泊松与拉普拉斯方程教材

1、2.3.1 电位函数电位函数 一、电位函数与电位差一、电位函数与电位差 电位函数电位函数0()0E 1) 1) 电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；2) “2) “”表示电场指向电位减小最快的方向；表示电场指向电位减小最快的方向；3) 3) 在直角坐标系中在直角坐标系中xyzEeeexyz 引入电位函数引入电位函数 ：E 可由一标量函数表示。可由一标量函数表示。E关于电位函数的讨论关于电位函数的讨论lleel为 增加最快的方向lEel 电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。 电位差的计算：电位

2、差的计算： A B E 电位差（电压）电位差（电压）l dEd ABBAABBAl dEl dE)()(zyxzyxedzedyedxezeyexl dE )(dzzdyydxx d 1)1) 意义：意义：A A、B B两点间的电位差等于将单位点电荷从两点间的电位差等于将单位点电荷从B B点移动到点移动到A A点过程中电场力所作的功。点过程中电场力所作的功。 2)2) 两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关径无关关于电位差的说明关于电位差的说明电场空间中两点间电位差为：电场空间中两点间电位差为：BABAl dE空间中任意点

3、间的电位为：空间中任意点间的电位为：0 P PAAl dE 电位参考点电位参考点显然，电位函数显然，电位函数 不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示同一个电场，即示同一个电场，即 CC E 设设为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即所以该点的电位也就具有确定值，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位

4、确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值1) 1) 应使电位表达式有意义应使电位表达式有意义 2) 2) 应使电位表达式最简单应使电位表达式最简单 3) 3) 同一个问题只能有一个参考点同一个问题只能有一个参考点 4) 4) 电位参考点电位一般为电位参考点电位一般为0 0；选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则: :二、电位函数的求解二、电位函数的求解 点电荷的电位点电荷的电位204rqEer011()4PPQqrr选取选取Q Q点为电位参考点，则点为电位参考点，则0Q若电位参考点若电位参考点Q Q在无穷远处，即在无穷远处，即Qr 则：则：0( )4qrr点电荷在空

5、间中产生的电位点电荷在空间中产生的电位 说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点QPQPl dE QPrrdreq204RRR dld)11(40QPrrq O q EPQlP体电荷：体电荷：01( )( )4VrrdVcR面电荷：面电荷：0( )1( )4sSrrdScR线电荷：线电荷：0( )1( )4llrrdVcR式中：式中：Rrr说明：若参考点在无穷远处，则说明：若参考点在无穷远处，则c=0c=0。引入电位函数的意义：引入电位函数的意义： 简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困简化电场的求解！在某些情

6、况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再再 关系得到电场解。关系得到电场解。E 分布电荷体系在空间中产生的电位分布电荷体系在空间中产生的电位电势电势(电位）的计算方法电位）的计算方法:rdqduu041)利用点电荷的电势公式和叠加原理利用点电荷的电势公式和叠加原理2) 根据已知的场强分布根据已知的场强分布,按定义来计算按定义来计算PPl dEu电势的计算例题电势的计算例题例例1. 均匀带电薄圆盘轴线上的电势均匀带电薄圆盘轴线上的电势例例2. 均匀带电球面的电势均匀带电球面的电势例例3.均匀带电球

7、体的电势均匀带电球体的电势例例4. 电偶极子的电势电偶极子的电势ydlRxorxP例例1.半径为半径为R的均匀带电圆环轴线上的电势分布。带电的均匀带电圆环轴线上的电势分布。带电量为量为q, p点离圆心距离为点离圆心距离为x.而电荷元而电荷元则电荷线密度则电荷线密度Rq2dldq其在其在p点产生点产生的电势为的电势为rdldu04则则LduuLdlr04Rr240rq042204xRq例例2.半径为半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。解：解：以以O为圆心，取半径为为圆心，取半径为LL+dL的薄圆环，的薄圆环，到到P点距离点距离P点电势：点电势：OLdL22

8、LxrrqUd041 RLxLL0220241d )(xxR2202 pxR带电带电dq= ds= 2 L dL 由高斯定理知，电场分布为由高斯定理知，电场分布为R解：解： 例例3. 求一均匀带电球面内外的电势分布。求一均匀带电球面内外的电势分布。P.ERr 0Rrrqo241 1.当当r R 时时rVrEdrq041VRrRq041Rrrqo41rRq041rrqrd2041.Pr电势分布曲线电势分布曲线场强分布曲线场强分布曲线EVRRrrOO结论：结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。球外的

