第二章 系统的数学模型

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 主要主要内容内容1. 系统微分方程的建立及非线性方程的线性化系统微分方程的建立及非线性方程的线性化2. 传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数3. 系统传递函数方块图及简化系统传递函数方块图及简化4. 相似原理相似原理控制理论的研究对象：控制理论的研究对象： 系统、输入、输出三者之间的系统、输入、输出三者之间的动态关系动态关系。 描述系统这种动态关系的是描述系统这种动态关系的是系统的数系统的数学模型学模型， 经典控制理论内经典控制理论内系统的数学模型有两种：系统的数学模型有两种：1、微分方程：微分方程

2、：时域时域 求解困难求解困难 2、传递函数：传递函数：复频域复频域求解方便，便于直接在复频域中研究求解方便，便于直接在复频域中研究 系统的动态特性系统的动态特性 主要内容小节主要内容小节 补充补充自动控制理论的数学基础自动控制理论的数学基础 2-1 系统的微分方程系统的微分方程 2-2 传递函数传递函数2-3 2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化2-5 2-5 传递函数方块图变换传递函数方块图变换自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）一、复数和复变函数一、复数和复变函数复数和复数和复变函数复变函数复数复数

3、复变函数零复变函数零点和极点点和极点复数运算复数运算规则规则自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）复数复数1虚数单位虚数单位2虚虚 数数3复复 数数自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）546一个复数为零一个复数为零 共轭复数共轭复数 复数有多种表示形式复数有多种表示形式 自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）复数的运算规则复数的运算规则两个复数相加（或相减两个复数相加（或相减）1两个复数相两个复数相乘乘2两个复数相两个复数相除除3用矢量表示复数用矢量表示复数1)(111 rs)(222 rs两个复数相两个复数相乘乘2)()(2

4、121221121 rrrrss两个复数相两个复数相除除3)(2121221121 rrrrss自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）复变函数的零点和极点复变函数的零点和极点实部实部j虚部虚部vusGj)(+ +复变函数复变函数= =1复变函数复变函数)()()(2121pspsszszsKsG2复变函数的零、极点表示复变函数的零、极点表示3复变函数的零点复变函数的零点4复变函数的极点复变函数的极点自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）二、拉氏变换二、拉氏变换拉氏变换的定义拉氏变换的定义时时 域域 f(t) 称为称为 原函数原函数 复频域复频域 F(

5、s) 称为称为 象函数象函数1. 双边拉氏变换双边拉氏变换 反变换反变换正变换正变换 )(21)( )()(dsesFjtfdtetfsFstjjst js 复频率复频率f(t)与与F(s)一一 一对应一对应自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充） 反变换反变换正变换正变换 0 )(21)( )()(0tdsesFjtfdtetfsFstjjst 积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限从积分下限从0+ 开始，称为开始，称为0+ 拉氏变换拉氏变换 。dtetfdtetfdtetfsFststst 0000)()( )()(f(t)= (t

6、)时此项时此项 02. 单边拉氏变换单边拉氏变换 f(t) t 0, )自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充） 反变换反变换正变换正变换0 )(21)( )()(0tdsesFjtfdtetfsFstjjst )()()()( 1sFLtftfLsF简写简写F(s)称为称为f(t )的象函数，用大写字母表示的象函数，用大写字母表示 ，如，如 I(s)、U(s)。f(t )为原函数用小写字母表示，如为原函数用小写字母表示，如 i(t ), u(t )。3. 拉氏变换存在条件拉氏变换存在条件 为收敛横坐标。为收敛横坐标。称称可进行拉氏变换，可进行拉氏变换，存在，则存在，则时，

7、若时，若当当000)()( tfdtetft 存存在在。的的拉拉氏氏变变换换衰衰减减函函数数为为，则则，选选如如)(5)(55tfeeetfttt 自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）4 4、常用函数的拉氏变换、常用函数的拉氏变换 01stesdteeeLstatat 00)(1 taseasas 1 0)()(dtetutuLst 0dtest )()(0dtetfSFst)()()1(tutf )()()2(tuetfat jseLtj 1 0)()(dtettLst )()()3(ttf 00)( dtt = 1s1 单边拉氏变换单边拉氏变换自动控制理论的数学基础

