波动学基础2010教材

1、1 16-1 6-1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播 波动波动是振动的传播过程。是振动的传播过程。机械波：机械振动在介质中的传播过程。机械波：机械振动在介质中的传播过程。弹性介质弹性介质 注：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中注：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中 的传播，介质的质点并不随波前进。的传播，介质的质点并不随波前进。波源波源产生机械振动的振源产生机械振动的振源传播机械振动的介质传播机械振动的介质电磁波：变化的电场和变化的磁场在空电磁波：变化的电场和变化的磁场在空 间的传播过程。间的传播过程。2.2.横波和纵波横波和纵波横波：横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。质点

2、的振动方向和波的传播方向垂直。 注注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、在固体中可以传播横波或纵波，在液体、 气体气体( (因无剪切效应因无剪切效应) )中只能传播纵波。中只能传播纵波。纵波：纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。质点的振动方向和波的传播方向平行。振动方向振动方向传播方向传播方向波谷波谷波峰波峰波密波密波疏波疏横波和纵波横波和纵波 当波源作简谐振动当波源作简谐振动时，介质中各个质点也时，介质中各个质点也作简谐振动，这时的波作简谐振动，这时的波动称为动称为简谐波简谐波( (正弦波正弦波或余弦波或余弦波) )。纵波和横波的传播过程：纵波和横波的传播过程：3.3.波阵面和波射线波

3、阵面和波射线波线：波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。的指向表示波的传播方向。波阵面：波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成在波动过程中，把振动相位相同的点连成的的面面( (简称波面简称波面) )。波前：波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。面即是波前。波前只有一个。平面波平面波：波面为平面波面为平面球面波球面波：波面为球面波面为球面柱面波柱面波：波面为柱面波面为柱面波阵面和波射线波阵面和波射线平面波平面波球面波球面波波波线线波波阵阵面面波波阵阵面面

4、波波线线1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。注：注：2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。都可视为平面波。球面波、柱面波的形成过程：球面波、柱面波的形成过程：波阵面和波射线波阵面和波射线4.4.波的传播速度波的传播速度 波速：单位时间内一定的振动状态所传播的距离，波速：单位时间内一定的振动状态所传播的距离，用用 表示，是描述振动状态在介质中传播快慢程度的表示，是描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量，物理量， 的值的值通常取决于介质的弹性和质量密度。通常取决于介质的弹性和

5、质量密度。uu基本概念基本概念ffffSfp 应力或胁强应力或胁强VV应变或胁变应变或胁变f正压力正压力S受力面积受力面积V受力前立方体的体积受力前立方体的体积V受力后立方体的体积受力后立方体的体积VVV体积的增量体积的增量( (容变情形容变情形) )波的传播速度波的传播速度VVpB体变模量体变模量VpVB1（对于流体（对于流体 ）ff( (长变情形长变情形) )lllSf应力或胁强应力或胁强ll应变或胁变应变或胁变S横截面积横截面积llSfY杨氏模量杨氏模量ff( (切变情形切变情形) )f切向力切向力S柱体底面积柱体底面积SfG切变模量切变模量Bu 流体中传播声速流体中传播声速波阵面和波射

6、线波阵面和波射线固体介质中的横波和纵波声速表达式：固体介质中的横波和纵波声速表达式：Gu 横波横波Yu 纵波纵波柔软细索和弦线中横波的传播速度：柔软细索和弦线中横波的传播速度：Fu 横波横波F细索或弦线中张力细索或弦线中张力细索或弦线单位长度的质量细索或弦线单位长度的质量5.5.波长和频率波长和频率频率和周期只决定于波源，和介质种类无关。频率和周期只决定于波源，和介质种类无关。频率频率：周期的倒数。：周期的倒数。周期周期：传播一个波长距离所用的时间。：传播一个波长距离所用的时间。波长波长：在同一条波线上，相差为：在同一条波线上，相差为 的质点间的距离。的质点间的距离。2波速、周期和波长之间存在

7、如下关系：波速、周期和波长之间存在如下关系：Tuu波速波速T周期周期波长波长频率频率波长和频率波长和频率波长、频率和波速之间的关系波长、频率和波速之间的关系u个个 当波长远大于介质分子间的距离时，宏观上介质当波长远大于介质分子间的距离时，宏观上介质可视为是连续的；若波长小到分子间距尺度时，介质可视为是连续的；若波长小到分子间距尺度时，介质不再具备连续性，此时不能传播弹性波。不再具备连续性，此时不能传播弹性波。弹性波在介质中传播时存在一个弹性波在介质中传播时存在一个频率上限频率上限。 例例16-1 频率为频率为3000Hz的声波，以的声波，以1560m/s的传播速度沿一波的传播速度沿一波线传播，

