高等几何复习分解

1、课外训练方案部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面 ；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素 基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。 德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，点对偶原理： 在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做则对应顶点连线共无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P ,平面内原有的点叫3C-做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷

2、远点是同一个无穷远点，不同的平行 直线组上，弓I入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这 些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点， 每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线于是这个轨迹与平面内称为无穷远直线.一般记为I比，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等 对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题:1、求直线x-1=0与直线x-3y+4=0上无穷远点的齐次坐标解:（1

3、）直线x-1=0即x=1它与y轴平行 所以位y轴上的无穷远点（0,1,0）141由直线X-3y*0得y=3X-故无穷远点为（1,3,0） 或（ 3, 1, 0）求证：两直线X1 + X2 -X3 = 0和2X1 - X2 + 2X3 = 0的交点C与两点A( 3 , 1, B ),（三点共线证明：解方程组:I X + Xo X3 = 0«123 的交点 C(1,V,3).2% X2 +2X3 =0因为行列式-43=0 所以三点共线3、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明设a=(u i,u2, U3),与a=(Ui,U2,U3)是共轭复点，两点连线为 丨竺旦旦=(当U2U3U2U2U2

4、l 与重合，故巴=Ui由定理a在I上,a在l上，又a在I上，所以a的共轭a也在直线I上而两点确定一条直线所以，旦=出=(当即虫与比都为实数U3 U3 U3 U2 U3所以U1：U2 ： U3与一组实数成比例，即直线为实直线。4、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。证明：如图三点形 ABC与A1 B,G的三对应边交点L,M ,N共线，证明对应顶点连线共点，考虑三点形BLBi与CMCi则有对应顶点连线共点 N，故对应边的交点 A,Ai,O共线1、证明：中心投影一般不保留共线三点的单比.2、设一平面内有几条直线Ii,l2，川，ln用Ti,T2|,Tn_4分别表

5、示li与J，I2与b川，ln_l与In间的中心投影.这一串中心投影的复合 T =TnTn二川丁2 6把11上的点对应到In上的点，这种对应关系称为射影对应.举例说明对应点之间的连线一般不共点.3、4、设有两个相交平面 眄和兀2，如果以S为中心做兀1到兀2的投影（S不在兀1和兀2上），把 眄上一已知直线li投影到兀2上直线l2 .证明：当S变动时，已知直线li的象l2总要通过 一个定点，或与定直线平行.设兀2是平面兀1与兀2之间的中心投影.试讨论兀1上两条平行直线的象在兀2中5、线？试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比.第三章、射影变换与射影坐标一、 基本内容：交比与调和比； 一维射影变换;

6、 二维射影变换于二维射影坐标二、主要公式一维射影坐标;1、共线四点的交比:(P1P2, P3P4)=(P1 P2P3)(P1P 2P3) P1 P3 T2P4P2P3 计42、共点四线的交比:sin <a, C A sin < b,d asincb, C > sin < a,d还是否平行，不平行有什么性质？同样在兀2上两条平行直线在 兀1中的原象是否为平行3、两直线之间的射影变换:非齐次坐标形式：X，= a”+22 =ai1a12HOa? X + *22a21a22齐次坐标形式：I=a11X1 +a12X2311a12PX2 =*21X1 +*22X2a21a22参数形

7、式：aAA +bA+c 扎 +d =0,ad-bcH0Px1=311X*12X313X331131231314、二维射影变换：X2 =321X*22X2 +323X3, A =321322323IPxs =331X1 +332X2 中333X3331332333X1 'apX2'= Ax211x3；1x3丿,det A h0三、典型例题:1、证明：(ABi,CD) =(A2B2,CD)的充要条件是：(AA'CD) =(B,B2,CD)证明：设 A =C +,0, A2 = C +k2D,B1 = C+n1D,B2 = C + n2Dk1则（ABjCD）=丄,（A2B2,

8、CD）=丄n1若（AiBi,CD） NZ'CD）k1k2 卡 k1n1则或=-1-门1n? k?n?n2所以有（A A2, CDA （ B B,CDk2而（A1A2, CD） = ',（B2, CD）=匹n?2、已知共点直线a,b,d的方程为:a:2x-y+1=0,b:3x + y-2 = 0, d:5x-1 = 01且(ab,cd) =5求直线c的方程解：先化为齐次线坐标a2,-1,1,b3,1,-2, d5,0, -1则有d =a +b 即k=1令 c=a +nd 则（ab,cd）k=1 所以2 2c=a +1b=7,-1,0所以方程2 2 2为 7x y = 03、设一直

