第2章 质点力学的运动定律守恒定律

1、1第第2 2章章 质点力学的质点力学的运动定律运动定律 守恒定律守恒定律（Newtons laws of motion）2.1 质点力学的基本质点力学的基本定律定律2.2 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律2.3 功功 动能动能 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律2.4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律2.5 刚体定轴转动刚体定轴转动 牛顿牛顿作业：作业：练习册练习册选择题：选择题：1-13填空题：填空题：1-10计算题：计算题：1-8英国著名诗人英国著名诗人Pope写道：写道： 自然界和自然界的规律隐藏在黑暗中，自然界和自然界的规律隐藏在黑暗中， 上帝说：上帝说：“让牛顿去吧！

2、让牛顿去吧！” 于是一切成为光明。于是一切成为光明。2牛顿的生平简介牛顿的生平简介 少年时代的牛顿，天资平常，但很喜欢制作各种机械模型，少年时代的牛顿，天资平常，但很喜欢制作各种机械模型，他他有一种把自然现象、语言等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对有一种把自然现象、语言等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对自然现象极感兴趣。自然现象极感兴趣。 牛顿末出娘腹，父亲便去世，在舅舅和外祖母的抚牛顿末出娘腹，父亲便去世，在舅舅和外祖母的抚养下长大，从小体弱多病。养下长大，从小体弱多病。 1661 1661年年6 6月，他以月，他以“减费生减费生”身份考入剑桥大学三一学院身份考入剑桥大学三一学院。他比一

3、般同学都大四、五岁，但他从小有个好习惯，就是。他比一般同学都大四、五岁，但他从小有个好习惯，就是爱亲自动手做小机械之类的玩艺儿，手极巧。爱亲自动手做小机械之类的玩艺儿，手极巧。 入学后遇着一个叫巴罗的好老师的悉心栽培，这迟熟的牛顿茅入学后遇着一个叫巴罗的好老师的悉心栽培，这迟熟的牛顿茅塞顿开，学业进步很大，经常提出一些自然和数学方面的问题，使塞顿开，学业进步很大，经常提出一些自然和数学方面的问题，使巴罗又惊又喜。谁知好景不长，学习不到三年，便发生了席卷全国巴罗又惊又喜。谁知好景不长，学习不到三年，便发生了席卷全国的大瘟疫，伦敦在的大瘟疫，伦敦在16651665年一个夏天便死了二万多人。学校只好

4、放假年一个夏天便死了二万多人。学校只好放假，牛顿卷着铺盖又回到老家沃尔斯索普村。，牛顿卷着铺盖又回到老家沃尔斯索普村。3 16671667年，可怕的瘟疫刚消失，牛年，可怕的瘟疫刚消失，牛顿便重返校园，翌年获硕士学位。不顿便重返校园，翌年获硕士学位。不知是胆怯还是出于慎重，他知是胆怯还是出于慎重，他对自己在对自己在乡间从苹果落地而得出的万有引力定乡间从苹果落地而得出的万有引力定律，律，再未张扬。再未张扬。 16841684年年1212月，在哈雷的鼓动下，月，在哈雷的鼓动下，牛顿将牛顿将论运动论运动送到皇家学会，二送到皇家学会，二年后公布有万有引力的巨著年后公布有万有引力的巨著自然哲自然哲学的数学

5、原理学的数学原理第一编也送到皇家学第一编也送到皇家学会。会。这本书可以看作经典物理学的这本书可以看作经典物理学的圣经圣经。牛顿在此书中建立了一个完。牛顿在此书中建立了一个完备自洽的物理学体系。备自洽的物理学体系。自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理 “ “我把这部著作叫做我把这部著作叫做自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理，因为哲学的，因为哲学的全部任务看来就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后全部任务看来就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后用这些力去论证其他的现象。用这些力去论证其他的现象。”4 17271727年年3 3月月2020日，牛顿病逝，享年日，牛顿病逝，享年8585

6、岁。英国政府为他岁。英国政府为他进行了国葬。他睡进了只有英国历史上最着名的艺术家、进行了国葬。他睡进了只有英国历史上最着名的艺术家、学者、政冶家、元帅才配安息的地方。他死后四年，人们学者、政冶家、元帅才配安息的地方。他死后四年，人们为他立了雄伟的墓碑，并列了这样一段为他立了雄伟的墓碑，并列了这样一段铭文铭文：伊萨克伊萨克牛顿爵士安葬在这里。他牛顿爵士安葬在这里。他以近于超人的智力第一个证明了行星的以近于超人的智力第一个证明了行星的运动与形状，彗星的轨道，海洋的潮汐运动与形状，彗星的轨道，海洋的潮汐。他孜孜不倦地研究光线的各种不同的。他孜孜不倦地研究光线的各种不同的屈折角，颜色所生成的种种性质。

7、对于屈折角，颜色所生成的种种性质。对于自然、考古和圣经，他是一个勤勉、敏自然、考古和圣经，他是一个勤勉、敏锐和忠实的诠释者。在他的哲学中确认锐和忠实的诠释者。在他的哲学中确认上帝的尊严，并在他的举止中表现了福上帝的尊严，并在他的举止中表现了福音的纯朴。让人类欢呼曾经存在过这样音的纯朴。让人类欢呼曾经存在过这样伟大的一位人类之光。伟大的一位人类之光。牛顿墓牛顿墓5)(dd)(ddvmtPtF直角坐标系：直角坐标系：22zyxtzmFtymFtxmFdddddd2222曲线坐标系：曲线坐标系：法向：法向：tmFmFndd2vv切向：切向：（圆周运动圆周运动： =R）对惯性系成立对惯性系成立1 1

