第2章 数制与编码

1、EXIT数制数制第第2 2章章 数制与编码数制与编码本章小结本章小结编码编码原码、反码和补码原码、反码和补码 掌握进位计数制掌握进位计数制 了解八进制和十六进制了解八进制和十六进制 掌握十进制数和二进制数掌握十进制数和二进制数 掌握不同进制数之间的相互转换掌握不同进制数之间的相互转换2.1 几种常用数制几种常用数制 计数的方法计数的方法 ( (一一) ) 十进制十进制 ( (Decimal) ) (xxx)10 或或 (xxx)D 例如例如( (3176.54) )10 或或( (3176.54) )D 数码：数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、91101 1100 510- -1 11

2、0- -2权权 权权 权权 权权 数码所处位置不同时，所代表的数值不同数码所处位置不同时，所代表的数值不同 ( (11.51) )10 进位规律：逢十进一，借一当十进位规律：逢十进一，借一当十10i 称十进制的权称十进制的权 10 称为基数称为基数 0 9 十个数码称系数十个数码称系数数码与权的乘积，称为加权系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式 (3176.54)10 = 3103 + 1102 + 7101 + 6100 + 510- -1 + 410- -2一、数制一、数制 基数和位权基数和位权 系

3、数系数位权位权 例如例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1 ( (二二) ) 二进制二进制 ( (Binary) ) (xxx)2 或或 (xxx)B 例如例如 (1011.11)2 或或 (1011.11)B 数码：数码：0、1 进位规律：逢二进一，借一当二进位规律：逢二进一，借一当二 权：权：2i 基数：基数：2 系数：系数：0、1 按权展开式表示按权展开式表示 (1010.11)2 = 123 + 022 + 121 + 020 + 12- -1 + 12- -2 将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数将按权展开式按照十进制规

4、律相加，即得对应十进制数。= 8 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0.25 (1010.11)2 = (10.75)10 = 10.75 (1010.11)2 = 123 + 022 + 121 + 020 + 12- -1 + 12- -2 ( (三三) ) 八进制和十六进制八进制和十六进制 进制进制数的表示数的表示计数规律计数规律 基数基数 权权 数码数码八进制八进制 ( (Octal) ) (xxx)8 或或(xxx)O逢八进一，借一当八逢八进一，借一当八 8 0 7 8i 十六进制十六进制( (Hexadecimal) ) (xxx)16 或或(xxx)H 逢十六进一，借一当十

5、六逢十六进一，借一当十六 16 0 9、A、B、C、D、E、F 16i例如例如 (437.25)8 = 482 + 381 + 780 + 28- -1 + 58- -2 = 256 + 24 + 7 + 0.25 + 0.078125 = (287.328125)10 例如例如(3BE.C4)16 = 3162 + 11161 + 14160 + 1216- -1 + 416- -2 = 768 + 176 + 14 + 0.75 + 0.015625 = (958.765625)10 二、不同数制间的关系与转换二、不同数制间的关系与转换 对同一个数的不同计数方法对同一个数的不同计数方法 (

6、 (一一) ) 不同数制间的关系不同数制间的关系 二、不同数制间的关系与转换二、不同数制间的关系与转换 不同数制之间有关系吗？不同数制之间有关系吗？十进制、二进制、八进制、十六进制对照表十进制、二进制、八进制、十六进制对照表770111766011065501015440100433001132200102 11000110000000 十六十六八八二二 十十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A12101010 9111001981010008 十六十六八八二二 十十返回返回 ( (二二) ) 不同数制间的转换不同数制间的转换 1. 各种

7、数制转换成十进制各种数制转换成十进制 按权展开求和按权展开求和【例【例2-1】将二进制（】将二进制（1010.11）2转换成十进制数。转换成十进制数。1311221010(1010.11)21 21 21 21 2(820.50.25)(10.75)niiima 解：解： 【例【例2-2】将十六进制（】将十六进制（A6.4）16转换成十进制数。转换成十进制数。解：解： 1101161616( 6.4)16166 164 16(16060.25)(166.25)niiimAaA ( (二二) ) 不同数制间的转换不同数制间的转换 2. 十进制数转换为十进制数转换为R进制数进制数 任意一个十进制数

8、任意一个十进制数N可以由整数部分和小数部分可以由整数部分和小数部分构成，设整数部分为构成，设整数部分为N1，小数部分为，小数部分为N2，则，则 （N）10 =（N）R =（N1）10 +（N2）101122110122112012()ninninnimmmNa RaRaRa Ra Raa Ra RaR整数部分：整数部分： 12211 1012210()nnnnNaRaRa Ra Ra小数部分：小数部分： 12(1)2 1012(1)()mmmmNa Ra RaRaR对于整数部分：对于整数部分： 两边同时除以两边同时除以R基数，得余数为基数，得余数为 ，整数部分为，整数部分为 0a2311221