8、（补充）自动控制理论的数学基础（补充）0lim stntetnttf )(. 4dtettLstnn 0stnest 0d1 nntLsntL211stLn 当当3222stLn 当当1! nnsntL分部分部积分积分 tetsnstnd01 nststntseestd00 自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）5 5、拉普拉斯变换的基本性质、拉普拉斯变换的基本性质( (一一) )、线性性质、线性性质)()( , )()(2211sFtfLsFtfL 若若 1AL：例例sin 3tL ：例例)()(21tfbtfaL 则则1121 jSjSj )()(21sbFsaF 2

9、2 S)(21tjtjeejL SA )1( 2teAL ：例例)11( ssA欧拉欧拉公式公式 自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）( (二二) )、时域导数性质、时域导数性质)0()()( fssFdttdfLsin1022 tss 22 ss)(sin1cos1tdtdLtL ：例例)(2tL ：例例)(tudtdL 1)(10 tuSS)()(sFtfL 设设：自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）( (三三) )、时域的积分性质、时域的积分性质)(1)(0sFsdfLt tL例例21)(sstuL )(0 tduL )()(sFtfL 设

10、设：( (四四) )、时域平移、时域平移( (延迟定理延迟定理) )f(t)u(t)ttf(t-t0)u(t-t0)t0f(t)u(t-t0)tt0)()()(000sFettuttfLst )()(sFtfL 设设：自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）( (五五) )、 复频域平移性质复频域平移性质 )()( sFtfeLt)()(sFtfL 设设：cos3teLt ：例例22)( ss2)(1 s1tteL ：例例sin2teLt ：例例22)( s自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）1tL：例例)1(ddss 21s )1(dd ss2)(

11、1 s2tteL ：例例( (六六) )、 复频域导数性质复频域导数性质ssFtftLd)(d)( )()(sFtfL 设设：自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）( (七七) ) 初值定理和终值定理初值定理和终值定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理：初值定理：若若Lf(t)=F(s)，且，且f(t)在在t = 0处无冲激则处无冲激则存在时存在时)(limtft )(lim)(lim0ssFtfst 终值定理：终值定理： f(t)，f (t)的导数可进行拉氏变换的导数可进行拉氏变换自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）例例1 1

12、1lim)(0 sstust例例2 tteeti225)( 3)0( i2215)( sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0( ssssssiss自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）小结：小结：6 6个性质个性质线性线性时域时域微分微分积分积分平移平移频域频域导数导数平移平移2 2个定理个定理初值初值终值终值自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）积分积分 s 微分微分 s )(t )( tut 1 1 s21 s t- e t- te 1 s )(1 2 s常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换ntt-e 1)(! nSn nt1

13、! nsn频域的平移频域的平移自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充） sin t t cost sine t-22 s22 ss22)( st cose t-22)( ss自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）三、拉普拉斯反变换三、拉普拉斯反变换拉拉氏氏逆逆变变换换的的数数学学方方法法有理函数法有理函数法部分分式法部分分式法查表法查表法自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）只包含不相同极点的情况只包含不相同极点的情况1拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（

14、补充）自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）21321 sKsKsK5 . 2)(01 SssFK05 . 155 . 2)(2 teetftt)2)(1(52 sssss例例 )23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFK5 . 1)2)(23 SssFK自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）包含多重极点的情况包含多重极点的情况2自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）221)1()1( SKSK2)1(52)( sssF3)