8、质点力学的基本质点力学的基本定律定律 牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式，适用牛顿第二定律的微分形式是基本的普遍形式，适用于高速运动情况与变质量问题。于高速运动情况与变质量问题。中学：中学：大学：大学：maF 1. 1. 牛顿第二定律牛顿第二定律62. 2. 常见的几种力常见的几种力弹力的三种形式：弹力的三种形式：正压力或支持力正压力或支持力: :物体通过一定面积相接触而产生的相互作用力。物体通过一定面积相接触而产生的相互作用力。拉力和张力拉力和张力: :拉力是绳或线对物拉力是绳或线对物体的作用力体的作用力; ;张力是绳子内部各张力是绳子内部各段之间的作用力。段之间的作用力。弹簧的弹力弹簧

9、的弹力: :(1)(1) 重力：重力：地球表面附近的物体受地球的地球表面附近的物体受地球的 引力作用。引力作用。(2)(2) 弹力：弹力：发生形变的物体发生形变的物体, ,由于要恢复由于要恢复原状原状, ,对与它接触的物体产生的作用力。对与它接触的物体产生的作用力。地球地球重力重力：gm拉力拉力T张力张力T弹力弹力f支持力支持力N正压力正压力N7例例: 如图，质量均匀分布的如图，质量均匀分布的粗绳粗绳拉重物，拉重物，（张力有分布吗？）（张力有分布吗？）已知：已知：F =150N，a = 0.2m/s2，l = 4m，m = 2kg. 求求：距顶端为：距顶端为x米处米处绳中的张力绳中的张力. .

10、xFxTgmxFa拉紧的绳中任一截面两侧的两部分之间相互作用力称该截面处的张力拉紧的绳中任一截面两侧的两部分之间相互作用力称该截面处的张力.解：从顶端向下取解：从顶端向下取x米绳，由牛顿第二定律米绳，由牛顿第二定律a）（ 1amgmTFxxx）（2xlmmx)(agmlxFTx#若若2lx2)(2agmFTlxN140若绳的质量忽略，则张力等于外力若绳的质量忽略，则张力等于外力FT 8质点动力学的基本问题：质点动力学的基本问题：质点动力学问题可分为两类：质点动力学问题可分为两类：(1)(1) 已知质点的运动，求作用于质点的力。已知质点的运动，求作用于质点的力。,dd22txa 由由,dd22t

11、xmF 求：求：F一维一维直线运动直线运动，运动方程，运动方程 x = x (t)例：一质点质量为例：一质点质量为m = 2kg，作直线运动，运动方程，作直线运动，运动方程x =10t 2+2t+1（SI）求质点所受的合外力。求质点所受的合外力。)(m/s20dd222txa解：解：(N)40dd22txmF3.3. 应用牛顿定律解题应用牛顿定律解题9tmpmaFxxcos2tmRmaFyysin2解：解：tRtyatptxayxsindd,cosdd222222rmj tRi tPmjFiFFyx22)sincos(例：一质点质量例：一质点质量m，运动方程，运动方程 ，求作用于质点的合外力求

12、作用于质点的合外力。j tRi tprsincostRytpxsin,cos10tRmmgT2220coscos例例: : 如图所示，单摆运动为如图所示，单摆运动为 = 0sin t , 为为细绳与铅直细绳与铅直线所成的角线所成的角, , 0和和 均为常数均为常数。设摆锤质量为设摆锤质量为m，绳长为绳长为R，求绳子的张力求绳子的张力。解：质点绕解：质点绕 c 点作变速圆周运动，点作变速圆周运动，其法向加速度为：其法向加速度为：22ddtRRanvtRRddvm 0RcmgTttcosdd0cosmgTFntmRRmFn22202cosv求得：求得：11例：一质点例：一质点m =1kg，直线运动

13、，受力直线运动，受力f =2t，设设t = 0 时时，x0= 0，v0=1m/s，求质点的运动方程求质点的运动方程。解：解：tmftx2dd22tt2ddvttd2d v, tttvvv00d2d20tvv21ddttx,ddd2tttx, tttxxxtt0002ddd,330ttxx.ttx33(2)(2) 已知作用于质点的力，求质点的运动。已知作用于质点的力，求质点的运动。a. 选择好坐标系；选择好坐标系；b. 根据根据F = mdv/dt 的分量形式建立运动微分方程式；的分量形式建立运动微分方程式；c. 对微分方程求解，得到运动方程对微分方程求解，得到运动方程。12解：解：x0mvF阻