9、nnnnaRaRa Ra再除以再除以R 基数，其余数为基数，其余数为 ，整数部分则为，整数部分则为 1a3411232nnnnaRaRa Ra 以此类推，可以得到进制整数部分的所有数以此类推，可以得到进制整数部分的所有数码码 （i=0,1,2,n-1） iaR 该方法为该方法为除以除以 取余法取余法，逆序排列逆序排列，其中，其中 为为基数。以此方法，可将十进制的整数转换成任意进基数。以此方法，可将十进制的整数转换成任意进制的整数。制的整数。R对于小数部分：对于小数部分： 等式两边同时乘以基数等式两边同时乘以基数 ，得整数部分为，得整数部分为 ，小数部分为小数部分为 R1a12(2)123(1)

10、mmmma Ra RaRaR再乘以基数再乘以基数 ，得整数部分为，得整数部分为 ，小数部分则为，小数部分则为2aR12(3)234(1)mmmma Ra RaRaR 这样，可以得到进制小数部分的所有数码这样，可以得到进制小数部分的所有数码（i=0,1,2,n-1），），ia 如果乘以到最后，还有小数存在，可根据转换如果乘以到最后，还有小数存在，可根据转换误差要求设定位数。误差要求设定位数。 R该方法为该方法为乘以乘以 取整法取整法，顺序排列顺序排列。1.500 1 整数整数0.750 0 ( (二二) ) 不同不同数制数制间的转换间的转换 3. 十进制转换为二进制十进制转换为二进制 例例2-3

11、 将十进制数将十进制数 (27.375)10 转换成二进制数转换成二进制数 27 6 1 3 01 10 12(26 )10 = (11011 ) 2 2 21.000 1.37522220.375 2一直除到商为一直除到商为 0 为止为止 余数余数 13 1整数和小数分别转换整数和小数分别转换 整数部分：除整数部分：除 2 取余法取余法 小数部分：乘小数部分：乘 2 取整法取整法读读数数顺顺序序读读数数顺顺序序 .011( () ) %1 . 039. 0 10 。到到精度达精度达转换成二进制数，要求转换成二进制数，要求将十进制小数将十进制小数【例【例2-4】 解由于精度要求达到解由于精度要

12、求达到0.1%，因，因 1/210=1/1024 ，所以，需，所以，需要精确到二进制小数要精确到二进制小数10位。位。 0.392 = 0.78 b-1= 00.782 = 1.56 b-2= 10.562 = 1.12 b-3= 10.122 = 0.24 b-4= 00.242 = 0.48 b-5= 00.482 = 0.96 b-6 = 00.962 = 1.92 b-7 = 10.922 = 1.84 b-8 = 10.842 = 1.68 b-9 = 10.682 = 1.36 b-10= 1所以所以( () )( () )210 0110001111. 039. 0 ( () )

13、53 10转换成八进制数。转换成八进制数。将十进制数将十进制数【例例2-5】解由于八进制数基数为解由于八进制数基数为8，所以逐次除以，所以逐次除以8取其余数：取其余数：8 88 8商商余数余数所以所以( () )( () )810 6553 【例【例2-6】试将（】试将（63）10 十进制数转换成十六进制数。十进制数转换成十六进制数。解由于十六进制数基数为解由于十六进制数基数为16，所以逐次除以，所以逐次除以16取其余数：取其余数：63/16=3 余数为余数为15（F） = F 3/16=0 余数为余数为3 = 3所以，（所以，（63）10 =（3F）160a1a 每位八进制数用三位二进每位八

14、进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列。制数代替，再按原顺序排列。八进制八进制二进制二进制4. 二进制与八进制间的相互转换二进制与八进制间的相互转换 二进制二进制八进制八进制(11100101.11101011)2 = (345.726)8 (745.361)8 = (111100101.011110001)2 补补0(11100101.11101011)2 = ( ? )8 11100101.11101011 00 345726 从小数点开始，整数部分向左从小数点开始，整数部分向左 ( (小数部分向右小数部分向右) ) 三位一组三位一组，最后，最后不不足三位的加足三位的加 0 补足补足三位

15、，再按顺序三位，再按顺序写出各组对应的八进制数写出各组对应的八进制数 。补补011100101 11101011去关系对照表去关系对照表 一位十六进制数对应一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进四位二进制数，因此二进制数四位为一组。制数四位为一组。5. 二进制和十六进制间的相互转换二进制和十六进制间的相互转换 (10011111011.111011)2= (4FB.EC)16 (3BE5.97D)16 = (11101111100101.100101111101)2 补补 0(10011111011.111011)2 = ( ? )16 10011111011.11101100 4FBEC0

