x y zx y za11 a21

6、 a31a11 a21 a31a11 a21 a31=r = xa + yb + zcr = xa + yb + zc(x,y,z)(x,y,z)rrabc = 90o 直角坐标直角坐标 = 120o 六角坐标六角坐标对称心对称心(i)，反演，反演x y zx y z-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1=m001x y zx y z=-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1m100 x y zx y z=-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1m010 x y zx y z=-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1m110 x y zx y z=-0 -1

7、-0-1 -0 -0-0 -0 -1m110 x y zx y z=-0 -1 -0-1 -0 -0-0 -0 -1m001 ( = 90o)x y zx y z=-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1m001 ( = 120o)x y zx y z=-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1对称心对称心(i)，反演，反演x y zx y z-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1=m110 ( = 90o)x y zx y z=-0 -1 -0-1 -0 -0-0 -0 -1m110 ( = 120o)x y zx y z=-0 -1 -0-1 -0 -0-0 -0

8、-1baba直角坐标直角坐标 六角坐标六角坐标 1 (E, L1)2 (C2, L2)+_+_3 (C3, L3)3 (C3, L3); 33; 333x y zx y z=-0 -1 -0-1 -1 -0-0 -0 -14 (C4, L4)4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 16 (C6, L6)6 (C6, L6); 62 = 3; 63 = 2; 64; 65; 66 = 1+_,1 (i, C)+_,+_,2 (, P), m+_,+_,+_,3 (S65, Li3)3 (S65, Li3) = 3C4 (S43, Li4)6 (S35, Li6)6 (S35,

9、Li6) = 3+m1 (E, L1)2 (C2, L2)3 (C3, L3)4 (C4, L4)6 (C6, L6)360o/n1 (i, C)2 (, P), m3 (S65, Li3)4 (S43, Li4)6 (S35, Li6)+_,+_,旋转轴，旋转轴， n 旋转反演轴，旋转反演轴， n 第四讲第四讲(II)(II) 晶系晶系七种晶系的提出，正是由于将各种不同的真旋转七种晶系的提出，正是由于将各种不同的真旋转和非真旋转操作应用于单胞的各个轴或点阵平移和非真旋转操作应用于单胞的各个轴或点阵平移矢量所得到的结果。矢量所得到的结果。晶系是由晶体的对称性来划分的。单胞几何形状晶系是由晶体的

10、对称性来划分的。单胞几何形状(晶胞参数晶胞参数)的限制是对称性要求的结果。的限制是对称性要求的结果。对称条件对称条件晶系晶系特点特点四个三次轴四个三次轴三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)a b c, a b c, = = 90o a b c, = = = 90oa = b c, = = = 90oa = b c, = = 90o, = 120oa = b = c, = = = 90oa = b = c, = =

11、 菱形菱形a = b c, = = 90o, = 120o(x,y,z)(x,y,z)rrabc = 90o 直角坐标直角坐标 = 120o 六角坐标六角坐标参考轴：参考轴：对称算符对称算符r = Rra, b, c (无需正交无需正交)x y zx y za11 a21 a31a11 a21 a31a11 a21 a31=r = xa + yb + zcr = xa + yb + zc这里这里(x, y, z) 和和 (x, y, z) 可以是单胞轴长的分可以是单胞轴长的分数，表示原子位置。数，表示原子位置。三斜晶系：三斜晶系：1(E)或或1(i)恒等恒等 Ex y zx y z-1 -0

12、-0-0 -1 -0-0 -0 -1=对称心对称心(i)，反演，反演x y zx y z-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1=两种操作中，单胞轴彼此之间没有任何约束关系，两种操作中，单胞轴彼此之间没有任何约束关系，所以对单胞的几何形状没有特别限制，即：所以对单胞的几何形状没有特别限制，即：a b c, 单斜晶系：单斜晶系：2(C2)或或2(m)m001x y zx y z=-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -12001x y zx y z=-1 -0 -0-0 -1 -0-0 -0 -1r = 2001r = xa yb + zcr = m001r = xa + yb z

13、c2 2次旋转不变要求：次旋转不变要求： xa zc = xa zc a b c, = = 90o a c, = 90oa = b c, = = = 90oa b c, = = = 90oCrystal SystemsCrystal structures are divided into groups according to unit cell geometry (symmetry).xymmm (3L23PC)极射赤面（平）投影极射赤面（平）投影一般形一般形正交晶系：正交双锥晶类正交晶系：正交双锥晶类极射赤面（平）投影极射赤面（平）投影一般形一般形xy四方晶系：四方四面体晶类四方晶系：四方

14、四面体晶类4 (Li4)4/m (L4PC)极射赤面（平）投影极射赤面（平）投影一般形一般形xy四方晶系：四方双锥晶类四方晶系：四方双锥晶类23 (3L24L3)xy极射赤面（平）投影极射赤面（平）投影一般形一般形立方晶系：立方晶系：五角三四面体晶类五角三四面体晶类习题：习题：结晶学结晶学Page 47: Page 47: 3, 4, 6, 73, 4, 6, 7基元基元Basis点阵，点阵，Latticeab1234初基晶胞，初基晶胞，primitive unit cell晶胞，晶胞，lattice unit cellOblique, a b 90o基元基元Basis点阵，点阵，LatticeRecta