14、力沿阻力沿x轴负方向，表示为：轴负方向，表示为：F= kv ， k为常数。为常数。 ,ddvvktm,ddtmkvv,dd00vvvvttmk,ln0tmkvv.0tmkevv将将txddv代入上式，得：代入上式，得：tmketx0ddvtextmkdd0v当当t = 0时时， x = 0；t,extmktxdd000 v)1 (0tmkekmxv例：质量为例：质量为m 的物体，以初速度的物体，以初速度v0沿水平方向向右运动，沿水平方向向右运动，所受到的所受到的阻力与速度阻力与速度v 成正比成正比，求物体的运动方程。，求物体的运动方程。当当t = 0 时，时，v = v013a- a惯性系惯性

15、系非惯性系非惯性系4. 4. 非惯性系非惯性系 惯性惯性力力问题问题: :1. 1. 在地面的站台上观察金杯的运动状态如何在地面的站台上观察金杯的运动状态如何? ?2. 2. 在加速行驶的车内观察金杯的运动状态又如何在加速行驶的车内观察金杯的运动状态又如何? ?( (答答: :静止静止) )( (答答: :加速向左运动。加速向左运动。) )amF14 牛顿第二定律仅仅适用于牛顿第二定律仅仅适用于惯性系惯性系( (相对于地球静止或作匀速直相对于地球静止或作匀速直线运动的物体线运动的物体),),怎样把牛顿第二定律推广到非惯性系呢怎样把牛顿第二定律推广到非惯性系呢? ?非惯性系：非惯性系：相对地面惯

16、性系做加速运动的物体。相对地面惯性系做加速运动的物体。平动加速系：平动加速系：相对于惯性系作变速直线运动，但是本身没有转动的相对于惯性系作变速直线运动，但是本身没有转动的物体。物体。 例如：在平直轨道上加速运动的火车。例如：在平直轨道上加速运动的火车。转动参考系：转动参考系：相对惯性系转动的物体。相对惯性系转动的物体。 例如：转盘在水平面匀速转动。例如：转盘在水平面匀速转动。惯性力惯性力: : 在非惯性系中观察和处理物体的运动现象时在非惯性系中观察和处理物体的运动现象时, ,为了应用牛顿为了应用牛顿定律而引入的一种虚拟力。定律而引入的一种虚拟力。aa观察：观察：处理处理：aamFF15在平动加

17、速参考系中惯性力在平动加速参考系中惯性力: :amFiamFFi在非惯性系中牛顿第二定律的形在非惯性系中牛顿第二定律的形式为式为加速度物体相对此非惯性系的a惯性力惯性力 不是物体间的不是物体间的相互作用，它没有相互作用，它没有反作用力。反作用力。 本质上是物体本质上是物体惯性的体现，有真惯性的体现，有真实的作用效果。实的作用效果。 16问题：在转动参考系中，如何问题：在转动参考系中，如何引入惯性力引入惯性力对牛顿第二定律进行对牛顿第二定律进行推广？推广？大小大小方向方向2mRFi沿着圆的半径向外沿着圆的半径向外nmRF2i在转盘上在转盘上( (非惯性系非惯性系) )观察观察: :小球静止。小球

18、静止。在在转动参考系转动参考系中惯性力中惯性力: :在地面上在地面上( (惯性系惯性系) )观察观察: :小球受弹簧拉力做圆周小球受弹簧拉力做圆周运动；运动；处理处理：0合外力F弹簧拉力客观存在弹簧拉力客观存在( (惯性离心力惯性离心力)17二战中的小故事二战中的小故事：美美 Tinosa号潜艇号潜艇携带携带1616枚鱼雷在太平洋离敌舰枚鱼雷在太平洋离敌舰40004000码码斜向攻击，发射斜向攻击，发射4 4枚枚使敌舰停航。使敌舰停航。离敌舰离敌舰 875875码垂直攻击，发射码垂直攻击，发射1111枚枚均未爆炸！均未爆炸！敌敌舰舰体体分析：分析：垂直、近距垂直、近距惯性力大惯性力大摩擦摩擦力

19、大力大鱼雷鱼雷v雷管雷管导板导板撞针滑块撞针滑块S惯性力F0a18例：在加速运动的车上分析单摆与竖直方向的夹角。例：在加速运动的车上分析单摆与竖直方向的夹角。(1)(1) 确定研究对象：物体确定研究对象：物体m(2)(2) 选参照系选参照系 车（非惯性系）车（非惯性系）(3)(3) 在参照系上建立直角坐标系如图；在参照系上建立直角坐标系如图；(4)(4) 隔离物体分析力隔离物体分析力: :解：解：iF 0axy0gmTxy0运用牛顿第二定律列方程：运用牛顿第二定律列方程：x 方向：方向：0sin xiamFTy 方向：方向：0cos yammgT0maFiga0arctan解出解出:19例例

20、如图如图 m与与M保持接触保持接触, 各接触面处处光滑各接触面处处光滑.求：求：m下滑过程中，相对下滑过程中，相对M的加速度的加速度 amM解：画隔离体受力图解：画隔离体受力图M相对地面加速运动，运动加速度设为相对地面加速运动，运动加速度设为0aMmNyxiFMmmg0a以以M为参考系画为参考系画m 的的受力图受力图xy0aMMgMN地mMN以地面为参考系画以地面为参考系画M的的受力图受力图Mm0maFi20以地面为参考系对以地面为参考系对M列方程列方程) 1 (sin0MaNmM以以M为参考系（非惯性系）对为参考系（非惯性系）对m 列方程列方程) 2(sincos0mMmamgma) 3(0