15、52(12 SSK2)52(dd11 SssK032)( tteetftt例例 自动控制理论的数学基础（补充）自动控制理论的数学基础（补充）拉普拉斯变换在控制理论中的应用拉普拉斯变换在控制理论中的应用 第一步第一步通过拉氏变换将常微分方程化通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程；为象函数的代数方程；解出象函数；解出象函数；第二步第二步由拉氏逆变换求得常微分方程由拉氏逆变换求得常微分方程的解。的解。第三步第三步2-1 系统的微分方程系统的微分方程模模 型型 静态模型静态模型 实物模型实物模型 物理模型物理模型 数学模型数学模型 动态模型动态模型 代数方程代数方程微分方程或差分方程微分方程或

16、差分方程分析法分析法 实验法实验法 2-1 系统的微分方程系统的微分方程分析法：分析法： 对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。律、化学规律分别列写运动方程。实验法：实验法： 人为施加某种测试信号，记录输入输出数据，并用适当的数人为施加某种测试信号，记录输入输出数据，并用适当的数学模型去逼近学模型去逼近系统辩识。系统辩识。黑匣子黑匣子 输入（已知）输入（已知）输出（已知）输出（已知）2-1 系统的微分方程系统的微分方程 深入了解元件及系统的静态和动态特性，准确建立它们的数学模型。深入了解元件及系

17、统的静态和动态特性，准确建立它们的数学模型。建立数学模型（建模）：建立数学模型（建模）：数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式时域模型：时域模型：微分方程、差分方程、状态空间表达式微分方程、差分方程、状态空间表达式频域模型：频域模型：复域模型复域模型: : 传递函数、动态结构图、信号流图传递函数、动态结构图、信号流图 频率特性频率特性 2-1 系统的微分方程系统的微分方程微分方程（时域）系统系统传递函数（复域）频率特性（频域）L1LF1Fsjjsts数学分析法：数学分析法：用微分方程的求解、分析系统的方法。用微分方程的求解、分析系统的方法。工程分析法：工程分析法：把用传递函数、频率特性求

18、解、分析系统的方法。把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法。2-1 系统的微分方程系统的微分方程由数学模型确定系统性能的主要途径由数学模型确定系统性能的主要途径 求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换 拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换 s=j频率特性频率特性2-1 系统的微分方程系统的微分方程2-1 系统的微分方程系统的微分方程数学模型的概括性：数学模型的概括性： 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有

19、时却可能具有完全统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。相同的数学模型。数学模型表达了这些系统的共性。数学模型表达了这些系统的共性。数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。系统的物理性质和具体特点。2-1 系统的微分方程系统的微分方程数学模型相同的各种物理系统称为相似系统；数学模型相同的各种物理系统称为相似系统；在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相似变量。似变量。

20、根据相似系统的概念，一种物理系统研究的结论可根据相似系统的概念，一种物理系统研究的结论可以推广到其相似系统中。以推广到其相似系统中。可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难实现可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难实现的系统。的系统。相似系统和相似变量相似系统和相似变量 2-1 系统的微分方程系统的微分方程一、线性定常系统及叠加原理一、线性定常系统及叠加原理1系统、输入、输出三者关于的微分方程的标准形式：系统、输入、输出三者关于的微分方程的标准形式： 式中：式中：X0(t) 系统输出系统输出 ； Xi(t) 系统输入系统输入)()()(00) 1(01)(0tXatXatXannnn+-)(

21、)(0) 1(1)(tXbXbtXbimimmim+=-)(t2-1 系统的微分方程系统的微分方程2根据系统微分方程对系统进行分类根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t) a线性定常系统：线性定常系统：ana0 ；bmb0为常数为常数 b线性时变系统：线性时变系统：ana0 ；bmb0为时间的函数为时间的函数 2）非线性系统：方程中含有非）非线性系统：方程中含有非X0(t)、Xi(t) 的各阶导数的各阶导数 各阶导数的其它函数形式各阶导数的其它函数形式 2-1 系统的微分方程系统的微分方程例：例：Xi1(t)AX01(t)Xi