8、经过波线上的线传播，经过波线上的A点后，再经点后，再经13cm而传至而传至B点。求点。求(1) B点的振动比点的振动比A 点落后的时间。点落后的时间。(2) 波在波在A、B两点振动时的相位两点振动时的相位差是多少？差是多少？(3) 设波源作简谐振动，振幅为设波源作简谐振动，振幅为1mm，求振动速度，求振动速度的幅值，是否与波的传播速度相等？的幅值，是否与波的传播速度相等？解解 (1) 波的周期波的周期s300011T波长波长cm52m52. 0s3000sm1056. 1113uB点比点比A点落后的时间为点落后的时间为s120001sm1056. 1m13. 013即即 。4T波长和频率波长和

9、频率(2) A、B 两点相差两点相差 ， B点比点比A点落后的相差为点落后的相差为45213224(3) 振幅振幅 A=1mm，则振动速度的幅值为，则振动速度的幅值为m/s8 .18cm/s1088. 12s3000cm1 . 031Avm振动速度是交变的，其幅值为振动速度是交变的，其幅值为18.8m/s，远小于波速。，远小于波速。波长和频率波长和频率ABCDEFGHI 解解 横波传播过程中各个质点在横波传播过程中各个质点在其平衡位置附近振动，且振动方向其平衡位置附近振动，且振动方向与传播方向垂直。与传播方向垂直。0Cv头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中头表示该波的传播方向。试分别用

10、小箭头表明图中A A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H、I I各质点的运动方向，并画出经过各质点的运动方向，并画出经过1/41/4周期后的波周期后的波形曲线。形曲线。例例16-2 16-2 设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭 根据图中的波动传播方向，可知在根据图中的波动传播方向，可知在C 以后的质点以后的质点B 和和A开始振动的时刻总是落后于开始振动的时刻总是落后于C 点，而在点，而在C 以前以前的质点的质点 D、E、F、G、H、I 开始振动的时刻却都超开始振动的时刻却都超前于前于C 点。点。 波长和频率波长和频率

11、 在在C 达到正的最大位移时，质点达到正的最大位移时，质点B 和和A 都沿着正方向都沿着正方向运动，向着各自的正的最大位移行进运动，向着各自的正的最大位移行进, ,质点质点B 比比A 更接近更接近于自己的目标。于自己的目标。 质点质点F、E、D已经过各自的正的最大位移，而进行已经过各自的正的最大位移，而进行向负方向的运动。向负方向的运动。 质点质点I、H 不仅已经过了自己的正不仅已经过了自己的正的最大位移，而且还经过了负的最大的最大位移，而且还经过了负的最大位移，而进行着正方向的运动。质点位移，而进行着正方向的运动。质点G 则处于负的最大位移处。则处于负的最大位移处。 ABCDEFGHI波长和

12、频率波长和频率经过经过T/ /4，波形曲线如下图所示，它表明原来位于，波形曲线如下图所示，它表明原来位于C 和和I 间的波形经过间的波形经过T/ /4 ，已经传播到，已经传播到A、G 之间来了。之间来了。ABCDEFGHI波长和频率波长和频率经过经过T/ /4，波形曲线如下图所示，它表明原来位于，波形曲线如下图所示，它表明原来位于C 和和I 间的波形经过间的波形经过T/ /4 ，已经传播到，已经传播到A、G 之间来了。之间来了。ABCDEFGHI波长和频率波长和频率5 5-3 -3 平面简谐波平面简谐波 波动方程波动方程 波动方程波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变：描述介质中各质点的位

13、移随时间的变化关系。化关系。 平面简谐波平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。们离开各自的平衡位置有相同的位移。平面简谐波平面简谐波1.1.平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x

14、轴的轴的正方向传播，波速为正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为。取任意一条波线为x 轴，取轴，取O 作为作为x 轴的原点。轴的原点。O点处质点的振动表式为点处质点的振动表式为)cos()(00tAtyOxyuxP平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 考察波线上任意点考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于点振动的相位将落后于O点。点。若振动从若振动从O 传到传到P所需的时间为所需的时间为t，在时刻在时刻t，P点处质点点处质点的位移就是的位移就是O 点处质点在点处质点在t t 时刻的位移，从相位来说，时刻的位移，从相位来说，P 点将落后于点将落后于O点，其相位差为点，其相位差为 t 。