21、cossin0mgmaNMmgmMmMamM2sinsin)(结果为：结果为：0aMmNyx0maMmmgxy0aMMgMN地mMNx方向：方向：x方向：方向：y方向：方向：21力对力对时间时间和和空间空间的积累效应。的积累效应。 微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，时关系，对于中间的每个过程必须考虑。某些情况下，并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。并不需要考虑中间过程，可以由几个状态求解问题。这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就这时候，采用积分形式的牛顿第二定律更有效。这就是动

22、量定理与动能定理。是动量定理与动能定理。21dtttF积分表示力对时间的累积量积分表示力对时间的累积量- 冲量冲量barrrFd功功)(ddvmtF 22PtFmtFddddv求积分有：求积分有：1221dPPtFtt 动量定理动量定理物体在运动过程中所受到的合外力物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。的冲量，等于该物体动量的增量。比较：中学比较：中学 Ft=mv2 - mv1直线运动，直线运动，F恒力恒力普遍性，直线，普遍性，直线，曲线，曲线，直角坐标系，分量式：直角坐标系，分量式：zzttzzyyttyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI121212ddd21

23、2121vvvvvv2 2 动量动量 动量守恒定律动量守恒定律力对时间过程的积累效应，冲量力对时间过程的积累效应，冲量 动量。动量。1.1.质点的动量定理质点的动量定理)(tF23mF（a）0t(s)F(N)4730（b）解解: :由动量定理由动量定理: :(1)0440d)(vvmmtmgF上式中上式中F=30,v0=0,解出解出v4 =4.16m/s(2)7447d)(vvmmtmgF上式中上式中F=7010t, 7)t(4解出解出v7 =2.78m/s(3)6446d)(vvmmtmgF解出解出v6 = 4.24m/s例：如图例：如图 a 所示所示，质量为质量为m =10kg的木箱，在水

24、平拉力的木箱，在水平拉力F 的作用下，由静止开始运动，若拉力的大小随时间变化的的作用下，由静止开始运动，若拉力的大小随时间变化的关系如图关系如图b所示，已知木箱与地面间的摩擦系数所示，已知木箱与地面间的摩擦系数 = 0.2，求：求：t = 4、7、6s 时木箱速度的大小时木箱速度的大小。242. 2. 质点组（系）的动量定理质点组（系）的动量定理m1m2mn01221 ff内力成对产生，矢量和为零内力成对产生，矢量和为零;推广到系统的所有内力矢量和为零。推广到系统的所有内力矢量和为零。对第对第i个质点，个质点，)(d)(.3 , 2 , 11221ni,mmtfFiiiittiivv一共有一共

25、有n个这样的方程，求和：个这样的方程，求和：niiiniiinittiimmtfF1112121d)(vv21f12f2F1F)0(ddd1111212121niittniittniittniift,FtftF25121121121diiniiiittniniiiPPmmtFvv 由由n个质点组成的力学系统所受个质点组成的力学系统所受合外力合外力的冲量等的冲量等于系统总动量的增量。于系统总动量的增量。注意：内力不能改变系统的总动量；注意：内力不能改变系统的总动量； 内力能改变每一个质点的动量。内力能改变每一个质点的动量。)0(ddd1111212121niittniittniittniift,

26、FtftFniiiniiinittiimmtfF1112121d)(vv26 汽车发动机内气体对活塞的推力汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽车前进的力是什么力？进吗？使汽车前进的力是什么力？ 参考解答：汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作参考解答：汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会用力都是汽车系统的内力，内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使汽

27、车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。使汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动粗略分析如下：当汽车发动机内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相轮（一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦力，使汽车整体向前加速运动。车整体向前加速运动。 由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有由于汽车前进使从动轮（汽车的前

28、轮）相对地面有向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后向前的运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。27iiimPv= 常矢量常矢量如果系统所受的外力之和为零（即如果系统所受的外力之和为零（即 ），），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。0iF条件条件0iF3. 3. 动量守恒定律动量守恒定律直角坐标系下的分量形式直角坐标系下的分量形式

29、nxnxxmmmvvv2211=常量常量nynyymmmvvv2211=常量常量nznzzmmmvvv2211=常量常量121121121diiniiiittniniiiPPmmtFvv28关于动量守恒定律，注意几点：关于动量守恒定律，注意几点：1F2F021FF开始静止，加上一对力后，开始静止，加上一对力后，转动；动量守恒吗？转动；动量守恒吗？1 vm2 vm每一对对应点的动量矢量合还是为零。每一对对应点的动量矢量合还是为零。(2) (2) 碰撞、打击碰撞、打击摩擦力、重力作用，外力矢量合不为摩擦力、重力作用，外力矢量合不为零零 ( (因因 t t很短很短, ,碰撞、打击的内力远大于外力碰撞

30、、打击的内力远大于外力),),仍有动量仍有动量守恒守恒. .(3) (3) 外力矢量合不为零外力矢量合不为零, ,但沿着某一方向分量的代数合但沿着某一方向分量的代数合为零为零, ,总动量在该方向的分量守恒总动量在该方向的分量守恒. .(1) (1) 动量是矢量，是矢量守恒。动量是矢量，是矢量守恒。29例：车例：车(M)长长l, , 人人(m)，车对地光滑车对地光滑, ,问人从车的一端走到另一端时问人从车的一端走到另一端时, ,人和车各对地移动了多少人和车各对地移动了多少? ?lx人人x车车lxx人车人对地vMMm 解解: (: (人人, ,车车) ) 系统系统沿水平方向沿水平方向, ,动量守恒