22、1(t)X01(t)Xi2(t)AX02(t)Xi2(t)X02(t)Xi1(t)AXi2(t)X01(t)X02(t)aXi1(t)+bXi2(t)aX01(t)+bX02(t)3线性系统满足叠加原理线性系统满足叠加原理.)()()()(2000tXtXtXtXi=+ 非线性系统非线性系统 )()(sin)()(000tXtXtXtXi=+ 非线性非线性 )()(4)(2)(000tXtXtXtXi=+ 线性线性 时不变（时不变（LTI） .2-1 系统的微分方程系统的微分方程意义：意义： 对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影响响的。因此，在分析多

23、个输入加在线性系统上而引起的的。因此，在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后，总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后，把这些输出叠加起来，则可能求得总的输出。把这些输出叠加起来，则可能求得总的输出。2-1 系统的微分方程系统的微分方程分析系统的工作原理，确定每一环节的输入量和输出量。第第1 1步步按照信号的传递顺序，从系统输入端开始，根据各变量遵循的运动规律，列出运动过程中各个环节的动态微分方程。第第2 2步步对非线性项应进行线性化处理。第第5 5步步消除所建立各微分方程的中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程第第3 3步步一

24、般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程右侧，各阶导数项按降幂排列，整理系统或元件的微分方程第第4 4步步二、列写系统微分方程的基本步骤二、列写系统微分方程的基本步骤 力学力学牛顿定律牛顿定律 电学电学基尔霍夫定律基尔霍夫定律 负载效应负载效应 2-1 系统的微分方程系统的微分方程负载效应负载效应 两个或两个以上环节（或子系统）组成一个系统时，若其两个或两个以上环节（或子系统）组成一个系统时，若其中一环节的存在使另一环节在相同输入下的输出受到影响，中一环节的存在使另一环节在相同输入下的输出受到影响，此影响称负载效应。其实质是物理环节之间的信息反馈作用。此影响称负载效应。其

25、实质是物理环节之间的信息反馈作用。i i1 1(t)(t)c c2 2u u2 2(t)(t)u u1 1(t)(t)c c1 1i i2 2(t)(t)R R1 1R R2 2例：例： 由两级串联的由两级串联的 RC 电路组成的滤波网络，试写出以电路组成的滤波网络，试写出以u1(t)为为输入，输入，u2(t)为输出的系统微分方程。为输出的系统微分方程。2-1 系统的微分方程系统的微分方程若分开考虑：若分开考虑： C C1 1u u1 1(t)(t)i i1 1(t)(t)u u1 1(t)(t)R R1 1 dtiCuudtiCiR1111111111C C2 2u u2 2(t)(t)i

26、i2 2(t)(t)uu1 1(t)(t)R R2 2 dtiCuudtiCiR2221222211消去中间变量消去中间变量i 1、i 2、u 1 : 此结果错误此结果错误 )()()()()(22221122211tutHutuCRCRtuCRCR .2-1 系统的微分方程系统的微分方程 dtiCudtiiCuiRudtiiCiR2222112221211111)(1)(1解：解：把两个把两个RC电路当作整体来考虑电路当作整体来考虑消去中间变量消去中间变量 i 1、i 2 )()()()()(12221221122211tututuCRCRCRtuCRCR & & & & &2-1 系统的微

27、分方程系统的微分方程* *非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化l为什么要研究非线性方程的线性化问题？为什么要研究非线性方程的线性化问题？系统、元件非线性特性的普遍存在性；系统、元件非线性特性的普遍存在性；精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般形式的解，这高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般形式的解，这给研究系统带来理论上的困难；给研究系统带来理论上的困难；线性微分方程理论比较成熟。线性微分方程理论比较成熟。三、非线性微分方程线性化三、非线性微分方程线性化2-1 系统的微分方程系统的微分方程xd

28、xxdfyxx 0)( 22200)()(!21)()(00 xdxxfdxdxxdfxfyyyxxxx xdxxdfxfyyyxx 0)()(00小偏差线性化小偏差线性化：用：用泰勒级数泰勒级数展开，略去二阶以上导数项。展开，略去二阶以上导数项。 一、假设一、假设：x,y在平衡点（在平衡点（x0,y0)附近变化，即附近变化，即 (输出量单变量输出量单变量) x=x0+x, y=y0+y二、近似处理二、近似处理略去高阶无穷小项略去高阶无穷小项三、数学方法三、数学方法2-1 系统的微分方程系统的微分方程 非线性系统输出非线性系统输出 z(t) 是两个变量是两个变量 x(t) 和和 y(t)的函数

