弯曲应力好全新

1、1第 11 章 弯曲应力21 引言2 对称弯曲正应力 3 惯性矩与平行轴定理4 对称弯曲切应力5 梁的强度条件6 梁的合理强度设计第 11 章 弯曲应力31 引 言 弯曲应力与对称弯曲弯曲应力与对称弯曲 本章内容本章内容单辉祖:工程力学4 弯曲应力与对称弯曲弯曲应力与对称弯曲弯曲应力l 弯曲正应力弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的梁弯曲时横截面上的s sl 弯曲切应力弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的梁弯曲时横截面上的t t对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式外力时的受力与变形形式对称弯曲对称弯曲纯弯曲纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪

2、力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲62 对称弯曲正应力 弯曲弯曲试验与假设试验与假设 对称弯曲正应力公式对称弯曲正应力公式 例题例题实验观察实验观察变形前变形前变形后变形后变形后变形后横向线横向线mm nn 仍为直线，仍为直线，但有转动。纵向线但有转动。纵向线aa，bb变为曲变为曲线。横向线与纵向线仍正交。线。横向线与纵向线仍正交。弯曲变形的平面假设：弯曲变形的平面假设：假设变形假设变形后横截面仍保持平面，且仍然垂后横截面仍保持平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。直于变形后的梁轴线。此假设已为弹性力学的理论

3、分析结果所证实。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 弯曲试验与假设弯曲试验与假设变形前变形前变形后变形后由于弯曲的作用，由于弯曲的作用，上部纤维缩上部纤维缩短短，下部纤维伸长下部纤维伸长。中间必有一层保持原长，这一中间必有一层保持原长，这一层称为层称为: 中性层中性层实验观察实验观察cc 是中性层和横截面的交线，称为是中性层和横截面的交线，称为中性轴。中性轴。中性轴中性轴实验观察实验观察中性轴通过横截面形心。中性轴通过横截面形心。横截面横截面中性层中性层中性轴中性轴杆件弯曲过程中，横截面绕对应的中性轴转动。杆件弯曲过程中，横截面绕对应的中性轴转动。纯弯曲时正应力公式的推导过程纯弯曲时正应

4、力公式的推导过程变形变形应变应变应力应变关系应力应变关系变换公式得到应力公式变换公式得到应力公式变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 静力学关系静力学关系变形几何关系变形几何关系从纯弯曲梁中沿轴线取从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段的微段:中性层位于中性层位于CCmm 变形前长度变形前长度:ddLx mm 变形后长度变形后长度:()dLymm 位置的线应变位置的线应变:yyyddd)()(表明：距离中性层为表明：距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与的任一纵向纤维的线应变与y 成正成正比，与比，与 成反比。成反比。物理关系物理关系纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压纵向纤维之间

5、无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，当应力小于某一限值缩，当应力小于某一限值(比例极限比例极限)时，由胡克定律时，由胡克定律:sE几何关系代入几何关系代入yy )(得到得到syEy )(静力学关系静力学关系AAyFd)(Ns( )dyAMzyAsz( )dAMyyAs纯弯曲时有：纯弯曲时有：)(00N弯矩MMMFzy微内力微内力dA组成垂直于横截面的空间平行力系。此力系组成垂直于横截面的空间平行力系。此力系简化为三个内力分量：简化为三个内力分量：N( )dd0AAEFyAy AsAzSAy0d( )Eyys横截面对横截面对 z 轴静矩等于零，轴静矩等于零，即即z轴轴(中性轴中性轴)过横截面

6、形心。过横截面形心。)(d)(z弯矩MAyyMAs2zddAAEyEMy AyAMAzIAy d2横截面对横截面对 z 轴轴(中性中性轴轴)的的惯性矩惯性矩MIEzzEIM1 曲率半径曲率半径EIZ梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度越大越大 ， 越大越大梁轴线弯曲后的梁轴线弯曲后的曲率的数学表达式曲率的数学表达式。几何关系几何关系( )yy物理关系物理关系sE( )( )yyEyEs静力学关系静力学关系zEIM1( )zMyyIs弯曲正应力公式弯曲正应力公式zMyI1zMEyEyEIM 该面的弯矩该面的弯矩Iz 惯性矩惯性矩y 该点该点与中性层距离与中性层距离( )zMyyIs对某一指定截面，对某一指定

7、截面，M和和Iz 都是确定的，当横截面的弯矩都是确定的，当横截面的弯矩为正时，则为正时，则s s (y) 沿截面高度的分布规律：沿截面高度的分布规律：受压一侧正应力为负，受压一侧正应力为负，受拉一侧正应力为正。受拉一侧正应力为正。弯曲正应力公式弯曲正应力公式17结论结论中性轴过截面形心中性轴过截面形心zEIM 1zIMyy )(s s 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲刚度）截面弯曲刚度）（zEIzWM maxs s 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（zW 正正应力公式：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率：)()(yEy s s 0d AAs sMAyAds s 惯性矩）惯性矩）（zI总总 结结假