31、动量守恒. .0车对地人对地vvMm人对地车对地vvMm一维直线运动一维直线运动, ,人对地车对地vvMm人对地人对地车对地人对地人对车vvvvvMmtltd0人对车v人对地人对地xMmMtMmMtd0v,lmMMx人对地lmMmxlx人对地车对地30 物体物体m与质元与质元dm在在 t 时刻时刻的速度以及在的速度以及在 t + dt 时刻时刻合合并后的共同速度如图所示：并后的共同速度如图所示：mdmvutttd m+dmvvdF 把物体与质元作为把物体与质元作为系统系统考虑，初始时刻与末时刻的动考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：量分别为：ummdv初始时刻初始时刻)d)(d(vvmm末时刻

32、末时刻4. 4. 变质量物体的运动方程变质量物体的运动方程31对对系统系统利用动量定理利用动量定理)d()d)(d(ummmmvvvtF dummmmdddddvvvtF d略去二阶小量，两端除略去二阶小量，两端除d tFutmmtdd)(ddv值得注意的是，值得注意的是，dm可正可负，可正可负，当当dm取负时，表取负时，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，utm dd为尾气推力为尾气推力。变质量物体运动微分方程变质量物体运动微分方程32(1)(1)确定研究系统确定研究系统, ,取定坐标系取定坐标系(2)(2)写出系统动量表达式写出系统动量表达式(3)

33、(3)求出系统动量变化率求出系统动量变化率(4)(4)分析系统受力分析系统受力(5)(5)应用动量定理求解应用动量定理求解变质量问题的处理方法变质量问题的处理方法例例1 1：装煤车的牵引力装煤车的牵引力例例2 2：匀速匀速提提柔软链条柔软链条33例：一辆煤车以例：一辆煤车以v =3m/s的速率从煤斗下面通过的速率从煤斗下面通过, ,每秒钟每秒钟落入车厢落入车厢的煤为的煤为 m=500kg。如果车厢的速率保持不变如果车厢的速率保持不变, ,应用多大的牵引应用多大的牵引力拉车厢力拉车厢? ?设以地面为设以地面为参考系参考系，建立坐标系如图，建立坐标系如图，解解: : 研究对象研究对象： t 时刻车

34、中煤的总质量时刻车中煤的总质量m和和 t+dt 时刻落入车厢的煤的质量时刻落入车厢的煤的质量dm t 时刻和时刻和t+dt时刻系统时刻系统水平水平总动量分别为总动量分别为: :vvmmm0dvvv)d(dmmmm dt 时间内系统水平总动量增量为时间内系统水平总动量增量为: :vvvmmmmpd)d(d由动量定理可得由动量定理可得: :vmptFdddN15003500ddvtmFmdmvFOx34XoxF0v例：柔软的绳盘在桌面上，总质量为例：柔软的绳盘在桌面上，总质量为m0，总长度总长度l , 质量均匀分布，质量均匀分布，均匀地以速度均匀地以速度v0 0提绳。求：绳子被拉上任一段后，绳端的

35、拉力提绳。求：绳子被拉上任一段后，绳端的拉力F。解：解：( (方法一方法一) ) 取取整个绳子整个绳子为研究对象为研究对象( (系统系统) )：t0000vxlmP：ttd0)(00vxxlmPdF受力图受力图gm0N) 1 ()()(00000vvxlmxxlmtgmNFdd)2()(0gxllmNxglmlmF0200vgxllm0Nt 时刻绳子被拉上时刻绳子被拉上x , , t +dt 时刻绳子被拉上时刻绳子被拉上x+dx t 时刻和时刻和t+dt时刻系统总动量分别为时刻系统总动量分别为: :35已提升的质量已提升的质量(主体主体) m 和将要提升的质量和将要提升的质量dm：t0,0vm

36、：ttd00d,vvmm0dd)(vmtmgF0ddvtmmgFtxlmtmdddd0 xlmm00ddvtxxglmlmF0200v( (方法二方法二) ) 系统是：系统是：FXox0vgm t 时刻和时刻和t+dt时刻系统总动量分别为时刻系统总动量分别为: :36 质点系的质量中质点系的质量中心，简称心，简称质心质心。具有具有长度的量纲，描述与长度的量纲，描述与质点系有关的某一空质点系有关的某一空间点的位置。间点的位置。 质心运动反映了质心运动反映了质点系的整体运动趋质点系的整体运动趋势。势。5.5. 质心质心 质心运动定理质心运动定理抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程COxy37质心质心( (

37、质量中心质量中心) )定义定义iiiiicmrmr对于分立体系：对于分立体系：直角坐标系下：直角坐标系下：MxmxiiicMymyiiicMzmziiicMrmiiiNimmmm,21Nirrrr,21imMciirMrmxzyOm2m1mimN1r2rccrNrir38M对于连续体：对于连续体：mmrrcddMmr d直角坐标系下：直角坐标系下：MmxxcdMmyycdMmzzcd(xc yc zc)cxzyOcrdmriiiiicmrmr39dxx例例: :求腰长为求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。这个结果和熟