16、 十六进制十六进制二进制二进制 :每位十六进制数用四位二进每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。制数代替，再按原顺序排列。二进制二进制十六进制十六进制 : 从小数点开始，整数部分从小数点开始，整数部分向向左左( (小数部分向右小数部分向右) ) 四位一组四位一组，最后最后不足四位的加不足四位的加 0 补足补足四位，四位，再按顺序写出各组对应的十六进再按顺序写出各组对应的十六进制数制数 。补补 010011111011 111011 利用二进制数作桥梁，可利用二进制数作桥梁，可以方便地将十进制数转换为十以方便地将十进制数转换为十六进制数。六进制数。理解理解 BCD 码的含义，熟练掌握

17、码的含义，熟练掌握 8421BCD 码码，了解其他常用，了解其他常用 BCD 码。码。理解二进制码和可靠性代码，掌握奇理解二进制码和可靠性代码，掌握奇偶校验码和格雷码的构成。偶校验码和格雷码的构成。2.2 编码编码 例如例如 ：用四位二进制数码表示十进制数：用四位二进制数码表示十进制数 0 90000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 40101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9将若干个二进制数码将若干个二进制数码 0 和和 1 按一定规则排按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称二进制

18、码码，简称二进制码。用数码的特定组合表示特定信息的过程称编码用数码的特定组合表示特定信息的过程称编码 二进制代码二进制代码 常用二进制代码常用二进制代码 自然二进制码自然二进制码 二二 - - 十进制码十进制码 格雷码格雷码 奇偶检验码奇偶检验码 ASCII 码码 ( (美国信息交换标准代码美国信息交换标准代码) ) 例如：用三位自然二进制码表示十进制数例如：用三位自然二进制码表示十进制数 0 7： 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 ( (一一) ) 自然二进制码自然二进制码 按自然数顺序排按自然数顺序排列的二进制码列的二进制码 (

19、二二) 二二-十进制代码十进制代码 表示十进制数表示十进制数 0 9 十十个数码的二进制代码个数码的二进制代码 ( (又称又称 BCD 码码 即即 Binary Coded Decimal) ) 1 位十进制数需用位十进制数需用 4 位二进制数表示，位二进制数表示，故故 BCD 码为码为 4 位。位。 4 位二进制码有位二进制码有 16 种组合，表示种组合，表示 0 9十个数十个数可有多种方案，所以可有多种方案，所以 BCD 码有多种码有多种。 通常，一种编码的长度通常，一种编码的长度n n不仅与要编码的信息个数不仅与要编码的信息个数m m有关，有关， 而且与编码本身所采用的符号个数而且与编码

20、本身所采用的符号个数k(k(模模) )也有关系。也有关系。n n、m m和和k k之间一般满足下面的关系：之间一般满足下面的关系：kn-1mkn 编码种类十进制数有权码无权码8421码2421码5421码5121码1215码余三码移存码00000000000000000000000110001100010001000100010010010000102001000100010001001000101010030011001100110110011001101001401000100010001111110011100115010110111000100000011000011160110110

21、010011100001110011111701111101101010101011101011108100011101011101111011011110091001111111001111111111001000表表2-2 常见的常见的BCD代码代码权为权为 8、4、2、1取四取四位自位自然二然二进制进制数的数的前前 10 种组种组合，合，去掉去掉后后 6 种组种组合合 1010 1111用用 BCD 码表示十进制数举例码表示十进制数举例： (36)10 = ( )8421BCD (4.79)10 = ( )8421BCD (01010000)8421BCD = ( )10 注意区别注意区

22、别 BCD 码与数制：码与数制： (150)10 = (000101010000)8421BCD = (10010110)2 = (226)8 = (96)16 6 0110 3 0011 4. 0100.7 01119 10010101 50000 0（三）（三） 可靠性代码可靠性代码 奇偶校验码奇偶校验码 组成组成 信信 息息 码码 ： 需要传送的信息本身。需要传送的信息本身。 1 位校验位：取值为位校验位：取值为 0 或或 1，以使整个代码，以使整个代码 中中“1”的个数为奇数或偶数。的个数为奇数或偶数。 使使“1”的个数为奇数的称奇校验，为偶数的称偶校验。的个数为奇数的称奇校验，为偶数

23、的称偶校验。 8421 奇偶校验码奇偶校验码 01 0 0 111 0 0 1911 0 0 001 0 0 0810 1 1 100 1 1 1700 1 1 010 1 1 0600 1 0 110 1 0 1510 1 0 000 1 0 0400 0 1 110 0 1 1310 0 1 000 0 1 0210 0 0 100 0 0 1100 0 0 010 0 0 00校校 验验 码码信信 息息 码码校校 验验 码码信信 息息 码码8421 偶偶 校校 验验 码码8421 奇奇 校校 验验 码码十进制数十进制数十进制数十进制数0123456789101112131415格雷码格雷