29、，即的函数，即 z=f(x, y) 1）确定工作点）确定工作点P(x 0, y 0, z 0) 2）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项 yyfxxfyxfyxfZyxoo,00),(),(yx oo, yyfxxfyxfyxoo,oo),(yxoo, ),(),(ooyxfyxfZ yyfxxfyxoo,yxoo, yKxKzyx yKxKzyx ， 传递函数是描述系统的动态关系的另一种数学模型，是传递函数是描述系统的动态关系的另一种数学模型，是经典控制理论对经典控制理论对线性系统线性系统进行研究、分析与综合的基本数学进行研究、分析与综合的基本数学工

30、具，是工具，是时域分析、频域时域分析、频域分析及稳定性分析的基础分析及稳定性分析的基础，也是经，也是经典控制理论进行系统综合设计的基础，因此，十分重要。典控制理论进行系统综合设计的基础，因此，十分重要。2-2 传递函数传递函数一、定义一、定义 对于单输入、单输出线性定常系统，当输入输出的初对于单输入、单输出线性定常系统，当输入输出的初 始条件为零时，其始条件为零时，其输出量输出量的的拉氏变换拉氏变换与与输入量输入量的的拉氏变换拉氏变换之之比比。 设设线性定常系统线性定常系统的的微分方程微分方程为：为： )()()(0) 1(1)(txbtxbtxbimmmimi+=-)()()(00) 1(0

31、1)(0txatxatxannnn+-式中：式中：a na 0, b mb 0 均为常系数均为常系数 x 0 (t)为系统输出量，为系统输出量，x i(t)为系统输入量为系统输入量 2-2 传递函数传递函数若若输入、输出的初始条件为零输入、输出的初始条件为零，即，即 0)0()(0 KxK = 0, 1 , , n1 0)0()(i KxK = 0, 1 , , m1 对微分方程两边取对微分方程两边取拉氏变换拉氏变换得：得：( () )(011sXbsbsbimmmm ( () )(0011sXasasannnn 则该则该系统的传递函数系统的传递函数 G(S) 为：为：0110110)()()

32、(asasassbsbsXsXsGnnnnmmmmi （nm） 2-2 传递函数传递函数传递函数方框图：传递函数方框图：G G（s s）X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )1）列出系统微分方程（非线性方程需线性化）列出系统微分方程（非线性方程需线性化） 2）假设全部初始条件均为零，对微分方程进行拉氏变换）假设全部初始条件均为零，对微分方程进行拉氏变换 3）求输出量和输入量的拉氏变换之比）求输出量和输入量的拉氏变换之比传递函数传递函数求传递函数的步骤：求传递函数的步骤：2-2 传递函数传递函数质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统令初始条件均为零，令初始条件均为零，方程两边取拉

33、氏变换方程两边取拉氏变换( () )()(2sFsYkcsms kcsmssFsYsG 21)()()( 例例: )()()()(tftk ytyctym .2-2 传递函数传递函数y(t)f(t)mkcL、R、C 电路系统电路系统R RC Cu u2 2(t)(t)i(t)i(t)L Lu u1 1(t)(t)( () )()(1122sUsURCsLCs 11)()()(212 RCsLCssUsUsG例：例： )()()()(1222tututuRCtuLC .2-2 传递函数传递函数1 1、传递函数和微分方程是一一对应的、传递函数和微分方程是一一对应的 微分方程：在时域内描述系统的动态

