通信原理—随机过程5讲(新)知识讲解

1、统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58通信原理通信原理随机过程随机过程5讲讲(新新)统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58余因子u对一个 矩阵 A，在 (i,j) 的子行列式（余子式） Mij 定义为删掉 A 的第 i 横行与第 j 纵列后得到的行列式。令 Cij: = ( 1)i + jMij， 称为 A 在 (i,

2、j) 的余因子（代数余子式）。统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58余因子范例统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58由式可以看出由式可以看出, 高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的数个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定

3、。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。若干个高斯过程之和仍是高斯过程。若干个高斯过程之和仍是高斯过程。高斯随机过程重要性质高斯随机过程重要性质 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58222)(exp21)(axxff(x)具有如下特性

4、具有如下特性 (1) f(x)对称于对称于x=a这条直线。这条直线。 (2)21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf正态分布的概率密度正态分布的概率密度f (x)12Oax一维高斯随机过程一维高斯随机过程 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58一维高斯随机过程一维高斯随机过程u（3）a表示分布中心， 表示集中程度，f(x)图形将随着 的减小而变高和变窄。u当a=0， 时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。 1正态分布函数正态分布函数 正态分布函数是

5、概率密度函数的积分，即正态分布函数是概率密度函数的积分，即统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u式中，式中， 称为称为概率积分函数概率积分函数，其定义为，其定义为 u上式积分不易计算，常引入误差函数和互补上式积分不易计算，常引入误差函数和互补误差函数表示正态分布误差函数表示正态分布( )x21( )exp22xzxdz一维高斯随机过程一维高斯随机过程统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概

6、念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58误差函数和互补误差函数误差函数和互补误差函数互补误差函数互补误差函数误差函数误差函数统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u引入误差函数和互补误差函数后，不难求得引入误差函数和互补误差函数后，不难求得u 11(),222( )11(),22xaerfxaF xxaerfcxa当时当时u误差函数、互补误差函数和概率积分函数之误差函数、互补误差函数和概率积分函数之间的关系如下间的关系如下:

7、 : u u ( )2 ( 2 ) 1erf xx( )22 ( 2 )erfc xx误差函数和互补误差函数误差函数和互补误差函数统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58这种噪声被称为这种噪声被称为白噪声白噪声，它是一个理想的宽带随机过，它是一个理想的宽带随机过程。式中程。式中n n0 0为一常数，单位是瓦为一常数，单位是瓦/ /赫。显然，白噪声赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即的自相关函数可借助于下式求得，即信号在信道中传输时，常会遇到这样一

8、类噪声，它的信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在=0=0时才相关，而它在任意两时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。个时刻上的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声高斯白噪声统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58P()0f0n02n02R白噪声的功率谱和自相关函数白噪声的功率谱和自相关函数高斯白噪声高斯白噪声统计特性和

9、数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58 如果如果白噪声白噪声又是又是高斯分布高斯分布的，我们就称之为高斯的，我们就称之为高斯白噪声。白噪声。 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。 应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱

10、均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。我们就可以把它视为白噪声。高斯白噪声高斯白噪声功率谱功率谱角度角度概率分概率分布角度布角度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58随机过程通过线性系统只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理

11、的基础之上的。号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应我们知道，线性系统的响应v vo o(t)(t)等于输入信号等于输入信号v vi i(t)(t)与系统的单位冲激响应与系统的单位冲激响应h(t)h(t)的卷积，即的卷积，即dthvthtvtvii)()()()()(0),()(),()(),()(00HthVtvVtvii若若则有则有)()()(0iVHV统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58若输入信号有界且线性系统是物理可实现的

12、，则若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则dthvtvti)()()(0或或dtvhtvi)()()(00 如果把如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程过程i(t)的每个样本与输出过程的每个样本与输出过程o(t)的相应样本之间的相应样本之间都满足上式的关系。都满足上式的关系。 这样，就整个过程而言，便有这样，就整个过程而言，便有dthti)()()(00随机过程通过线性系统统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析

13、平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58思考：u平稳随机过程通过线形系统时，系统输出平稳随机过程通过线形系统时，系统输出数学期望和输入数学期望之间有什么关系？数学期望和输入数学期望之间有什么关系？统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58假定输入假定输入i(t)是平稳随机过程，是平稳随机过程， 则可以分析系统的输则可以分析系统的输出过程出过程o(t)的统计特性。的统计特性。随机过程通过线性系统00000

14、0( )( )()( )( )()()( )( )()( )iiiiithtdEtEhtdEtEtahEtdahd 1. 输出过程输出过程o(t)的数学期望的数学期望000( )( )(0)( )( )(0)jtHh t edtHh t dtEta H 由此可见由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与的乘积，且与t无关。无关。 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/241

