第3章 连续信号与系统的时域分析

1、第第3章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 3.1 3.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 连续时间信号：连续时间信号：是指在信号的定义域内，任意时刻是指在信号的定义域内，任意时刻都有确定的函数值的信号，通常用都有确定的函数值的信号，通常用f(tf(t) )表示。连续表示。连续时间信号最明显的特点是自变量时间信号最明显的特点是自变量t t在其定义域上除在其定义域上除有限个间断点外，其余是连续可变的。有限个间断点外，其余是连续可变的。 连续信号举例连续信号举例3.1.23.1.2 奇异信号奇异信号 奇异信号在我们学习的范围内，主要是阶奇异信号在我们学习的范围内，主要是阶跃信号

2、与冲激信号。跃信号与冲激信号。 奇异信号：奇异信号：是指信号本身包含不连续点是指信号本身包含不连续点( (幅幅值上的值上的),),或其导数与积分存在不连续点或其导数与积分存在不连续点, ,而且而且不能以普通函数的概念来定义不能以普通函数的概念来定义, ,而只能以而只能以 分布分布函数函数 或或 广义函数广义函数 的概念研究的信号。的概念研究的信号。 （1 1） 阶跃信号阶跃信号: : 定义定义: : 阶跃信号又称单位阶跃信号，阶跃信号又称单位阶跃信号，以符号以符号 表示，其定义为表示，其定义为 阶跃信号在阶跃信号在t=0t=0处存在间断点，在此点没处存在间断点，在此点没有定义。有定义。 ( )

3、 t10( )00ttt 阶跃信号也可延时任意时刻阶跃信号也可延时任意时刻t0t0，以符号，以符号u(t-t0)u(t-t0)表示，对应的表示式为表示，对应的表示式为 0001()0tttttt 阶跃信号可以实现信号的加窗或取单边阶跃信号可以实现信号的加窗或取单边 例如，函数例如，函数 波形表示如下：波形表示如下：0( ) ( )()tf tettt 1t0f(t) （2 2）冲激信号）冲激信号 冲激信号记为冲激信号记为(t(t) )，其一般定义式为，其一般定义式为其波形如图所示：其波形如图所示： ( )00( )0( )1ttttt dt 0(1) (t)t 冲激信号的作用不一定仅是冲激信号

4、的作用不一定仅是t=0t=0时刻，可以延时刻，可以延时至任意时刻时至任意时刻t t0 0。以符号。以符号(t-t(t-t0 0) )表示，定义式为表示，定义式为 (t(t- t- t0 0)=0 tt)=0 tt0 0； (t(t- t- t0 0) t=t) t=t0 0； 其其(t-t(t-t0 0) )的波形图如下图所示：的波形图如下图所示：0()1tt dt0(1) (t t0)tt0 冲激信号具有以下重要性质：冲激信号具有以下重要性质： （1 1）抽取特性，以下有四个重要公式：）抽取特性，以下有四个重要公式：( ) ( )( )t f t dtf t00()( )()ttf t dt

5、f t)0()()(fttf)()()(00tftttf （2 2）尺度变换特性）尺度变换特性 （3 3）偶函数性：）偶函数性：1()( )|atta( )()tt函数导数的性质：函数导数的性质： 函数的一阶导数为函数的一阶导数为 ，又叫冲激偶，且，又叫冲激偶，且冲激偶为奇函数冲激偶为奇函数 ，即：，即：( )( )dttdt()( )tt ( )0t dt冲激函数与阶跃函数的关系：冲激函数与阶跃函数的关系： ( )( )tdu t ( )( )du ttdt例例3-3:3-3:信号信号 如图示，求其导数如图示，求其导数 解：解：( )f t( )f t3.1.23.1.2 正弦信号正弦信号定

6、义：正弦信号一般定义式为定义：正弦信号一般定义式为 ( )sin()f tKt 其中其中K K为振幅、为振幅、为角频率、为角频率、为初始相为初始相位，振幅、角频率、初始相位为正弦信号的位，振幅、角频率、初始相位为正弦信号的三要素。其波形如下图所示：三要素。其波形如下图所示： 欧拉欧拉(Euler)(Euler)公式：公式： cos()sin()cos()sin()1cos()()21sin()()2j tj tj tj tj tj tetjtetjtteeteej3.1.33.1.3 指数信号指数信号 ( )etf tK正弦信号，其一般定义式为正弦信号，其一般定义式为当当 时，时， ，为直流信