38、知的三角形重心位置一致。axxxxmmxxaac32d2d2dd2/02/02三角形质心坐标三角形质心坐标xc c是是xy a解解: : 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心质心位于此分角线上。位于此分角线上。以此分角线为以此分角线为x轴，作坐标轴如图所示。轴，作坐标轴如图所示。Oxy在离原点处取宽度为在离原点处取宽度为d dx的面积元，由于的面积元，由于面积元的高度为面积元的高度为2 2y，所以其面积为，所以其面积为2ydx=2xdx。设薄板每单位面积的质量。设薄板每单位面积的质量为为 ，则此面积元的质量，则此面积元的质量dm=2x d

39、x。40解解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上。以此分角线为位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐标轴如所示。轴，作坐标轴如所示。 在在离原点处取宽度为离原点处取宽度为d dx的面积元，由于面积元的高度为的面积元，由于面积元的高度为2 2y，所，所以其面积为以其面积为2ydx=2xdx。设薄板每单位面积的质量为。设薄板每单位面积的质量为 ，则此，则此面积元的质量面积元的质量xyySd)d(2d. 2xyyySd2)d(2d. 3xySd2d. 1xydd212xydd13略去二阶无穷小略去二阶无穷小dxxOxydy4

40、1iiiiimrmrctrccddviiimMcvviiimPvcMvtMtPcddddvcaMtPFdd 质心运动定理质心运动定理MrmiiiMtrmiiiddMmiiivcaM表明：不管物体的质表明：不管物体的质量如何分布，也不管量如何分布，也不管外力作用在物体的什外力作用在物体的什么位置上，质心的运么位置上，质心的运动就象是物体的质量动就象是物体的质量全部都集中于此，而全部都集中于此，而且所有外力也都集中且所有外力也都集中作用其上的一个质点作用其上的一个质点的运动一样。的运动一样。质心的质心的运动只由合外力决定运动只由合外力决定，内力不能改变质心，内力不能改变质心的运动情况。的运动情况。

41、质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。42动量守恒定律动量守恒定律Mmiicvv= 常矢量常矢量iiimPv= 常矢量常矢量0iF系统所受合外力矢量和为系统所受合外力矢量和为零，动量守恒。即质心速零，动量守恒。即质心速度保持不变！度保持不变！iiiiimrmrctrccddviiimMcvviiimPvcMvtMtPcddddvcaMtPFddMrmiiiMtrmiiiddMmiiivcaM43 天安门前放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火的质心的天安门前放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火的质心的运动轨迹如何？（忽略空气阻力与风力）为什么在空中运动轨迹如何？（忽略空气阻力与

42、风力）为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？焰火总是以球形逐渐扩大？答：由质心运动定理答：由质心运动定理F = mac可知，系统的外力决定质心的运动。天安门前放可知，系统的外力决定质心的运动。天安门前放焰焰火火时，若不计阻力和风力，时，若不计阻力和风力，焰火焰火受到的外力只有重受到的外力只有重力，所以力，所以焰火焰火质心的运动轨迹就是一条抛物线。质心的运动轨迹就是一条抛物线。 焰火在空中炸开时，由于爆炸力远远大于重力，焰火在空中炸开时，由于爆炸力远远大于重力，可近似认为焰火系统动量守恒，焰火各质点的动量可近似认为焰火系统动量守恒，焰火各质点的动量之和必须保持为零，所以各方向的动量都有，且相之和必

43、须保持为零，所以各方向的动量都有，且相反方向的动量大小必定相等，从而使空中的焰火大反方向的动量大小必定相等，从而使空中的焰火大致以球形逐渐扩大。致以球形逐渐扩大。44例：例： 一质量一质量m1=50kg的人站在一条质量的人站在一条质量 m2=200kg , , 长度长度l = 4m的船头上。开始时船静止的船头上。开始时船静止, ,求当人从船头走到船尾时船移动的距求当人从船头走到船尾时船移动的距离离d =？ ,)(22dxxdlxx)(11x0yC船船2x1xC 船船1x2xdd解解: :取人和船为系统取人和船为系统, ,该系统在水平方向不该系统在水平方向不受外力受外力, ,因而水平方向的质心速

44、度不变因而水平方向的质心速度不变, ,即即质心始终静止不动质心始终静止不动。当人在船左端时当人在船左端时, ,人和船人和船这个系统的这个系统的质心坐标质心坐标为为212211mmxmxmxc当人在船右端时当人在船右端时, ,人和船人和船这个系统的这个系统的质心坐标质心坐标为为212211mmxmxmxc由于由于212211mmxmxmxc212211mmxmxmxc所以所以22112211xmxmxmxm即即: :)()(111222xxmxxm)(12dlmdm求当人从船头走到船尾时船移动的距离求当人从船头走到船尾时船移动的距离(m)8 . 042005050211lmmmdMxmxiiic