15、9:58思考：u平稳随机过程通过线形系统时，系统输出平稳随机过程通过线形系统时，系统输出自相关函数是否与时间起点有关？自相关函数是否与时间起点有关？统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58011010111001100( ,)( )()( )()( )()( ) ( )()()iiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d 可见可见, o(t)的自相关函数只依赖时间间隔的自相关函数只依赖时间间隔而与时间而与时间起点起点t1无关。由以上输出过程的数学期

16、望和自相关函无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。过程也是平稳的。2. 输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 )()()(11iiiRttE011000( ,)( ) ( )()( )iR t thhRd dR 随机过程通过线性系统统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58思考：u平稳随机过程通过线形系统时，系统输出平稳随机过程通过线形系统

17、时，系统输出功率谱密度和输入功率谱密度之间有什么功率谱密度和输入功率谱密度之间有什么关系？关系？统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:583. 输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度deddRhhdeRPjij 0000)()()()()(可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与与系统功率传输函数系统功率传输函数|H()|2的乘积。的乘积。随机过程通过线性系统)()()()()()(20iiPHPHHPde

18、RdehdehPjwijj000)()()()(统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58从原理上看，在已知输入过程分布的情况从原理上看，在已知输入过程分布的情况dthti)()()(00总可以确定输出过程的分布。总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极因

19、为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即限，即kkkkihttk)()(lim)(0004. 输出过程o(t)的概率分布随机过程通过线性系统统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58 由于由于i(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项的每项 都是一个高斯随机变量。都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。是无限多个

20、高斯随机变量之和。 由概率论得知，这个由概率论得知，这个“和和”的随机变量也是高斯的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。出过程仍为高斯过程。 更一般地说，更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了输出过程的数字特征已经改变了。 kkkiht)()(随机过程通过线性系统统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机

21、过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u例例 均值为均值为0，自相关函数为，自相关函数为 的高斯过程，的高斯过程，通过通过 （A、B为常数）的网络，为常数）的网络，试求：试求：u（1）输出过程的一维概率密度函数；）输出过程的一维概率密度函数；u（2）输入过程的一维概率密度函数；）输入过程的一维概率密度函数；u（3）输出过程的噪声功率。）输出过程的噪声功率。e( )( )Y tABX t统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子

22、技术系电子技术系2022/5/2419:58u（1）输入过程）输入过程 均值为均值为0， ，所，所以是宽平稳随机过程，它的总平均功率，即方以是宽平稳随机过程，它的总平均功率，即方差差 ，所以可以直接，所以可以直接写出写出 的一维概率密度函数为的一维概率密度函数为( )X t( )xRe22( )(0)( )1xD X tRE Xt( )X t2/21( )2xxfxe( )X t( )( )Y tABX t22() /21( )2yyy ayyfye ( )( )yaE Y tE BX tAA222 ( )( )( )yD Y tD ABX tB D X tB（2）因为）因为为高斯过程，所以为

23、高斯过程，所以也是高斯过程。则也是高斯过程。则其中，均值其中，均值 方差方差统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u这样随机过程这样随机过程 的一维概率密度函数为的一维概率密度函数为 tY22() /21( )2y AByfyeB tY22222( ) ( )YySE YtE Y tAB（3）的噪声功率的噪声功率 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子

24、技术系2022/5/2419:58随机过程通过乘法器 u在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通信系统中应用非常广泛，下面我们法器在通信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程通过乘法器后，输出过程计算平稳随机过程通过乘法器后，输出过程的功率谱密度。的功率谱密度。u 思考：平稳随机过程通过乘思考：平稳随机过程通过乘法器后，输出过程是否仍是法器后，输出过程是否仍是平稳随机过程呢？平稳随机过程呢？统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系202

25、2/5/2419:58图图2-102-10平稳随机过程通过乘法器平稳随机过程通过乘法器统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u设一平稳随机过程设一平稳随机过程 和正弦波信号和正弦波信号 同时通过乘法器，则其输出响应为同时通过乘法器，则其输出响应为 u首先计算输出过程的自相关函数。由自相关首先计算输出过程的自相关函数。由自相关函数的定义得函数的定义得 ( )it0cost统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机

26、过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u上式中，上式中， 是输入是输入平稳随机过程的自相关函数，它只与时间平稳随机过程的自相关函数，它只与时间间隔间隔 有关。但由上式可知有关。但由上式可知 是时间是时间t t的函数，故乘法器的输出过程不是的函数，故乘法器的输出过程不是平稳随机过程。平稳随机过程。( )( ) ()iiiREtt( ,)oR t t统计特性和数字特征高斯

27、随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u为了求输出过程的功率谱，上式中第一项可为了求输出过程的功率谱，上式中第一项可按常规的傅里叶变换得到功率谱密度，但第按常规的傅里叶变换得到功率谱密度，但第二项却包含有二项却包含有 和和t t两种时间变量，它的功两种时间变量，它的功率谱与率谱与t t有关，这种与有关，这种与t t有关的动态谱分析比有关的动态谱分析比较复杂，这里介绍一种求非平稳随机过程功较复杂，这里介绍一种求非平稳随机过程功率谱的近似方法。率谱的近似方法。统计特性和数字特征高斯

