高三一轮数学（理）总复习-10.8　n次独立重复试验与2项布【系列四】

1、10.8n次独立重复试验与二项分布知识梳理1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)(P(A)>0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)(n(AB)表示AB共同发生的基本事件的个数)(2)条件概率具有的性质0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(

2、A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)诊断自测1概念思辨(1)相互独立事

3、件就是互斥事件()(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)P(A)·P(B)()(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b(1p)()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布()答案(1)×(2)×(3)×(4)2教材衍化(1)(选修A23P55T2(1)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取

4、两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A. B. C. D.答案C解析记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)，P(AB)×，所以P(B|A).故选C.(2)(选修A23P58T2)将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k1次正面的概率，则k_.答案2解析依题意有C×k×5kC×k1×5(k1)，所以CC，所以k2.3小题热身(1)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等

5、品的概率为()A. B. C. D.答案B解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)，P(B)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)××.故选B.(2)(2015·全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312答案A解析3次投篮投中2次的概率为P(k2)C×0.62×(10.6)3&

6、#215;0.62×0.4，投中3次的概率为P(k3)0.63，所求事件的概率PP(k2)P(k3)0.648.故选A.题型1条件概率从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B. C. D.答案B解析解法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)1.故由古典概型概率P(B|A).故选B.解法二：P(A)，P(AB).由条件概率计算公式，得P(B|A).故选B.条件探究1若将本典例中的事件B改为“取到的2

7、个数均为奇数”，则结果如何？解P(A)，P(B).又BA，则P(AB)P(B)，所以P(B|A).条件探究2本典例条件改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值解从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A种方法；其中第一次取到的是奇数，有AA种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有AA种方法则P(A)，P(AB)，P(B|A).方法技巧条件概率的两种求解方法1利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，这是求条件概率的通法2借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)

8、，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).冲关针对训练(2017·唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为()A0.6 B0.7 C0.8 D0.9答案C解析设“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)0.5，P(AB)0.4，则P(B|A)0.8.故选C.题型2相互独立事件的概率(2014·陕西高考)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上

9、的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率解(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，利润产量×市场价格成本，X所有可能的取值为500×1010004000,500×610002000，300×1010002000,300×

10、;61000800.P(X4000)P()P()(10.5)×(10.4)0.3，P(X2000)P()P(B)P(A)P()(10.5)×0.40.5×(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.5×0.40.2，所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)

11、0.830.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)3×0.82×0.20.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.5120.3840.896.方法技巧利用相互独立事件求概率的思路1求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算2求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算冲关针对训练(2018·

12、哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列解记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则，于是P()P()P()×，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,

13、100,120,220，因为P(X0)P()×，P(X100)P(F)×，P(X120)P(E)×，P(X220)P(EF)×.故所求的分布列为X0100120220P题型3独立重复试验与二项分布(2017·太原一模)近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的(1)求未来一周5天至少一天停止组织集体活

14、动的概率；(2)求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X的分布列；(3)用表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数f(x)x2x1在(3,5)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率解(1)未来一周5天都组织集体活动的概率是P32，则至少有一天停止组织集体活动的概率是1P.(2)X的取值是0,1,2,3,4,5，则P(X0)，P(X1)3×C××C32，P(X2)C32C3×C××32，P(X3)C32C3×C××32，P(X4)C323×C××，P(

15、X5)32，所以不需要停止组织集体活动的天数X分布列是X012345P(3)函数f(x)x2x1在(3,5)上有且只有一个零点，且05，则f(3)f(5)<0，故3或4，故所求概率为P(A)C32C3×C××323×C××C3·2.方法技巧1独立重复试验的实质及应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程2判断某概率模型是否服从二项分布Pn(Xk)Cpk(1p)nk的三个条件(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p.(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而

16、且每次试验的结果是相互独立的(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布冲关针对训练(2018·洛阳统考)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实情况抽查(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不

17、同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望解(1)随机选取，共有3481种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C(CAC)42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为.(2)设事件A：“一个城市需复检”，则P(A)14，X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X0)C·3，P(X1)C·2·，P(X2)C··2，

18、P(X3)C·3.所以X的分布列为X0123PXB，E(X)3×.1(2014·全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45答案A解析由条件概率公式可得所求概率为0.8，故选A.2(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A

19、. B. C. D.答案C解析设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)，P(AB)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A).故选C.3(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_答案解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为12，且XB，均值是2×.4(2018·长沙模拟)某中学高三年级共有学生1000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按70

20、,80)，80,90)，140,150分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图(1)求x的值；(2)试估计本次模拟考试数学成绩在130,150内的学生人数；(3)为了研究低分学生的失分情况，3位教师分别在自己电脑上从成绩在80,100)内的试卷中随机抽取1份进行分析，每人抽到的试卷是相互独立的，为抽到的成绩在90,100)内的试卷数，写出的分布列，并求数学期望解(1)由(0.0020.0050.0082x2×0.020.025)×101，得x0.01.(2)由(1)得成绩在130,150内的频率为(0.010.008)×100.18，估计本次模拟考试数学成绩在13