45、451. 1. 功（定义）、功（定义）、变力做功的计算变力做功的计算.ab轨道分成轨道分成N个小段个小段, ,每个小段足够小每个小段足够小, , 其上其上F大大小、方向均一定，按恒力作功，小、方向均一定，按恒力作功，有：有：取取i小段小段, ,有有: :iNiiirFAA1,d)(0limbarrrrFrFrbarrrFAd3 3 功功 动能动能 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 牛顿定律牛顿定律瞬时作用关系。现在研究质点在力的持续作用下，瞬时作用关系。现在研究质点在力的持续作用下，力对物体的积累效应。力的空间积累对质点运动的影响。力对物体的积累效应。力的空间积累对质点运动的影响。arb

46、ro)(rFF2F1F2r1rrFA),cos(rFrFA).3 , 2 , 1(NiiiirFA46barrrFAd直角坐标系：直角坐标系：kFjFiFFzyxkzj yi xrddddzFyFxFrFzyxdddd),(aaazyxa),(bbbzyxbzFyFxFrFAbabababazzzyyyxxxrrdddd功率：功率： t内作功内作功 A，平均功率：，平均功率：tAW瞬时功率：瞬时功率：tAtAW0tddlimvFtrFtrFtrFt0tWddlimlim0或或abarbro2F1F2r1r47j yi xF34例：已知力例：已知力质点从原点移动到质点从原点移动到 x = 8,

47、y = 6 处该力做功多少处该力做功多少? ?21drrrFA602802232yx6080d3d4yyxx(J)18254128zFyFxFrFAbabababazzzyyyxxxrrdddd48例例: :某物体质量某物体质量 m =2kg，受力受力F = 12t（N）从静止出发从静止出发沿沿 x 轴作直线运动。轴作直线运动。oxm)(tF求：求：3s 内该力做了多少功？内该力做了多少功？解解: :若质点沿若质点沿x 轴运动轴运动21dxxxFAtmFa6tat6ddvttd6dvttt0d6d0vvv203tvv23tv21dxxxFA)d(dtxv21dtttFv302d312ttt(J

48、)7299304 t49(1) (1) 直线运动：直线运动：2212121212121ddddd2vvvvvvvmmmxtmxFAxxxx(2) (2) 曲线运动：曲线运动：vvvddddddmrtmrFA2vvv求导：求导：ttdd2dd2vvvvvvvvdd代入上式，有：代入上式，有：21222121dd21vvvvvvmmmAA得：合外力对物体所作的功合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。等于物体动能的增量。2. 2. 质点的动能定理质点的动能定理vvvvdddmmAvvvvdddndv不仅产生于不仅产生于v 方向的改变，方向的改变，而且也决定于而且也决定于v 大小的变化大小的变化。v

49、vvvvvndddvvdvv dvv d50例例. . 一质量为一质量为m的摆球系在线的一端，线长的摆球系在线的一端，线长l ；水平静止；水平静止然后下落。求摆线与水平方向成然后下落。求摆线与水平方向成 0 0角时，摆球的速率。角时，摆球的速率。m0解：解：任取任取摆线与水平方向成摆线与水平方向成 角时角时( (即即任取一中间过程任取一中间过程) )分析分析,l对摆球，外力：对摆球，外力：P，T下摆下摆d，dr 时：时：ddSrdrPTAd)(drPArTdd,drPAAdd,000rmgA0cosd)dd(dlSrdcos00mglv 0sinmgl由动能定理：由动能定理：,21222121

50、vvmmA,mmglsin02221v022glsinv0sinl思考：思考：A重力做功重力做功=？PT513. 3. 保守力保守力 势能势能 Ep以保守力相互作用的物体系统，在一定的相对位置状态以保守力相互作用的物体系统，在一定的相对位置状态下所具有的能量称势能。下所具有的能量称势能。重力势能重力势能弹力势能弹力势能mgy221kx引力势能引力势能rmGm21定义：力定义：力F 作功与始末位置有关，与路径无关。作功与始末位置有关，与路径无关。LlF0d或F保守力保守力功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力叫做无关，这类力叫

51、做保守力保守力。不具备这种性质的力叫做。不具备这种性质的力叫做非非保守力保守力。保守力保守力 520 xyabcm在重力在重力P 的作用下从的作用下从a-b-c，重力重力P 作的功作的功。P 21yycaymgAAddy1y2h如果质点沿如果质点沿a-d-c下落，计算过程与结果与此完全一样。下落，计算过程与结果与此完全一样。d重力作功与始末位置有关，与路径无关重力作功与始末位置有关，与路径无关。如果如果m：c-b-a，所以，所以，adcba一周，一周，LlPA0d重力势能重力势能, (, (重力势能重力势能重力作功）重力作功）rPAddrdymgrPdcosdmghyymg)(12mghAco

52、sddry任取一中间元过程任取一中间元过程53弹性势能（弹性力作功）弹性势能（弹性力作功）x0mkm：x1x2弹性力弹性力2121221dAxxxxkxxkx势能与保守力作功的一般关系：势能与保守力作功的一般关系：保守力作正功，势能减少。保守力作正功，势能减少。保守力作负功（外力反抗保守力作功），势能增加。保守力作负功（外力反抗保守力作功），势能增加。pEA弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。22212121kxkxkxF541f2f2dr系统中一对内力的功系统中一对内力的功 设有两个质点设有两个质点1和和2，质量分别为，

