蒙特卡罗方法(Ⅰ).

1、蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法D. Frenkel and B. Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications (Elsevier, 1996)D.P. Landau and K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics (Cambridge University Press, Cambridge, 2000)马文淦，马文淦， 计算物理学计算物理学 （中国科技大学出版社，（中国科技大学出版社，2001年）年）

2、丁泽军，丁泽军，计算物理计算物理 （2011年）年）主要参考书目主要参考书目计算机模拟和蒙特卡罗方法计算机模拟和蒙特卡罗方法实验方法实验方法模拟方法模拟方法理论方法理论方法格林函数格林函数重整化群（重整化群（NRG，DMRG，FRG）微扰法微扰法变分法变分法转移矩阵法转移矩阵法精确对角化方法精确对角化方法DMFT等等分子束外延分子束外延电化学方法电化学方法ARPESSTM中子散射中子散射x射线衍射等射线衍射等第一性原理第一性原理分子动力学分子动力学蒙特卡罗方法（蒙特卡罗方法（KMC,QMC,PMC）耗散动力学等。耗散动力学等。物理学研究方法物理学研究方法目目 录录第一节第一节 蒙特卡罗方法概述

3、蒙特卡罗方法概述第二节第二节 随机数与随机变量抽样随机数与随机变量抽样第三节第三节 量子蒙特卡罗方法（量子蒙特卡罗方法（1）第四节第四节 量子蒙特卡罗方法（量子蒙特卡罗方法（2）第五节第五节 蒙特卡罗方法的应用实例蒙特卡罗方法的应用实例蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法概述-基本思想基本思想 理论依据：理论依据：大数定理：均匀分布的算术平均收敛于真值大数定理：均匀分布的算术平均收敛于真值中心极限定理：置信水平下的统计误差中心极限定理：置信水平下的统计误差 两个例子：两个例子：Buffen投针实验求投针实验求射击问题（打靶游戏）射击问题（打靶游戏）基本思想：基本思想： 针对待求问题，根据物理现象本身的

4、统计规律，针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量的统计实验方法或计算机随机模拟方法。计量的统计实验方法或计算机随机模拟方法。Buffon投针实验投针实验(1777年）求年）求:各向同性随机投针，则夹角各向同性随机投针，则夹角在在,均匀分布，所以：均匀分布，所以：设投针设投针N次，相交次数为次，相交次数为M，则相交概率的期望值：，则相交概率的期望值：02(cos)cos( )Efd 22(cos)MNENMN大数定

5、理大数定理蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法概述-基本思想基本思想针与平行线垂直方向夹角为针与平行线垂直方向夹角为，则相交概率为：则相交概率为：平行线间距针长平行线间距针长s许多人进行了实验，其结果列于下表许多人进行了实验，其结果列于下表 ：实验者年份投计次数的实验值的实验值沃尔弗沃尔弗(Wolf)185050003.1596史密思史密思(Smith)185532043.1553福克斯福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929蒙特卡洛方法的基本思想蒙特卡洛方法的基本思想蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法概述-基本思想基本思想. .用

6、概率语言，用概率语言，是随机变量是随机变量(r)的数学期望，即的数学期望，即)(rgEg 0)()(drrfrgg. .假设该运动员进行了假设该运动员进行了次射击，每次射击的弹着点依次为次射击，每次射击的弹着点依次为r1，r2，rN，则，则次得分次得分g(r1)，g(r2)，g(rN)的算术平均值的算术平均值NiiNrgNg1)(1代表了该运动员的成绩代表了该运动员的成绩射击问题（打靶游戏）射击问题（打靶游戏）蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法概述-基本思想基本思想1.设设r表示射击运动员弹着点到靶心的距离，表示射击运动员弹着点到靶心的距离，(r)表示击中表示击中r处相应的处相应的得分数（环数），得

7、分数（环数），f(r)为该运动员弹着点的分布密度函数，则该运动为该运动员弹着点的分布密度函数，则该运动员的射击成绩为：员的射击成绩为：. .用用次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望的估计值。的估计值。例如，设射击运动员的弹着点分布为例如，设射击运动员的弹着点分布为环数环数 7 78 89 91010概率概率 0.10.10.10.10.30.30.50.5用计算机作随机试验（射击）：选取一个用计算机作随机试验（射击）：选取一个随机数随机数，按右边所列方法判断得到成绩。，按右边所列方法判断得到成绩。这样，就进行了一次随机试验（射击），这样，就进行了一次随机

8、试验（射击），得到了一次成绩得到了一次成绩(r)，作，作次试验后，得次试验后，得到该运动员射击成绩的近似值到该运动员射击成绩的近似值 NiiNrgNg1)(1蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法概述-基本思想基本思想 收敛性收敛性:大数定理大数定理NiiNXNX11由大数定律，如果由大数定律，如果X1，X2，XN独立同分布，且具有有限期望独立同分布，且具有有限期望值值（E(X)x的概率的概率余函数余函数 随机数的产生和检验随机数的产生和检验-统计检验统计检验因此，当给定置信度因此，当给定置信度 后，由方程后，由方程Q(2 | ) = 解出解出值，如果由（值，如果由（1）式计算出来的式计算出来的 小于小