24、码( (Gray 码码，又称循环码又称循环码) ) 最低位以最低位以 0110 为循环节为循环节次低位以次低位以 00111100 为循环节为循环节第三位以第三位以 0000111111110000 为循环节为循环节.特点特点: :相邻项或对称项只有相邻项或对称项只有一位一位不同不同典型格雷码构成规则典型格雷码构成规则 ：0110011001100110001111000011110000001111111100000000000011111111表表2-3四位二进制数与四位格雷码的对照关系四位二进制数与四位格雷码的对照关系十进制十进制二进制数二进制数格雷码格雷码000000000100010

25、001200100011300110010401000110501010111601100101701110100810001100910011101101010111111101111101211001010131101101114111010011511111000了解原码、反码和补码的基本概念了解原码、反码和补码的基本概念2.3原码、反码和补码原码、反码和补码了解原码、反码和补码的作用了解原码、反码和补码的作用 将带符号数将带符号数N N的数值部分用二进制数表示，的数值部分用二进制数表示， 符号部分符号部分用用0 0表示表示“+”+”， 用用1 1表示表示“-”-”，形成的一组二进制数叫

26、做，形成的一组二进制数叫做原带符号数的原码。原带符号数的原码。 n n 位二进制原码所能表示的十进制数范围为位二进制原码所能表示的十进制数范围为: : -(2 -(2 n-1n-1-1)-1)+(2+(2n-1n-1-1)-1)原码原码N为正数时，为正数时，N的原码就是的原码就是N的本身。的本身。N为负数时，为负数时，N的原码和的原码和N的区别是增加一的区别是增加一位用位用1表示的符号位表示的符号位在原码表示中，有两种不同形式的在原码表示中，有两种不同形式的0（0）原原0.000 （0）原原1.0002.3.1 三种机器数（原码、反码和补码）三种机器数（原码、反码和补码）反码反码例： N1 =

27、 +1000100， N2 = 1000100 则则 N1原=01000100 N2原=11000100 N1反=01000100 N2反=10111 01 1正数正数N的反码与原码相同的反码与原码相同对于负数对于负数N，其反码的符号位为，其反码的符号位为1，数值部，数值部分是将原码数值按位取反分是将原码数值按位取反在反码表示中，在反码表示中，0的表示有两种不同的形式的表示有两种不同的形式（0）反反0.000（0）反反1.111例 N1=+1000100， N2= 1000100 则N1原=01000100 N2原=11000100 N1反=01000100 N2反=10111011 N1补=

28、01000100 N2补=10111100补码补码（又称为（又称为“对对2的补数的补数”） 对于正数，补码与原码相同对于正数，补码与原码相同 对于负数，符号位仍为对于负数，符号位仍为1 1，但二进制数值部分要按位取，但二进制数值部分要按位取反反, ,末位加末位加1 1。 在补码表示法中，在补码表示法中，0 0的表示形式是唯一的的表示形式是唯一的（0）补补0.000（0）补补0.000 例如，例如，X = (-0.110101)2的的8位二进制原码和补码分别表示为位二进制原码和补码分别表示为 X原原 = 1.1101010)2 X补补 = (1.0010110)2 注意当带符号数为纯小数时，注意

29、当带符号数为纯小数时， 原码或补码的符号位位原码或补码的符号位位于小数点的前面，原来小数点前面的于小数点的前面，原来小数点前面的 0 不再表示出来。不再表示出来。常用的计数进制有十进制、二进制、八进制和常用的计数进制有十进制、二进制、八进制和十六进制。十六进制。 二进制数进位规律是逢二进一，借二进制数进位规律是逢二进一，借 一当二。一当二。其基数为其基数为 2；权为；权为 2i 。 本章小结本章小结二进制代码二进制代码指将若干个二进制数码指将若干个二进制数码 0 和和 1 按一按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码，简定规则排列起来表示某种特定含义的代码，简称二进制码。称二进制码。 二进制数

30、二进制数十进制数十进制数方法：按权展开后求和。方法：按权展开后求和。 十进制数十进制数二进制数二进制数方法方法：整数：整数“除除 2 取余取余”法，法， 小数小数“乘乘 2 取整取整”法。法。写出转换结果时需注意读数的顺序。写出转换结果时需注意读数的顺序。 BCD 码指用以表示十进制数码指用以表示十进制数 0 9 十个数码的十个数码的二进制代码二进制代码 。 十进制数与十进制数与 8421 码对照表码对照表 十进十进制数制数8421 码码十进十进制数制数8421 码码十进十进制数制数8421 码码十进十进制数制数8421 码码十进十进制数制数8421 码码00000200104010060110810001000130011