7、号；，为直流信号；当当 ， 是递增函数，既此时指是递增函数，既此时指数信号是发散信号；当数信号是发散信号；当 时，时， 是递减函数，既此时指数信号是收敛信号，是递减函数，既此时指数信号是收敛信号，当趋于无穷时，信号无限接近于零。其波当趋于无穷时，信号无限接近于零。其波形如图形如图3.73.7所示：所示： 0( )f tK0( )f t0( )f t0t 00( )=tetf t单边指数信号：单边指数信号： 其波形如图所示：其波形如图所示： 3.1.43.1.4 连续信号的连续信号的MATLABMATLAB表示表示 1 1、阶跃信号、阶跃信号用符号函数用符号函数sgn(tsgn(t) )来生成阶

8、跃函数，即来生成阶跃函数，即而而 可调用可调用MATLABMATLAB中的符号函数中的符号函数sign(tsign(t) )来实现。来实现。 11( )sgn( )22ttsgn( ) t。命令如下命令如下：t=-5:0.05:5;t=-5:0.05:5;f=sign(tf=sign(t););plot(t,y),axis(-5,5,-0.1,1.1plot(t,y),axis(-5,5,-0.1,1.1绘制出符号函数的波形，如图所示绘制出符号函数的波形，如图所示 2 2、单位阶跃信号、单位阶跃信号 首先需要在在自己工作的目录首先需要在在自己工作的目录workwork下创建下创建M M文件，文

9、件，编辑冲激函数，命令如下编辑冲激函数，命令如下function chongji(t1,t2,t0)function chongji(t1,t2,t0)dt=0.01;dt=0.01;t=t1:dt:t2;t=t1:dt:t2;n=length(t);n=length(t);x=zeros(1,n);x=zeros(1,n);x(1,(-t0-t1)/dt+1)=1/dt;x(1,(-t0-t1)/dt+1)=1/dt;stairs(t,x);stairs(t,x);axos(t1,t2,0,1.2/dt)axos(t1,t2,0,1.2/dt)title(title(单位冲激信号单位冲激信号

10、（t t）) 下面调用下面调用chongjichongji函数绘制函数绘制(t)(t)， MATLABMATLAB调用命令为：调用命令为： chongjie(-1,5,0) chongjie(-1,5,0) 波形如下图所示：波形如下图所示： 15t 3 3、正弦信号、正弦信号 我们用我们用MALABMALAB绘制正弦信号绘制正弦信号当当 ， ， 的时域波形，对应的的时域波形，对应的MATLABMATLAB命令如下：命令如下：f=sym(3f=sym(3* *sin(w)sin(w)* *t)t)f1=subs(f,w,pi/2)f1=subs(f,w,pi/2)ezplot(f1,0,4ezp

11、lot(f1,0,4* *pi)pi)f=subs(f2,w,pi)f=subs(f2,w,pi)ezplot(f2,0,4ezplot(f2,0,4* *pi)pi)f3=subs(f,w,3/2f3=subs(f,w,3/2* *pi);pi);ezplot(f3,0,4ezplot(f3,0,4* *pi)pi)( )sin()f tt2 32绘制的正弦信号时域波形如图所示：绘制的正弦信号时域波形如图所示： 4 4、指数信号、指数信号下面用下面用MATLABMATLAB来绘制指数信号，当来绘制指数信号，当 ， ， , , 时的时域波形，对应的时的时域波形，对应的MATLABMATLAB命

12、令为：命令为：f=sym(exp(af=sym(exp(a) )* *t);t);f1=subs(f,a,-1);f1=subs(f,a,-1);ezplot(f1,-2,2);ezplot(f1,-2,2);f2=subs(f,a,1);f2=subs(f,a,1);ezplot(f2,-2,2);ezplot(f2,-2,2);f3=subs(f,a,0);f3=subs(f,a,0);ezplot(f3,-2,2);ezplot(f3,-2,2);( )eatf t 1a 0a1a 仿真波形如图所示：仿真波形如图所示：3.23.2 卷积积分卷积积分 卷积积分是现代电路与系统分析的重要工具

13、，卷积积分是现代电路与系统分析的重要工具，也是研究系统中信号传递规律的关键所在。如图为也是研究系统中信号传递规律的关键所在。如图为图像经过卷积变换后的效果。图像经过卷积变换后的效果。 3.2.13.2.1 卷积的定义：卷积的定义： 设有定义在设有定义在 的两个函数的两个函数 和和 ，则积，则积分分 为为 和和 的卷积积分，的卷积积分，简称卷积。简记为简称卷积。简记为 定义式中的定义式中的 为积分变量，积分结一般是关于为积分变量，积分结一般是关于参数变量参数变量t t的函数的函数y(ty(t) )。 , 1ft 2ft 12y tfftd 1ft 2ft 12y tftft3.2.23.2.2