9、线上的点的射影变换是X3x +2= 证明变换有两个自对应点,x+4且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。得 x2 - X - 2 = 0 解得片=-1, X2 = 2解：令X =x'由x'=竺工x+4即有两个自对应点设k与k二塑咚 对应，有(-1)2,kk')=-为常数 k +42 如图：ABCD为圆内接正方形， P为圆上任意点。因为 AD = AB所以PA为角DPB的平 分线。4、试证圆上任证明：2注：结果 有&也对，不过顺序有别5同理可证明 PC是角EPB平分线。即 PA, PC是角DPB的内外角平分线。 所以直线PD, PA, PB,PC构成调和线束。

10、5、试证：双曲型对合的任何一对对应元素P T P',与其两个二重元素E, F调和共轭即(PP，,EF )=-1证明：E,F为自对应元素，P与P对应则有(P R,EF)=(R P,EF) 而(PR,EF)=1(PiP,EF)所以(PR,EF) =1(P P,EF)2得(PR,EF) =1因为P,P1不重合故(PP,EF) = 11-IPx)=为 +x26、求射影变换Px2=x2的不变点坐标PX3' = X3解：由特征方程:10 X,中 X2 = 0得X2 = 0,故X2 = 0上的点都是不变点将入=1代入方程组 0x2 =0I 0X3 = 0X2 = 0是不变点列。自测题1、设

11、R（1,1,1）,P2（1,1,1）,巳（1,0,1）为共线三点，且（RP2,F3Pi）=2 求 P3的坐标。2、3、1已知线束中 三直线a,b,c求作直线d使（ab,cd）=-射影变换使直线上以0, 1为坐标的点及无穷远点顺次对应-1 , 0, 1求变换式，并判断变换的类型。4、2 2求两直线ax + 2hxy+by =0所构成角的平分线方程5、试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。丨 Px1 =2捲一X2 +X3求射影变换Px2 =x2xx3的逆变换，并求出影消线对应直线的方程。I 'Px3 =X1 +X2 +X3第四章 变换群与几何学疑难解析1.变换群（1

12、）基本定义射影变换群：射影平面上所有射影变换的集合构成射影变换群P,它是一个八维群;仿射变换群：仿射平面上所有仿射变换的集合构成仿射变换群A，它是一个六维群;相似变换群：平面上所有相似变换的集合构成相似变换群S,它是一个四维群;正交变换群：欧氏平面上所有正交变换的集合构成正交变换群M，它是一个三维群。四种变换群，就群的大小而言，它们的关系是:（2） 一一变换的集合 G构成群的充要条件是:若,笃，则® 1亡G （封闭性）；若W ，则W'忘G （存在逆元）2克莱因关于几何学的变换群观点正交变换群7欧氏几何;仿射变换群7仿射几何;射影变换群7射影几何;就变换群的大小来看，三种变换群

13、的关系为:从几何学研究的内容来看，它们的关系是:欧氏几何二仿射几何二射影几何.名称射影几何仿射几何相似几何欧氏几何变换群射影群仿射群相似群正交群纯度量性质纯相似性质纯度量不变量研纯仿射性质纯相似不变量纯相似性质究射影性质纯仿射不变量纯仿射性质纯相似不变量对射影不变量射影性质纯仿射不变量纯仿射性质象射影不变量射影性质纯仿射不变量射影不变量射影性质射影不变量结合性结合性结合性结合性主要不变性质平行性平行性分割性平行性保角性合同性基本不变量交比单比相似比距离例题选解例1证明：平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群 证明：不失一般性，可将旋转中心取为原点，则变换的一般式为:|x'= XCOS