53、质量分别为m1和和m2，f1为质点为质点1受到质点受到质点2的作用的作用力，力，f2为质点为质点2受到质点受到质点1的作用力，它们是一对作用力和反作用力。的作用力，它们是一对作用力和反作用力。思考思考: :这样一对内力的功与参照系有关吗这样一对内力的功与参照系有关吗? ?1m2m01r2r1dr2211dddrfrfA021 ff)d(dd122rrfA)d(122rrf12rr122drf dt 时间质点时间质点2对质点对质点1的相对位移的相对位移12dr 由此可见，一对作用力与反作用力所作由此可见，一对作用力与反作用力所作的总功只与作用力的总功只与作用力f2及相对及相对位移位移dr12有关

54、。有关。表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功 具有与参考系选择无关的不变性质。具有与参考系选择无关的不变性质。55引力势能引力势能 ( (计算一对万有引力的功计算一对万有引力的功) )rFAddrrmMGdcos20rrrd)cos(dcosdrrmMGAdd20barrAAdbarrrrmMGd20)11(0barrmMG由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。有关，与具体路径无关。rFrrdmbbraarOMrdrd 两个物体的质量分别为两个物体的质量分别为M和和m，它们之间有

55、万有引力作用。，它们之间有万有引力作用。这一这一对万有引力作功之和只取决于它们间的相对运动，选择不同的坐标系对万有引力作功之和只取决于它们间的相对运动，选择不同的坐标系计算这一对力作功之和都会得出相同的结果。计算这一对力作功之和都会得出相同的结果。M 静止，以静止，以M为原点为原点O建立坐标系，研究建立坐标系，研究m 相对相对M 的运动。的运动。56o)(hEphhEpEHHE重力势重力势能能kEpEE)(xEpxABo弹性势能弹性势能xpEEo0kEkEpE引力势能引力势能势能曲线势能曲线57势能曲线的作用：势能曲线的作用：pppEEEA)(12pEAddxFAxddxEFpxdd保守力沿某

56、坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值。(1)(1)根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。(2)(2)利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。小和方向。例：双原子分子势能曲线例：双原子分子势能曲线 rEp r0or = r0时，时， 0ddrEP有有 fr = 0平衡位置平衡位置r r0时，时， 0ddrEP有有 fr 0，指向指向r的减小方向，是引力。的减小方向，是引力。 r 0，指向指向r增大的方向，是斥力。增大的方向，是斥力。5

57、8123外力外力外力外力外力外力内力内力内力内力内力内力内力和外力内力和外力内力：系统内各质点之间的相互作用力。内力：系统内各质点之间的相互作用力。N个质点组成系统个质点组成系统质点组。质点组。对第对第i个质点：个质点：21222121iiiiimmAvv内外式中，iiiAAA( i =1,2,3N )把把 N 个方程加起来个方程加起来: :NiiNiiNiiAAA111内外NiiiNiiimm1211222121vv4. 4. 质点组的动能定理质点组的动能定理0kkEEAA内外所有所有外力外力作的功与所有作的功与所有内力内力作的功的代数和等于系统总动能的增量作的功的代数和等于系统总动能的增量

58、 质点组的动能定理质点组的动能定理. .590kkEEAAA非保守内力保守内力外力）(0PPEEA保守内力)()(00ppkkEEEEAA非保守内力外力内力：保守内力或非保守内力。内力：保守内力或非保守内力。0kkEEAA内外质点组的动能定理质点组的动能定理)(0EEAA非保守内力外力）机械能令(pkEEE系统系统外力外力与与非保守内力非保守内力作功之和等于系统机械能的增量作功之和等于系统机械能的增量 功能原理功能原理00EAA，若非保守内力外力机械能守恒定律：机械能守恒定律：如果如果一个系统内只有保守内力做功一个系统内只有保守内力做功，或者，或者非非保守内力与外力的总功为零保守内力与外力的总

59、功为零，则系统内各物体的动能和势能可，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。守恒定律。60m势能零点势能零点（地面附近）（地面附近）质点系重力势能的计算质点系重力势能的计算cchimihiiiPghmEiiihmgmhmhiiiccPmghE例：均质细棒的重力势能例：均质细棒的重力势能总长总长 l，总质量总质量 mlhc212mglEP势能零点势能零点cMymyiiic61运用功能原理解题步骤运用功能原理解题步骤:(1)(1)确定研究对象确定研究对象“系统系统”（保守力的施力体划在系统内

60、）（保守力的施力体划在系统内）; ;(2)(2)分析系统所受的力及力所做的功；分析系统所受的力及力所做的功；(3)(3)选择惯性系建坐标；选择惯性系建坐标；(4)(4)选择零势能点；选择零势能点；(5)(5)计算始末态的机械能及各力所做的功计算始末态的机械能及各力所做的功; ;(6)(6)应用功能原理列方程解方程应用功能原理列方程解方程 。62kmv0mgNfF解：解： 以小球和弹簧作为系统，所受外以小球和弹簧作为系统，所受外力为重力力为重力mg、支持力、支持力N、摩擦力、摩擦力f 和固和固定端对弹簧的拉力定端对弹簧的拉力F。在小球运动过程中只有摩擦力作负功，在小球运动过程中只有摩擦力作负功，