14、卷积的图解机理卷积的图解机理 图解卷积的具体步骤图解卷积的具体步骤: :例例3 35 5已知信号已知信号 与与 的波形如图所示，试计算其的波形如图所示，试计算其卷积卷积( )f t( )h t( )( )( )y tf th t1.1.对于图对于图3.153.15所示所示 和的和的 波形，把波形，把 变为变为 ，得到得到 和和 的图形。如下图所示。的图形。如下图所示。 ( )f t( )h tt( )f( )h2.2.以纵轴为基准反褶以纵轴为基准反褶 得到得到 ，如下图所示。，如下图所示。 ( )h()h3.3.把把 的图形沿的图形沿 轴平移轴平移 , ,得到得到 ，如下图，如下图所示。所示。

15、 ()ht()h t4.4.将将 与与 相乘，求其面积。相乘，求其面积。 是连续变量，是连续变量， 相当于相当于 的图形从左向右连续扫描，从而的图形从左向右连续扫描，从而 的的“面积面积”是随着是随着 的变化而变化的。将的变化而变化的。将t t分成不分成不同的区间，分别计算其卷积积分的结果，如下图所同的区间，分别计算其卷积积分的结果，如下图所示。示。 ( )f()h tt()h t()h( ) ()fh tt3.2.33.2.3 卷积性质卷积性质1 1、代数性质：卷积积分是一种线性运算，它具有以、代数性质：卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。下基本特征。 （1 1）交换律：）交换律：说

16、明两信号的卷积积分与次序无关，也就是说系统输说明两信号的卷积积分与次序无关，也就是说系统输入信号入信号f(tf(t) )与系统的冲激响应与系统的冲激响应h(th(t) )可以互相调换，可以互相调换，其零状态响应不变。其零状态响应不变。 1221ftftftft （2 2）结合律：）结合律： 结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应等于各子系统冲激响应的卷积，如下图所示等于各子系统冲激响应的卷积，如下图所示 123123ftftftftftft（3 3）分配律：）分配律： 分配律在系统分析中，相当于并联系统的冲激响应分配律在系统分析中，相当于并联系

17、统的冲激响应等于各子系统的冲激响应之和，如图所示：等于各子系统的冲激响应之和，如图所示： 1231323ftftftftftftft微积分性质：微积分性质：若若则则任意信号任意信号 与冲激信号与冲激信号 卷积恢复卷积恢复 本身，即本身，即 由微分性质，有由微分性质，有即信号即信号 与冲激信号导数的卷积等于与冲激信号导数的卷积等于 的导数。的导数。 12y tftft 1212y tftftftft f t t f t f ttf t f ttft f t f t积分性质：积分性质：若若则则任意信号任意信号 与阶踟信号的卷积等于与阶踟信号的卷积等于 的积分，即的积分，即延时性质：延时性质：若若则

18、则 12y tftft 1111212ytftftftft f t f t tf ttfd 12y tftft 11221212f ttttf tttty tttttt3.2.43.2.4 常用信号的卷积公式常用信号的卷积公式 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4.4.5.5.6. 6. 00f tttf tt1212tf ttttf ttt f ttft tf ttfd kkf ttft 00kkf tttftt 3.3 3.3 LTILTI 系统的微分方程系统的微分方程 1. 1. 元件约束条件元件约束条件VARVAR 在电流、电压取关联参考方向条件下：在电流、电压取关联参考方向条件下：

19、(1)(1)电阻电阻R R，u (t)= Riu (t)= Ri (t) (t)； (2)(2)电感电感L L，(3)(3)电容电容C C，(4)(4)互感互感( (同、异名端连接同、异名端连接) )、理想变压器等原、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。副边电压、电流关系等。 00( )1( ),( )( )tLLLLLtditutLiituddtL00( )1( ),( )( )( )tCCCCCtdutitCututiddtC2.2.电路结构约束条件电路结构约束条件KCLKCL与与KVLKVL。 例例3-7 3-7 下图所示电路，输入激励是电流源下图所示电路，输入激励是电流源iS(tiS

20、(t),),试列出以电流试列出以电流iL(tiL(t) )为输出响应变量为输出响应变量的方程式。的方程式。 iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L解：由解：由KVLKVL，列出电压方程，列出电压方程对上式求导，考虑到对上式求导，考虑到 11( )( )( )( )CCCdutitCRitu tdt122( )( )( )( )( )( )CLLLLutu tutR i tdi tLR i tdt211221( )( )( )1( )LLdi tditdi tu tLRRCdtdtdt根据根据KCLKCL，有，有 ，又因又因 ， ， ，故故 ，整理上式后，可得整理上式后，可得SL(

21、)( ) ( )Citi t i t1( )( )ci ti t11 1( )R( )u ti t11 C( )R( )u ti t1 C1SLR( )R ( ) ( )iti t i t3.43.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应，用系统的初始状态所引起的响应，用 表示；零状表示；零状态响应是系统的初始状态为零态响应是系统的初始状态为零( (即系统的初始储能即系统的初始储能为零为零) )时