14、日-ysin日 制，=xsi n 日 + ycos 日容易证明，这种变换对于乘法是封闭的，且逆变换也是以原点为中心的旋转变换（其实就是旋转-日的变换），所以这种变换的集合构成群 .梯形；（2）正方形；（3）离心率；（4）塞瓦定理与麦尼劳斯定理; 重心；（6）垂心；（7）平行四边形的对角线互相平分； 在平面内，一般位置的四条直线有六个交点；含于半圆内的圆周角是直角；例2下面所说的名称或定理，哪些属于射影几何学？哪些属于仿射几何学？哪些属于欧氏 几何学？（最大的）（1）（5）（8）（9）（10）如果直线AB与CD相交，则AC与BD相交；（11）二次曲线的中心；（12）德萨格定理.分析：判定一个图形

15、或定理属于哪一中几何学研究的对象，主要根据图形或定理所涉及的不涉及变性和不变量来判定，例如涉及距离，线段或角的相等就属于欧氏几何学研究的范围， 直线的平行、线段的比例、线段的中点等就属于仿射几何学研究的对象，而仅与点、线、面 之结合关系有关的就属于射影几何学研究的对象了.解：（2）、（ 3）、（ 6）、（ 9）属于欧氏几何学；（1 ）、（ 4）、（ 5）、（ 7）、（ 11）属于仿射几何学; （8）、（ 10）、（ 12）属于射影几何学.例3为什么向量的数量积的概念在仿射几何里不存在？解：因为二向量 U, V的数量积为：U lV 8S（U, v）而在仿射变换下，向量的长度和夹角都要改变，故向量

16、的数量积概念在仿射几何里不存 在。第五章 二次曲线的射影理论本章是应用前面学习的射影变换和仿射变换的知识，来研究二次曲线的性质的。在射影平面上取定坐标系后，首先给出二阶（级）曲线的代数法定义，阐明其几何意义之后，给出 二阶（级）曲线的射影定义，并研究二阶（级）曲线在射影变换下的不变性质。然后基于射 影变换的基本不变性质（结合性）和不变量（交比），反映在二阶（级）曲线上，证明了两个著名的定理 巴斯卡定理和布利安香定理，这两个定理是相互对偶的。在此基础上，定义了二阶（级）曲线的极点和极线概念，导出了其求法。在研究二次曲线的性质时对偶原理起着重要的作用。根据对偶原理，在射影平面内可将二次曲线看作点曲

17、线（二阶点列），称为二阶曲线。也可以将曲线看作直线的包络，也就是 看作是线曲线（二级线束），称为二级曲线，统称二次曲线。因此，对于二阶曲线的每一性 质，都可以对偶地得出二级曲线的对偶性质。这一点在学习的过程中要加以注意。本章最后，研究了二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质：二阶曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线，给出了二次曲线的仿射分类：椭圆型曲线、双曲型曲线和抛物型曲线。 在仿射平面上研究二阶曲线性质，是以无穷远直线在仿射变换下保持不变为基础来进行的， 因此研究仿射性质要把握住无穷远元素。疑难解析1、二次曲线的概念教材中首先给出了二次曲线的代数法定义:二次曲线：满足二次方程2 2 2a11X

18、1 +a22X2 +a33X3 +2a12X1X2 +2印3花3 + 2a23X2X3 = 0<3）或写成 S aijXiXj =0, aij =aji <.2 丿的全体点（xXz/X3称为二阶曲线，二阶曲线是点的轨迹 二级曲线：满足二次方程b2 +b22 駡 +b33 驚 +2b12 叨 2+2b13 屮3+2b23打蔦=0(3)的直线的全体称为二级曲线，二级曲线看成是直线的包或写成2 bijPfj =O,bij =bji It丿络.二阶曲线和二级曲线统称二次曲线。两个不共心的射影线束（两个不共底的射影点列），对应直线的交点（对应点的连线）的全体连同两个线束的中心（两个点列的底）

19、组成一条二阶曲线（二级曲线）.这实际上给代数定义找到了几何背景，由此引出了二次曲线的射影定义（也称作几何定义）：二阶曲线：两个射影线束对应直线交点的全体称为二阶曲线。二级曲线：两个射影点列对应点连线的全体称为二级曲线.当成射影对应的两个线束（点列）为透视的，则此二阶曲线（二级曲线）退化为二直线（二 点）。此时称该二阶曲线（二级曲线）为退化的二阶曲线（二级曲线）。一个由射影线束生成的二阶（二级）曲线，可以由其上任意二点（二线）为中心（底） 构成的射影线束（点列）生成 .由此定理推出两个重要的结论：，可决定唯一一条二阶曲（1）平面内给定无三点共线的五点（无三线共点的五条直线）线（二级曲线）.（2）