21、0,150内的学生人数为1000×0.18180.(3)由图得成绩在80,100)内的试卷数为1000×(0.010.005)×10150，其中成绩在80,90)内的试卷数为50，成绩在90,100)内的试卷数为100，从中任取1份试卷，则成绩在80,90)内的概率为，成绩在90,100)内的概率为.由题意知的所有可能取值为0,1,2,3，故P(0)C×0×3，P(1)C××2，P(2)C×2×，P(3)C×3×0.所以的分布列为0123P由于B，所以E()3×2.重点保分

22、两级优选练A级一、选择题1(2018·广西柳州模拟)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A“至少有一次出现反面”，事件B“恰有一次出现正面”，则P(B|A)()A. B. C. D.答案A解析依题意得P(A)1，P(AB)，因此P(B|A)，故选A.2(2018·厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为()A. B. C. D.答案A解析第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为PC2××.故选A.3(2017·山西一模)甲乙二人争夺

23、一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为()A. B. C. D.答案B解析由题意，甲获得冠军的概率为×××××，其中比赛进行了3局的概率为××××，所求概率为÷，故选B.4口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列an：an如果Sn为数列an的前n项和，那么S73的概率为()AC2·5 BC2·5CC2·5 DC2·5答案

24、B解析S73说明摸取2个红球，5个白球，故S73的概率为C2·5，故选B.5(2017·天津模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X12)等于()AC102 BC102CC22 DC102答案D解析“X12”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X12)C9×2×C102.故选D.6如果B，那么使P(k)取最大值的k值为()A3 B4 C5 D3或4答案D解析采取特殊值法P(3)C312，P(4)C411，P(5)C510，从而

25、易知P(3)P(4)>P(5)故选D.7如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A. B. C. D.答案A解析设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B).则P(AB)P(A)P(B)×.故选A.8设随机变量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)，则P(Y2)的值为()A. B. C. D.答案B解析P(X1)P(X1)P(X2)Cp(1p)Cp2，解得p.故P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1C×4C××

26、;3.故选B.9某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D400答案B解析1000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，不发芽的种子数B(1000,0.1)1000粒种子中不发芽的种子数的期望E()1000×0.1100粒又每粒不发芽的种子需补种2粒，需补种的种子数的期望E(X)2×100200粒故选B.10位于坐标原点的一个质点M按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点M移动五次后位于点(2,3)的概率

27、是()A.5 BC×5CC×3 DC×C×5答案B解析如图，由题可知质点M必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率所求概率为PC×2×3C×5.故选B.二、填空题11(2017·眉山期末)已知XB，当P(Xk)(kN,0k8)取得最大值时，k的值是_答案4解析XB，P(Xk)Ck8kC8，当P(Xk)(kN,0k8)取得最大值时只有C是一个变量，根据组合数的性质得到当k4时，概率取得最大值12(2017·安顺期末)甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽

28、奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为_答案解析每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，设甲中奖概率为P(A)，乙中奖的概率为P(B)，两人都中奖的概率为P(AB)，则P(A)0.6，P(B)0.6，两人都中奖的概率为P(AB)0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P(B|A).13(2017·南昌期末)位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则电子兔移动五次后位于点(1,0)的概率是_答案解析根据题意，质点P移动五次后位

29、于点(1,0)，其中向左移动3次，向右移动2次；其中向左平移的3次有C种情况，剩下的2次向右平移；则其概率为C×2×3.14先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“xy为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且xy”，则概率P(B|A)_.答案解析根据题意，事件A为“xy为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×318个基本事件事件A发生的概率为P(A)，而A，B同时发生，基本事件有“24”“26”“42”“46”“62”“64”，一共有6个基本事件，事件A，B同时发生

30、的概率为P(AB)，P(B|A).B级三、解答题15(2017·河北“五个一名校联盟”二模)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300以上为严重污染一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为，求的分布列和数学期望解(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量

31、为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，该样本中空气质量为优良的频率为，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，的所有可能取值为0,1,2,3，且B.P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3，的分布列为0123PE()3×1.8.16党的十九大报告提出：要提高人民健康水平，改革和完善食品、药品安全监管体制为加大监督力度，某市工商部门对本市的甲、乙两家小型食品加工厂进行了突击抽查，从两个厂家生产的产品中分别随机抽取10件样品，测量该产品中某种微量元素的含量(单位：毫克)，所得测量数据如图食品安全法规定：优等品中

32、的此种微量元素含量不小于15毫克(1)从甲食品加工厂抽出的上述10件样品中随机抽取4件，求抽到的4件产品优等品的件数的分布列；(2)若从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件，求甲、乙食品加工厂抽到的优等品的件数恰好相同的概率解(1)由茎叶图，从甲食品加工厂抽出的10件样品中，优等品有8件，非优等品有2件，故抽取的4件样品中至少有2件优等品，的可能取值为2,3,4.P(2)，P(3)，P(4).的分布列为234P(2)甲食品加工厂抽取的样品中优等品有8件，乙食品加工厂抽取的样品中优等品有7件故从甲、乙两个食品加工厂的10件样品中分别任意抽取3件，则优等品的件数相同时，可能为1件、2

33、件或3件优等品同为3件的概率P1×；优等品同为2件时的概率P2×；优等品同为1件时的概率P3×.故所求事件的概率为PP1P2P3.17(2018·郑州质检)2017年3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在14.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1