15、P点处质点在时刻点处质点在时刻t 的位移为：的位移为： 0cos)(ttAtyPxOyuxP0cos)(uxtAtyP因因uxt 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的轴方向前进的平面简谐波的波动方程波动方程。 利用关系式利用关系式 和和 ，得，得22TuT02cos),(xTtAtxy02cosxtA)cos(0 xktA2k其中其中平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式02cosutxA说明：说明：1 1、波动方程的其他表示法、波动方程的其他表示法 2 2、波动表式的意义、波动表式的意义

16、： 上式代表上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率处质点在其平衡位置附近以角频率 作简谐运动。作简谐运动。12cosxtAy即即x 一定一定。令。令x=x1，则质点位移，则质点位移y 仅是时间仅是时间t 的函数。的函数。tyOAt 一定一定。令。令t=t1，则质点位移，则质点位移y 仅是仅是x 的函数。的函数。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式xtAy2cos1即即 以以y为纵坐标、为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，为横坐标，得到一条余弦曲线，它是它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线所构成的波形曲线(波形图

17、波形图)。xyAu平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式沿波线方向，任意两点沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：的简谐运动相位差为：xxx221212x、t 都变化都变化。实线：实线：t1 时刻波形时刻波形；虚线：虚线：t2 时刻波形时刻波形xyux=u t波的传播波的传播平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式当当t=t1时时，01cosuxtAy当当t= t1+t时，时， 01cosuxttAy 在在t1和和t1+t时刻时刻，对应的位移用对应的位移用x(1) 和和x(2)表示，则表示，则 0)1(1)(cos1uxtAyt0)2(1)(cos1uxttAytt平面简谐波的波

18、动表式平面简谐波的波动表式 令令x(2)=x(1)+ut，得得0)1(1)(cos1utuxttAytt)(0)1(11costyuxtA 在在t 时间内时间内, ,整个波形向波的传播方向移动了整个波形向波的传播方向移动了x= =x(2)-x(1)=ut，波速，波速u 是整个波形向前传播的速是整个波形向前传播的速度。度。波速波速u 有时也称有时也称相速度相速度。平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式 3、沿、沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式O 点简谐运动方程：点简谐运动方程：y x ouxP00costAyP 点的运动方程为点的运动方程为：0)(cosu

19、xtAy平面简谐波的波动表式平面简谐波的波动表式4 4、严格区分两种速度、严格区分两种速度 波的传播速度就是振动状态（周相）在波线上的传播，与媒质本身性质有关，与质点的振动没有关系。指点的振动速度就是在某一时刻，波线上某一质点的振动快慢5 5-4 -4 波的能量波的能量 波的强度波的强度 弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。 波动过程就是能量的传播过程。波动过程就是能量的传播过程。 下面以平面余弦纵波（行波）在棒中传播的特殊下面以平面余弦纵波（行波）在棒中传播

20、的特殊情况为例来说明。情况为例来说明。1. 1. 波动能量的推导波动能量的推导位于位于x 处的体积元处的体积元ab 的动能为的动能为 22)(21)(21vVvmWkOxabxxxOx a byyy体积元体积元ab 的振速的振速波动能量的推导波动能量的推导uxtAtyvsinuxtAVWk222sin)(21体积元体积元ab 的胁变的胁变xy 据杨氏模量定义和胡克定律据杨氏模量定义和胡克定律, ,该积元所受弹性力为该积元所受弹性力为 ykxyYSf体积元弹性势能体积元弹性势能 22221)(21)(21xyxYSyXYSykWp由由V=Sx , , ，结合波动表达式，结合波动表达式 Yu ux

21、tuAxysin最后得：最后得： uxtAVuxtuAVuWp22222222sin)(21sin)(21若考虑平面余弦弹性横波若考虑平面余弦弹性横波, ,只要把上述计算中的只要把上述计算中的 和和 f 分别理解为体积元的切变和切力分别理解为体积元的切变和切力, ,用切变模量用切变模量G 代替代替杨氏模量杨氏模量Y，可得到同样的结果，可得到同样的结果。xy 波动能量的推导波动能量的推导2. 2. 波的能量波的能量 考虑棒中的体积考虑棒中的体积V，其质量为其质量为m(m=V ) )。当波动传播到该体积元时，将具有动能当波动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势和弹性势能能Wp。uxtAtxyc