20、 二阶曲线上四定点（二级曲线上四条定直线） 与其上任意第五点所连四直线（任意第五条直线相交）所得四线（四点）的交比不变.利用这两个结论可以解决有关二次曲线的作图问题。2.巴斯卡（Pascal）定理和布利安香（Brianchon）定理这是关于二次曲线的两个重要定理，要注意以下几点：（1）这两个定理是两个对偶的定理，因此其一的证明完全可以从另一个对偶地得出，教材中已经给出这两个定理的证明。值得注意的是，巴斯卡定理的证明中， 射影中心的选择可以是其中的任意两点，同理布利安香定理的证明中，点列的底的选择也是任意的两点。（2）这两个定理的逆定理也是成立的。（3）这两个定理的应用： 已知二阶曲线上的五个点

21、利用巴斯卡定理可以作出第六个点（见典型例题）；对偶地，已知二级曲线上的五条切线，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。 可利用他们证明三点共线问题（见典型例题）；对偶地，也可用之证明三线共点问题。3二次曲线的极点与极线极点与极线是关于二次曲线的重要概念，对于讨论二次曲线的仿射性质起着重要的作用。极点与极线的概念是由关于二阶曲线的调和共轭点引入的。（1）调和共轭点：如果两点P,Q被它们连线与二阶曲线的交点M1,M2调和分离,即（P Q,M1M2-1，则称P,Q关于是调和共轭的.（2）不在上两点P（p, p,p）,Q（iq ,2q关于调和共轭当且仅当Z aj Piqj =0。（3） 定点P（

22、Pi, P2, P3）关于二阶曲线的轨迹 £ ajjPiX0是一条直线： 2 aj P iXj =0 的调和共轭点 Q(qi,q2,q3)=0的极点。这条直线称为P（5, p2, p3）点的极线，而点P(Pl, P2, P3)称为直线 2 4 PiXj（4）不在二阶曲线r上两点p（ P1, p2, p3）, Q（q1,q2,q3）关于调和共轭的充要条件是送 aj Pi qj = 0。4.二阶曲线的切线我们从讨论二阶曲线（二级曲线）与直线（点）的相关位置入手，推导出二阶曲线 （二级曲线）的切线（切点）的方程。则直线PQ上任意点的坐设两点 P,Q 的坐标为 P（p 1, P2, P3）

23、, Q（qi，q2，q3）, 标可以写成x1,x2,x3，其中Xi = Pi +Aqi(i =1,2,3)(1)为了求直线PQ与二阶曲线3艺 Qj Xi Xj = 0( aj = aji)i,j 二的交点，我们将（1）式代入（2）式，得3S aij( Pi +g)( Pj + kqj) =0i,jm展开并整理，得33(送aijqiqj +(送i,j#i,j 壬33aij Piqj+£ aijqi Pj)'"+送 ajPiPj=0如果Q点不在二阶曲线上，则（3）i,jmi,j#式是关于 几的二次方程，入有二值适合（3）式，这两个值或实、或虚、或重合，所以直线PQ与二阶

24、曲线或相交，或相离，或相切。3由于 aij = aji，所以 S a Piqji,j#3=2 aijqiPj ,因此（3）式可以写成i,j¥33(无 aijqiqj + 2入2a” piqji,j壬i,j丑显然当333(S ajP iqj)2(送 ajqiqjXS aj Pi p j) =0i,j 4i,j#i,j#时，方程有二相等实根，即表示直线PQ与二阶曲线相切。3若点P( P1, P2, P3)在二阶曲线上，则切线方程为Z % PiXj =0 ,写成矩阵形式为i,j”1 =0(P1P2P3 A X2I1x3丿此方程表示过二阶曲线上一点P(p1, P2, P3)的二阶曲线的切线方