22、，仅由输入信号所引起的响应，用时，仅由输入信号所引起的响应，用 表表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即应和零状态响应之和，即 经微分方程的经典求解过程，导出其零输入响应的通经微分方程的经典求解过程，导出其零输入响应的通式为式为其中其中n n为微分方程阶数；为微分方程阶数； 为待定常数，可根据方程为待定常数，可根据方程初始条件求得，初始条件求得， 为特征根。为特征根。 y ( )zitzsy ( ) tzsy(t)=y ( )y ( )zitt1( )intziiiytc eici 3.4.13.4.1 系统初始条件系统

23、初始条件 前面提到了求解系统零输入响应通式，若想求前面提到了求解系统零输入响应通式，若想求得某系统的零输入响应就需要确定响应中的各参数，得某系统的零输入响应就需要确定响应中的各参数， 即为待定常数，即为待定常数， 为特征根。为特征根。 首先说首先说 为待定常数，其值是由微分方程的初为待定常数，其值是由微分方程的初始条件，也就是系统的初始条件求得。在电路基础始条件，也就是系统的初始条件求得。在电路基础课程中，我们曾经学过关于动态电路中，系统的初课程中，我们曾经学过关于动态电路中，系统的初始条件，指的是系统换路后瞬间各元件包括储能元始条件，指的是系统换路后瞬间各元件包括储能元件（电容、电感），上的

24、电压或电流值。在这个问件（电容、电感），上的电压或电流值。在这个问题上，我们最好在来看一下经典的换路定律，若换题上，我们最好在来看一下经典的换路定律，若换路发生在路发生在t=t0t=t0时刻，有时刻，有 此定律的主要依据是储能元器其能量在换路前后此定律的主要依据是储能元器其能量在换路前后不能突变，对于电容来说其能量反映在其电压值上，不能突变，对于电容来说其能量反映在其电压值上，对于电感来说其能量反映在电流上。对于电感来说其能量反映在电流上。iciic(0 )(0 )(0 )(0 )CCLLuuii3.4.23.4.2 简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应例例3 38 8如图如图 (a)(a

25、)所示的电路，已知所示的电路，已知L=2HL=2H，C=0.25FC=0.25F，R1=1R1=1，R2=5R2=5；电容上初始电压；电容上初始电压 =3V,=3V,电感初电感初始电流始电流 =1A=1A；激励电流源；激励电流源iS(tiS(t) )是单位阶跃函数，是单位阶跃函数，即即iS(tiS(t)= )= 。试求分别求出电感电流。试求分别求出电感电流 的零输入的零输入响应。响应。(0 )Cu(0 )Li( ) t( )Li tuC(t)uL(t)iS(t)iL(t)R1R2CR1R2uCx(0)iLx(0)uLx(0)3 V1 AiS(0)R1R2iLf (0)uLf (0)(a)(b)

26、(c)解：解：若以若以 为输出变量，已知其微分方程为为输出变量，已知其微分方程为将各元件数值代入得将各元件数值代入得如图，将全响应按定义分解零输入响应和零状态响如图，将全响应按定义分解零输入响应和零状态响应。（应。（b b）图为输入信号为零的零输入响应，其响）图为输入信号为零的零输入响应，其响应由电路换路后瞬间的储能元件的初始储能所引起应由电路换路后瞬间的储能元件的初始储能所引起的响应，由换路定健得出其初始条件，储能电流值的响应，由换路定健得出其初始条件，储能电流值电压值瞬间等效为相应的电压源及电流源。（电压值瞬间等效为相应的电压源及电流源。（c c）图为电感及电容的初始储能为零的零状态响应。

27、对图为电感及电容的初始储能为零的零状态响应。对于电感元件其储能为零即于电感元件其储能为零即 = =0A= =0A，对于电容元，对于电容元件其储能为零即为件其储能为零即为 = =0V= =0V。( )Li t1( )3( )2( )( )2( )(0)2nLLLSSitititititt(0 )Li(0 )Li(0 )Cu(0 )Cu(1)(1)零输入响应。当输入为零时，电感电流的零输入零输入响应。当输入为零时，电感电流的零输入应满足齐次方程应满足齐次方程列出其特征方程为列出其特征方程为 ，解得，其特征根解得，其特征根1=-11=-1，2=-22=-2，因此零输入响应，因此零输入响应已知已知iL

28、(0+)=1AiL(0+)=1A，由，由KVLKVL：再由再由( )3( )2( )0(0)LxLxLxitititt2320212( )(0)ttLzixxitc ec et12(0)()(0)36133LLuRRiV (0 )(0 )LLdiudtL可得可得解得解得 ，故而零输入响应故而零输入响应133(0)(0)22LLiuAL 1212(0 )13(0 )2LxxLxxiccicc 1211,22xxcc211( )(0 )22ttL ziiteet3.53.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应3.5.13.5.1在冲激响应和阶跃响应在冲激响应和阶跃响应 线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所