9、电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。204RqRq042 r1 r 由高斯定理知，电场分布为由高斯定理知，电场分布为R解：解： 例例4. 求一均匀带电球体内外的电势分布。求一均匀带电球体内外的电势分布。P.ERrRqr304Rrrqo24 1.当当r R 时时rVrEdrq041VRrRrRq30228)3(Rrrqo41r30228)3(RrRqrrqrd2041.Pr 例例5. 求一均匀带电同心球面的电势分布。半径为求一均匀带电同心球面的电势分布。半径为R1和和R2,所带电荷为所带电荷为q1和和q2。oR2R1q1q2 解：均匀带电球面的电势分布解：均匀带电球面的电势分布VRrRq0

10、41Rrrqo41122110)(41RrRqRq1V1014Rq2024Rq212210)(41RrRRqrq2Vrq0142024Rq20214)(Rrrqq3Vrq014rq024 无限长线电荷的电位无限长线电荷的电位 EPQP02lrEer0(lnln)2lPQPrr 电位参考点不能位于无穷远点，否则表电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。选择有限远点达式无意义。选择有限远点Q Q作为参考点。作为参考点。 根据表达式最简单原则，选取根据表达式最简单原则，选取r=1r=1柱面柱面为电位参考面，即为电位参考面，即1Qr 得：得：0ln2lPPr 无限长线电流在空间中产生的电位无限长

11、线电流在空间中产生的电位 QPrrldrr 021PQlrrln20 2.3.2 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。 标量场的拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222222uuuuxyz 矢量场的拉普拉斯运算矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222xxyyzzFeFeFeF对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：2“”式中：式中：称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。uu2)()(2F

12、FF22222211zrrrrr 在圆柱坐标系中：在圆柱坐标系中：22222222sin1)(sinsin11 rrrrrr在球坐标系中：在球坐标系中：一、静电场电位方程的建立一、静电场电位方程的建立即：即：20/ 电位的泊松方程电位的泊松方程在无源区域，在无源区域，20电位的拉普拉斯方程电位的拉普拉斯方程0二、电位方程的应用二、电位方程的应用可用于求解静电场的边值问题。可用于求解静电场的边值问题。 0 E0E 例例. 同轴传输线的内导体半径同轴传输线的内导体半径 外导体半径外导体半径, ar , br 已知内导体的电位为已知内导体的电位为U0，外导体接地。，外导体接地。试求同轴传输线内的电位

13、和电场分布。试求同轴传输线内的电位和电场分布。ab 解：线内电位满足拉普拉斯方程解：线内电位满足拉普拉斯方程0)(12 rrrr 且边界条件：且边界条件：. 0,;,0 brUar 根据方程有：根据方程有：rCr1 drrCd1 drrCd1 积分后有：积分后有：21lnCrC 加入边界条件：加入边界条件：. 0,;,0 brUar0ln21 CbCbCCln12 021lnUCaC baUCln01 于是：于是：brbaUlnln0 abrUaErln0 1 1、场源积分法、场源积分法积分困难，对大多数问题不能得出解析解。积分困难，对大多数问题不能得出解析解。2 2、应用高斯定理求解、应用高

14、斯定理求解只能应用于电荷成对称分布的问题。只能应用于电荷成对称分布的问题。3 3、间接求解法、间接求解法先求解空间电位分布，再求解空间电场。先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。问题的求解。小结：求空间电场分布的方法小结：求空间电场分布的方法qqpl电偶极子是一种非常重要的物理模型电偶极子是一种非常重要的物理模型电偶极矩（电矩）电偶极矩（电矩）l qp(方向由负电荷指向正电荷方向由负电荷指向正电荷) 偶极子偶极子电介质电介质( (中性分子中性分子) )就可以作一个电偶极就可以作一

15、个电偶极子等效。此即电介质的电偶极子模型子等效。此即电介质的电偶极子模型。1 1、电偶极子中垂线上任一点的电场强度。、电偶极子中垂线上任一点的电场强度。二、电偶极子激发的静电场二、电偶极子激发的静电场2 2、电偶极子延长线上任一点的电场强度。、电偶极子延长线上任一点的电场强度。解（解（1）r)4/(22lrqlPq电偶极矩（电矩）电偶极矩（电矩）+Pl EE041EE2cos)4/(412220lrq2/122)4/(2/lrl2/3220)4/(41lrqlP+qq2/ l2/ lEEE用矢量形式表示为：用矢量形式表示为：若若 rl2/32204/r41)(lPE3rPE041qq2/ l2lArOxEE解解(2)ilrqE20)2( 41ilrqE20)2( 41ilrrlqEEE222)4(240 lr irlqE302 41302 41lp求电偶极子求电偶极子 在空间中产生的电位和电场。在空间中产生的电位和电场。pql O qqrr( , ,)P r l分析：电偶极子定义分析：电偶极子定义 解：取无限远处