25、程。其中A为二阶曲线的系数矩阵。类似的方法，可以讨论二级曲线与点的位置关系，求出切点的方程和切点的坐标。在此留给同学们自己讨论。例题选解例1求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的:捲一AXs = 0 与 X2 - A Xs = 0，且 '心H + 2a' + 1=0.解：射影对应式为:由二线束方程有:k 吕”=乞，代入射影对应式，经化简后得:X3X32x1x2x2xx1xx3 =0例2求证点坐标方程2 2y =2px与线坐标方程 pu2 -2u1U3=0表示同一条曲线.证明：将y2 =2 px化为齐次坐标方程为:2X2-2pX1X3=0，它的线坐标方程为:-P0UiU

26、2=0，即-PUiU2U3U30同理可求出PU2'pu22 -25出=0.-1Xi-2U1U3 = 0的点坐标方程为：X2-1=0，X1X2X3X30X22 2 px X 尹 0.其非齐次坐标方程为:2y =2px.例 3 求通过五点 P(1,0,-1 ),Q(1,0,1 ),R(1,2,1 ),S(1,2,-1 ),T (1,3,0 )的二次曲线.2 2 2解：设所求为：aiixi + a22x2 +833X3 +2ai2xix2a23x2x2ai3xix 0，将已知五点的坐标分别代入所设方程，求出系数aii,a22, a33, ai2,a23, ai3的比，即得所求:3xi2 -x

27、23x32 +2X2 = 0 .例4设自点P(pi, P2, P3)至二阶曲线S=0的切线的切点为Hi,Ki，自点Q(q,q2，q3)至二阶曲线S=0的切线的切点为H2,K2，求证：HjKj, P, H2,K2,Q在同一个二阶曲线上,其方程为Spq S = Sp Sq .证明：因为Hi,Ki为S = 0的过P点的切线的切点，所以Hi,Ki的坐标满足S = 0, Sp = 0 ,同理H2,K2的坐标也满足S=0 ,Sq = 0 .现构造一个二阶曲线，使其通过Hi,H 2,Ki,K2，再确定待定系数 A，使二阶曲线也通过另外两点.设二阶曲线方程为:如果二阶曲线通过P，则有SppSqp=ASpp,有

28、A =Sqp，由于Spq=Sqp,所以二阶曲Spq S = Sp 'Sq也通过Q点.故Hi, Ki, P,H2,K2,Q在同一个二阶曲线上，其方程为Spqp £q.例5设六边形的三对对边互相平行，求证这个六角形内接于一条二次曲线 .证明：因三对对边互相平行，所以三对对边的交点都是无穷远点， 所以这三点共一条无穷远 直线，故有六边形之三对对边交点共线， 根据帕斯卡定理之逆定理， 这六边形内接于一条二 次曲线.例6求两直线h : Xj + X2 -2x3 =0和J ：为+X3 = 0的交点关于二次曲线2 2 23Xi +2XiX2 +3x2 T6X2X3+23X3 =0的极线方程

29、.解：经解联立方程得Ii,l2的交点为P(-1,3,1). P点的极线为Sp =0，经计算得所求为:X3 =0.例7求x2 +y2 =r2的动切线关于ax2 + by2 = 1的极点的轨迹方程.解：将已知曲线方程化为齐次式:2 2 2X2 -r X3 =02 2 2 2 2ax +by =1 化为 axi +bx2 -X3 =0在上任取一点（Xi； x2 ,x3）,则切线方程为:2aXjXj +X2X2 -r X3X3 =0设直线关于axj + bx22 - X32=0的极点为（Xi，X2，X3 ），则有axi =Xi；* bx2 = x2,I1x3又因为,2,2 2,2Xi+ X2 r X3 = 0 .所以（ax1）m 化=0r2 (a2X12 +b2X22 )-X32 =0 .此即所求极点的轨迹方程，其非齐次坐标方程为:r2 (a2x2 +b2y2 ) = 1.自测题1.试求点（-1, 1）关于二阶曲线X2-3xy+y2-2x y-1 =0的极线。2.如图，求作直线P关于二次曲线r的极点。P3.A ABC 和 A 线上。4.若有心二次曲线B' C'同时外切于一二次曲线 r,证明它们的六个顶点在另一个二次曲（中心为0）的一条直径P通过一定点 A，则其共轭直径 P平行于A的极1.设入，”分别表示点列I(P)中对应点的坐标参数，则下述变换为对合(A =