8、设假设平面假设，单向受力假设平面假设，单向受力假设综合考虑三方面综合考虑三方面 yy )(18 例例 题题 P217例11-1 梁用梁用18 工字钢工字钢 制成制成，Me=20 kNm, E=200 GPa。试试计算：计算：最大最大弯曲正弯曲正应力应力s smax ，梁轴曲率半径，梁轴曲率半径 解：1. 工字钢（工字钢（GB 706-1988）一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zW18 工字钢：工字钢：(P359)192. 应力计算应力计算3. 变形计算变形计算mkN 0 .20e MMMe=20

9、 kNm，E=200 GPa，求求 s smax 与与 45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zWzWMmaxs szEIM 1MEIz MPa 1 .108m 166203 惯性矩与平行轴定理 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 平行轴定理平行轴定理 例题例题 静矩：静矩：yzAyzdA,yzAASzdA SydA形心公式形心公式ASzASyyczc ,AzSAyScycz,截面图形的几何性质截面图形的几何性质图形对形心轴的静矩等于零。图形对形心轴的静矩等于零。 如图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。如图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。平面图形

10、的面积平面图形的面积A A与其形心到某一坐标轴的距与其形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的离的乘积称为平面图形对该轴的静矩静矩 .组合截面静矩组合截面静矩niiAA1组合截面面积组合截面面积组合截面的形心坐标公式为：组合截面的形心坐标公式为：niiniciiycniiniiizcAzAASzAyAASy1111c ，组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式ciniiyciniizzASyAS11 惯性矩惯性矩22,yzAAIz dAIy dAyzAyzdA截面图形的几何性质截面图形的几何性质 常见横截面的惯性矩和抗弯截面系数常见横截面的惯性矩和抗弯截面系数maxyIWzz212

11、3hbh62bhmaxyIWzz2644dd323d312ZbhI 464ZdI44164zDI34132zDWdD惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。极惯性矩：极惯性矩：yzdAzyo（对（对o点而言）点而言）AodAI2pI222yz 惯性矩与极惯性矩的关系：惯性矩与极惯性矩的关系：ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII 25 平行轴定理平行轴定理Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz 任意直角坐标系任意直角坐标系 AzAyId22020d2dAaAyaAyIAAz 20AaIIzz AyIAzd200 同理得：同理得：20AbIIyy 0

12、d 0 AAy AzAayId20二者平行二者平行的关系的关系与与建立建立 0zzII平行轴定理：平行轴定理：截面对任一坐标轴的惯性矩截面对任一坐标轴的惯性矩, , 等于对其平行形心等于对其平行形心轴的惯性矩，加上截面面积与两轴距离平方的乘积轴的惯性矩，加上截面面积与两轴距离平方的乘积. .zz0y26 例例 题题 P221例 11-3 已知：已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d d=20mm试计算试计算：截面截面 B-B 的最大拉应力的最大拉应力s st,max与压应力与压应力s sc,max解：1. 弯矩计算弯矩计算mN 6000 FlMB2. 形心位置计算形心

13、位置计算由矩形由矩形 1 与矩形与矩形 2 组成的组合截面组成的组合截面CAy CiniizyAS 1AyAyCiniiC 1273. 惯性矩计算惯性矩计算m 045. 022 bbbbbd dd dd dd dd dd d46-231m 103.02212 d dd dd dCzybbI46-232m 105.82212 CzybbbId dd dd d4621m 1084. 8 zzzIII4. 最大弯曲正应力最大弯曲正应力MPa 5 .30maxt, zCBIyMs sMPa 5 .64)(maxc, zCBIybMd ds s212211AAyAyAyCCC 21zzzIII 作作 业

14、业P242 P242 习题习题 11-5，11-6 （1）11截面上截面上1、2两点的正应两点的正应（2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4）已知）已知E=200GPa，求，求11截面的截面的曲率半径。曲率半径。q=60kN/mAB1m2m111 2120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30M1Mmax29练习题：练习题： 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：30q=60kN/mAB1m2m111 2120zykNm5 .678/3608/22max qLM4

15、51233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 62/zzIWMPa7 .6110832. 56060 5121zIyMss求应力18030M1Mmax31MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmaxzWMs求曲率半径q=60kN/mAB1m2m111 212018030M1Mmax横力弯曲横力弯曲正应力公式的推广正应力公式的推广6-2横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式弯曲正应力分布弯曲正应力分布ZIMys 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析