28、随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u 对于非平稳随机过程，其功率谱密度可表示对于非平稳随机过程，其功率谱密度可表示为为 u u式中，式中， 是输出过程自相关函数的时是输出过程自相关函数的时间平均值，所以间平均值，所以0( ,)R t t统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u又由于又由于 u 而而 的傅里叶变换就是乘法器输的傅里叶变换就

29、是乘法器输出响应的功率谱。即出响应的功率谱。即u 000( )1cos()()()24iiiRPP 0( ,)R t t0001( )()()4iiPPP统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u 例例 随机过程随机过程 ，这里，这里 是均值为是均值为a a、方差为、方差为 的高斯随机变量，试的高斯随机变量，试求：求：u（1 1） 及及 的两个一维概率密度；的两个一维概率密度；u（2 2）X(t)X(t)是否宽平稳；是否宽平稳；u（3 3）X(t)X(t)的

30、功率谱；的功率谱；u（4 4）X(t)X(t)的平均功率。的平均功率。( )cosX tt20( )|tX t1( )|tX t统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u解：解：u（1 1） ，由题意知，由题意知， 是均值为是均值为a a、方差为、方差为 的高斯随机变量，的高斯随机变量，则则0( )|(0)tX tX2统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电

31、子技术系2022/5/2419:58u同理，同理， 则则u（2 2）由（）由（1 1）的结果表明，）的结果表明，X(t)X(t)在在t=0t=0和和t=1t=1时均值不同，所以，其均值与时均值不同，所以，其均值与t t有关，不是常有关，不是常数。数。u下面再求的下面再求的X(t)X(t)自相关函数，即自相关函数，即1( )|(1)tX tX 1221()( )exp22Xxafx统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u可见，可见，X(t)X(t)的自相关函

32、数是的自相关函数是t t和和 的函数。综合（的函数。综合（1 1）和（和（2 2）的结果知，）的结果知，X(t)X(t)不是宽平稳随机过程。不是宽平稳随机过程。u（3 3）为求）为求X(t)X(t)的功率谱，先对由（的功率谱，先对由（2 2）求出的自相）求出的自相关函数进行时间平均，即关函数进行时间平均，即统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58u u然后对上结果进行傅里叶变换，求出X(t)的功率谱为u 平均功率为平均功率为统计特性和数字特征高斯随机过程 随

33、机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58例例 带限白噪声。试求功率谱密度为带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为可见，输出噪声的功率谱密度在可见，输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的，内是均匀的， 在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声。声。带限白噪声统

34、计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58带限白噪声其自相关函数为其自相关函数为由此可见，带限白噪声只有在由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。即，如果对带上得到的随机变量才不相关。即，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。相关的随机变量。200(0)oHRK n f带限白噪声的平均功率：带限白噪声的平均功率：统计特性和数字特征高斯随机过

35、程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58带限白噪声的功率谱和自相关函数fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2带限白噪声统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58窄带随机过程随机过程通过以随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带随机过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度是窄带随机

36、过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且，且fc远离零频率的系统。远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()(统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2

37、022/5/2419:58窄带过程的频谱和波形示意窄带随机过程统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58 a(t)及及(t)分别是分别是(t)的随机包络和随机相位，的随机包络和随机相位，c(t)及及s(t)分别称为分别称为(t)的同相分量和正交分量，的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。 (t)的统计特性可由的统计特性可由a(t)，(t)或或c(t

38、),s(t)的统计的统计特性确定。反之，如果已知特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确的统计特性则可确定定a(t),(t)以及以及c(t)，s(t)的统计特性。的统计特性。 窄带随机过程统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:581 同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 设窄带过程设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，是平稳高斯窄带过程，且且 均值为零，方差为均值为零，方差为 。 可以证明它的同相分量可以证明它的同相分量c(t)和正交分量和正交

39、分量s(t)也也是零均值的平稳高斯过程，而且与是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方具有相同的方差。差。 20)(0)(0)(tEtEtEsc2222sc此外，在同一时刻上得到的此外，在同一时刻上得到的c和和s是互不相关的或是互不相关的或统计独立的。统计独立的。 窄带随机过程统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:582 包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性一个均值为零，方差为一个均值为零，方差为 的窄带平稳高斯过程的窄带平稳高斯过程(t)，其包络

40、其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与与(t)是统计独立的是统计独立的，即有下式成立：20,2exp)(222aaaaf20,21)(f窄带随机过程瑞利分布瑞利分布统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电子技术系电子技术系2022/5/2419:58正弦波加窄带高斯噪声信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响

41、，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。的统计特性。)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()(22)(, 0)(ntnEtnE正弦波有用信号正弦波有用信号窄带高斯噪声统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小