9、于 ，则认为在此置信度下，伪随机数序列在，则认为在此置信度下，伪随机数序列在0,1中是均匀分布的。中是均匀分布的。（1）顺序相关法）顺序相关法222( )nn lnnnx xxC lxx 用两个随机数的自相关函数来用两个随机数的自相关函数来标识伪随机数序列的独立性情标识伪随机数序列的独立性情况，间距为况，间距为l 的自相关函数的自相关函数相关系数越小，独立性越好。相关系数越小，独立性越好。随机数产生及检验随机数产生及检验-独立性统计检验独立性统计检验（2）多维频率检验）多维频率检验（1）将伪随机数序列用任意一种办法进行组合，每）将伪随机数序列用任意一种办法进行组合，每S 个随机数作为个随机数作

10、为S 维空间中的一个点的坐标值，于是构成一个点序列。维空间中的一个点的坐标值，于是构成一个点序列。（2）把）把S 维空间中的单位方体分成维空间中的单位方体分成K个子方体，个子方体，方体边长方体边长10SKK （3 3）统计落在第）统计落在第k 个子方体中的实际个子方体中的实际频数频数nk，它应当趋近于理论频数：，它应当趋近于理论频数：0SkNmNKM 伪随机数的独立性伪随机数的独立性例如将例如将2N 个随机数序列个随机数序列分为两组：分为两组：1 , 3, 2 , 4, ，分别作为平面中分别作为平面中N 个点个点的的x 和和y 坐标值。在坐标值。在xy 平平面中作面中作K0K0 个小正方个小正

11、方形网格区域，落在第形网格区域，落在第(i, j) 个网格区域中的实际频个网格区域中的实际频数为数为nij。随机数产生及检验随机数产生及检验-独立性统计检验独立性统计检验条带结构条带结构规则网格结构规则网格结构随机变量的抽样随机变量的抽样-离散型直接抽样法离散型直接抽样法111nniiiipp 随机变量随机变量X ：x1,x2,x3,xN例如：例如：x可取可取3个值个值x1, x2, x3，出现的几率分别为，出现的几率分别为2/8,5/8,1/8，则随机数，则随机数小于小于2/8时实现时实现x1 ，在区间，在区间2/8,7 /8中时实现中时实现x2 ，大于，大于7/8时实现时实现x3.概率密度

12、概率密度f ：p1,p2,p3,pN如果从如果从0,1区间中均匀抽样得到的随机数区间中均匀抽样得到的随机数 满足下式时满足下式时则物理量则物理量x 取值为取值为xn 。实际需要的大多数随机变量并不是实际需要的大多数随机变量并不是0,10,1区间均匀分布的，而是区间均匀分布的，而是有各种不同形式分布密度函数的随机变量。因此，有各种不同形式分布密度函数的随机变量。因此，对不均匀对不均匀随机变量抽样的关键问题是如何从均匀分布的伪随机变量样本随机变量抽样的关键问题是如何从均匀分布的伪随机变量样本中，抽取符合所要求的分布密度函数的简单子样。中，抽取符合所要求的分布密度函数的简单子样。随机变量的抽样随机变

13、量的抽样-离散型直接抽样法离散型直接抽样法!nnpen 例如例如Poisson 分布是离散型分布分布是离散型分布对此分布进行抽样得到第对此分布进行抽样得到第n 个事件发生的条件为个事件发生的条件为100!iinniieii 3MeV光子入射屏蔽铅板的全吸收反射过程光子入射屏蔽铅板的全吸收反射过程 反应类型反应类型X： 光电效应光电效应 康普顿散射康普顿散射 电子对产生电子对产生 反应截面反应截面： 1 2 3 反应几率反应几率 f ： 1= 1/ 2= 2/ 3= 3/ 归一化：归一化：123123100%电子对产生电子对产生光电效应光电效应康普顿效应康普顿效应NNYY1i2ii设连续型变量设

14、连续型变量x 在区间在区间 a, b 中取值，将上述的离散情形取连续极限中取值，将上述的离散情形取连续极限: :limlim0nNNbaxN ( )( )xaxp x dx (a) = 0,(b) = 1且是单调增加且是单调增加要求变量要求变量x，可由上式解析反可由上式解析反解出解出x ( ) 的函数表达式，即的函数表达式，即求反函数。这对一些简单的几求反函数。这对一些简单的几率密度函数解析表达式是很容率密度函数解析表达式是很容易做到的。易做到的。随机变量的抽样随机变量的抽样-连续型直接抽样法连续型直接抽样法求累积函数求累积函数p(x)是已归一化的几率密度分布函数是已归一化的几率密度分布函数( )1,( )1bap x dxp x 对于未归一化的物理量（如截面对于未归