34、关系（特性）微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性） 传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）2 2、传递函数只取决于系统本身的固有特性，与外界无关。、传递函数只取决于系统本身的固有特性，与外界无关。二、传递函数的性质和特点二、传递函数的性质和特点2-2 传递函数传递函数y y( (t t) )K KC Cx xi i( (t t) )()()(2skXsYkCsmsi kC sm sksXsYsG 22)()()(例例 ：)(tymffcK .)()()()(tymtyCtytxki .)()()()(txktkytyCtymi .2-

35、2 传递函数传递函数3、若输入给定，则输出、若输入给定，则输出完全取决于传递函数完全取决于传递函数 4、不同物理系统（机械、电气、液压）可能、不同物理系统（机械、电气、液压）可能能用相同数学模型描述的系统能用相同数学模型描述的系统相似系统相似系统 应用意义：应用意义：可用模拟机进行系统研究可用模拟机进行系统研究用形式相同的传递函数来描述用形式相同的传递函数来描述相似原理相似原理5、分母阶次常高于分子阶次分母阶次常高于分子阶次（nm）G（s）Xi(s)Xo(s)2-2 传递函数传递函数传递函数为复变函数，故有零点和极点传递函数为复变函数，故有零点和极点 )()()()()(2121nmPsPsP

36、sZsZsZsKsG-=.零点：零点：使使 G(s) =0 的的 s 值值 （分子为（分子为0） 极点：极点：使使 G(s) 分母为零的分母为零的 s 值值 G(s) 的零极点分布决定系统响应过渡过程。的零极点分布决定系统响应过渡过程。三、传递函数的零点和极点三、传递函数的零点和极点2-2 传递函数传递函数2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数1、比例环节（放大环节）、比例环节（放大环节）凡输出量与输入量成正比，不失真也不延时的环节称凡输出量与输入量成正比，不失真也不延时的环节称比例环节比例环节。)()(0tKXtXi 微分方程：微分方程： KsXsXsGi )()()(0传递函数传递函

37、数 ： ，K：放大系数（增益）放大系数（增益） 方框图方框图 ：K KX Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )R R1 1R R2 2u u0 0( (t t) )+ +u ui i( (t t) )+ +引入引入“虚地虚地”概念概念+ +运算放大器运算放大器ui(t)输入电压输入电压 uo(t)输出电压输出电压 R1、R2电阻电阻 )()(12otuRRtui- -=)()(120sURRsUi- -=拉氏变换：拉氏变换： 已知：已知： - -=- -=1212o)()()(RRKRRsUsUsGi则则例例 ：2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数弹簧受力如图：弹簧

38、受力如图：y y( (t t) )K Kf f( (t t) )k y(t) = f (t)k Y(s) = F(s )ksFsYsG1)()()( 例例 ：2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数时域内用一阶微分方程表示的环节时域内用一阶微分方程表示的环节 )()()(00tKXtXtXTi & &微分方程：微分方程： 传递函数：传递函数： 1)()()(0 TsKsXsXsGi方框图：方框图：X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )1 Tsk 当输入为单位阶跃函数时，惯性环节的输出将按指数曲线上升，当输入为单位阶跃函数时，惯性环节的输出将按指数曲线上升，具有惯性，其

39、时间常数为具有惯性，其时间常数为T。 K：增益；：增益；T：时间常数：时间常数 2一阶惯性环节一阶惯性环节2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数R、C电路如图电路如图R RC Cu u0 0i iu ui i dtiCuuiRui1oo11)()()(o RCssUsUsGi例例 ：)()()(ootututuRCi .2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 时域内，输出量正比于输入量的微分的环节时域内，输出量正比于输入量的微分的环节微分环节：微分环节： 传递函数：传递函数：G(s)=Ts )()(otxTtxi& & T：时间常数：时间常数 方框图：方框图： TsXi(s)Xo(

40、s)3微分环节微分环节2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数时域内，输出量正比于输入量对时间的积分的环节。时域内，输出量正比于输入量对时间的积分的环节。TssG1)( 传递函数：传递函数： o)(1)(dttxTtxi微分方程：微分方程： T：积分时间常数：积分时间常数 方框图：方框图：X Xi i( (s s) )X Xo o( (s s) ) Ts Ts 1 1 4积分环节积分环节2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数有源积分网络有源积分网络ui(t)输入电压输入电压 uo(t)输出电压输出电压 R电阻电阻 C电容电容 dttduCRtui)()(o 已知：已知： 拉氏变换：拉