22、os),(平面简谐波平面简谐波 uxtVAWWpk222sin)(21可以证明体积元的总机械能可以证明体积元的总机械能W uxtVAWWWpk222sin)(对单个谐振子对单个谐振子pkWW 波的能量波的能量 说明：说明：1、Wk和和Wp在波的传播过程中，任一体积元在波的传播过程中，任一体积元内都相等，同相。内都相等，同相。 2、体积元内的机械能、体积元内的机械能W随时间做周期性的随时间做周期性的变化，对于一给定时间，又随变化，对于一给定时间，又随x做周期性的变化做周期性的变化. 3、波的传播过程中，任一体积元内都在不、波的传播过程中，任一体积元内都在不断地接受和放出能量，其值是时间的函数。与

23、振动情断地接受和放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波动传播能量，振动系统并不传播能量。形相比，波动传播能量，振动系统并不传播能量。波的波的能量密度能量密度 ：介质中单位体积的波动能量。介质中单位体积的波动能量。wuxtAVWw222sin通常取能量密度在一个周期内的平均值通常取能量密度在一个周期内的平均值 w2221A dtxtATT2sin12220 dtxtTAT 022)2(2cos1 TdttwTw0)(13. 3. 波的强度波的强度能流能流 在介质中垂直于波速方向取一面积在介质中垂直于波速方向取一面积S ，在单位时，在单位时间内通过间内通过S 的能量。的能量。uSuwSut

24、twSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流：平均能流：2221AuSSuwP平均能流密度平均能流密度或或波的强度波的强度 通过与波传播方向垂直的通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用单位面积的平均能流，用I 来表示，即来表示，即222222AzAuuwI波的强度波的强度介质的特性阻抗介质的特性阻抗 。uzI 的单位：的单位：瓦特瓦特/米米2 (W.m-2)平面余弦行波振幅不变的意义平面余弦行波振幅不变的意义: : )(cosuxtAyuS1AS2AuSAuSwP2211121uSAuSwP2222221若若 ，有，有 。21PP 21AA 4.4.波的吸收波的吸收 1S2

25、SuOXnAxAxxdAAd 若波不被介质吸收，对于平面简谐波，若波不被介质吸收，对于平面简谐波，S1 和和S2 处振处振幅相同。若介质吸收机械波的能量，则波线上不同点处幅相同。若介质吸收机械波的能量，则波线上不同点处振幅是不相同的。上图的振幅是不相同的。上图的dA 0。,ddxAA-介质的吸收系数。介质的吸收系数。xeAA0若若 为常数为常数, , 则有则有A0为为x = 0 处的振幅。处的振幅。xeII20 xeAuAuI2220222121220021AuI 式中的式中的I0 和和I 分别为分别为x=0 和和x=x 处的波的强度。处的波的强度。 波的吸收波的吸收实验发现：实验发现：一一.

26、 . 惠更斯原理惠更斯原理5-5 5-5 惠更斯原理惠更斯原理上页上页下页下页退出退出返回返回1. 原理原理 : 媒质中波传到的各点媒质中波传到的各点,都可看作开始发都可看作开始发射子波的子波源射子波的子波源 (点波源点波源)。 在以后的任一时刻在以后的任一时刻, 这些子波面的包络这些子波面的包络面就是实际的波在该时刻的波前面就是实际的波在该时刻的波前 。平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面u t波传播方向波传播方向t 时刻波面时刻波面球面波球面波 tt + t3. 不足不足上页上页下页下页退出退出返回返回2. 应用应用 :t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向5

27、-6 波的叠加波的叠加 一一. 波传播的独立性波传播的独立性媒质中同时有几列波时媒质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自每列波都将保持自己原有的特性己原有的特性(传播方向、振动方向、频率传播方向、振动方向、频率等等), 不受其它波的影响不受其它波的影响 。 二二. 波的叠加原理波的叠加原理在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波振动是各列波单独单独传播传播 时在该点引起的振动时在该点引起的振动的合成。的合成。上页上页下页下页退出退出返回返回三三 波的干涉波的干涉(interference of waves)1. 干涉现象干涉现象 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布2. 相干条件相干条件(1) 频率相同；频率相同；(2) 有恒定的相位差；有恒定的相位差；(3) 振动方向相同振动方向相同 S2S1r1r2 p S1 y10 = A10cos( t+ 10) S2 y20 = A20cos( t+ 20)3. 波场中任一点的合振动波场中任一点的合振动设振动方向设振动方向 屏面屏面上页上页下页下页退出退出返回返回相位相位合振幅合