16、表明， 当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之比比 l / h 5 （细长梁）时，纯（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。近似成立。ZmaxmaxmaxIyMs横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力正应力公式的推广正应力公式的推广344 对称弯曲切应力 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 薄壁截面梁的薄壁截面梁的弯曲切应力弯曲切应力 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较 例题例题zybh一、一、 矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力1 1、假设：、假设： 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。横截

17、面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。点切应力大小相等）。2 2、公式推导、公式推导xd x图图ayQ 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力0)(11dxbNNXtzzAzAIMSydAIMdANszzISdMMN)(1zzszzbISFbISdxdM1tA Zy由剪应力互等定理可知由剪应力互等定理可知bISFzzstsFMhdMM ssdFF dx注意注意：Fs为横截面的剪力；为横截面的剪力；Iz 为整个横截为整个横截面对面对 z 轴的惯性矩；轴的惯性矩；b为所求点对应位置为

18、所求点对应位置截面的宽度；截面的宽度； 为所求点对应位置以外为所求点对应位置以外的面积对的面积对Z轴的静矩。轴的静矩。*zSs sxyzs s1 1t t1 1t tbtt5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩t3 3、矩形截面剪应力的分布：、矩形截面剪应力的分布：)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz bISFzzstt tzyhbBsF)2(*yhbA*cymaxtsF11t t 沿截面高度按二次抛物线规律变化；沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2) 同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力t tmax在中性轴处在中性轴处( y=0 )；(3)上下边缘处上下边缘

19、处（y=h/2)，切应力为零切应力为零。38 薄壁截面梁的薄壁截面梁的弯曲切应力弯曲切应力工字形薄壁梁d d t tzzISFy)()(S 假设假设 : : t t / 腹板侧边腹板侧边, 并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布)4()(8)(22220SyhhhbIFyzd dd dt tSZ() y 下侧部分截面下侧部分截面对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩(0)maxt tt t )2(minh t tt t39 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较zWMmaxmaxs sAFSmax23t tFbhbhFl3262maxmaxt ts s当当 l h 时，时，s smax

20、 t tmax26bhFl62bhFlbhF23hl4405 梁的强度条件 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态 梁的强度条件梁的强度条件 例题例题41 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁a与与c 点点处单向应力处单向应力b 点点处纯剪切处纯剪切42薄壁截面梁c 与与d 点点处单向应力处单向应力a 点点处纯剪切处纯剪切b 点点处处s s 与与t t 联合作用联合作用d43 梁的强度条件梁的强度条件l l 弯曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件：l l 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：maxs ss smaxt tt t t t 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许

21、用应力 s s 材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力强度条件的应用l 细长非薄壁梁细长非薄壁梁l 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁大的梁或梁段或梁段) (maxmaxt ts s maxs ss s maxs ss s maxt tt t 梁的强度条件l 对一般薄壁梁，对一般薄壁梁，还应还应考虑考虑 s s 、t t 联合作用下的联合作用下的强度强度问题问题（参见第（参见第 14 章中的强度理论）章中的强度理论）44例 11-5 铸铁梁铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，s st = 35 MPa ，s sc = 140 MPa，Iz =8.84

22、10-6 m4，校核梁的校核梁的强度强度解：MD最大正弯矩最大正弯矩MB最大负弯矩最大负弯矩危险截面危险截面 截面截面 D, B 例例 题题45daBDyyMM , 因因das ss s 故故危险点危险点zDaIyM2 s sMPa 859-. zDbIyM1 s sMPa 328. zBcIyM2 s sMPa 633. MPa 859maxc,.a s ss sMPa 633maxt,.c s ss s cs s ts s a, b, c截面截面D截面截面B梁的强度梁的强度够够466 梁的合理强度设计 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁 梁的合理强度设计

23、梁的合理强度设计 例题例题l提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施ZmaxmaxWMss6-71 1、降低弯矩最大值、降低弯矩最大值 2 2、增大、增大 W WZ Z 3 3、等强度梁、等强度梁1.11.1合理安排支座合理安排支座1.21.2合理布置载荷合理布置载荷2.1 2.1 合理合理设计设计截面截面2.2 2.2 合理合理放置放置截面截面1.1 合理布置支座合理布置支座龙门起重机A、变动支座、变动支座位置位置(缩短跨度缩短跨度)；M82qlqlqll20.l20.M402ql502ql502qlB、增加梁的支座、增加梁的支座个数个数。1. 1合理布置支座合理布置支座M672ql782ql782qlqll20.l20.q50.厦门海沧大桥1.2 1.2 合理布置载荷合理布置载荷合理布置载荷合理布置载荷：将一个集中力分散为几个集中力或分布：将一个集中力分散为几个集中力或分布力，或集中力尽量靠近支座。力，或集中力尽量靠近支座。ZmaxmaxWMss2. 2. 增大增大 W WZ Z 2.1 2.1 合理合理设计设计截面截面6-72.2 2.2 合理合理放置放置截面截面bhhhhhd0.16