41、氏变换： )()(1osusCsuRi sKsRCRCssG 11)(例例 ：R Ru uo o( (t t) )u ui i( (t t) )C C+ +2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数时域内，以二阶微分方程描述的环节。时域内，以二阶微分方程描述的环节。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi & & & & & 微分方程：微分方程： )()()12(022sXsXTssTi 传递函数：传递函数： 121)(22 TssTsG 2222nnnss T：振荡环节的时间常数振荡环节的时间常数 n：无阻尼固有频率无阻尼固有频率 ：阻尼比阻尼比 5振荡环节振荡环节2-3 典型环节

42、的传递函数典型环节的传递函数mkc 系统：系统： RLC电路：电路： kcsmssG 21)( 11)(2 RCsLcssG 方框图：方框图：X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )2222nnnss 例例 ：)()()()(tftkytyctym .)()()(000tututuRCuLCi .2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数时域内，输出滞后输入时间时域内，输出滞后输入时间，但不失真地反映输入的环节，但不失真地反映输入的环节微分方程：微分方程： )()(0 txtxi传递函数：传递函数： )()(osXesXiS SiesXsXsG )()()(o方框图：方框

43、图：e-sXi(s)Xo(s)6延时环节延时环节2-3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 一、系统传递函数方块图一、系统传递函数方块图 用传递函数方块将控制系统全部变量联系起来用传递函数方块将控制系统全部变量联系起来, ,描述各环节之间的信号传描述各环节之间的信号传递关系的图形递关系的图形, ,称为系统传递函数方块图（或结构图）。它是用图形表示的称为系统传递函数方块图（或结构图）。它是用图形表示的系统模型。它不同于物理框图系统模型。它不同于物理框图, ,着眼于信号的传递。着眼于信号的传递。 x信号线：信号线： 表示系统中信号流动方

44、向表示系统中信号流动方向（单向）（单向） xx 分支点：分支点： 两个或两个以上的信号两个或两个以上的信号 (大小和性质不变大小和性质不变)(s)ix(s)ox(s)G方框：方框： 表示输入和输出信号的传递关系表示输入和输出信号的传递关系 xxx12比较点：比较点： 信号从某点分开信号从某点分开,信号相加减信号相加减（相减必须标注负号）（相减必须标注负号） 方块图的组成：方块图的组成：1环节的串联环节的串联Xi(s)G1(s)X1(s)G2(s)X0(s)Xi(s)G(s)X0(s)()(1sXsX1)()(0sXsXi )()()(0sXsXsGi )()(2sGsG1 niisGsG1)(

45、)(二、环节的串联、并联的等效规则二、环节的串联、并联的等效规则2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 )()()()()()(02010sXsXsXsXsXsGii )()(21sGsG niisGsG1)()(Xi(s)G1(s)G2(s)X0(s)X02(s)X01(s)+ + +2环节的并联（输入相同，输出相同）环节的并联（输入相同，输出相同）若这里的若这里的+ +改为改为- -的话？的话？2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 gxi(t)(t)x0(t)- -xb(t)hG(s)Xi(s)E(s)X0(s)- -XB(s)H(s)1、偏差

46、信号：、偏差信号：)()()(txtxtbi-=e)()()(sXsXsEBi-=2、前向通道传递函数、前向通道传递函数G(s)()()(0sEsXsG=3、反馈通道传递函数、反馈通道传递函数H(s)()()(0sXsXsHB=三、开环与闭环传递函数三、开环与闭环传递函数2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 )()()()()()()()()(00sHsGsEsXsXsXsEsXsGBBK= 可理解为：可理解为： 相加点断开后，以相加点断开后，以E(s)为输入，为输入， XB (s) 为输出的传递函数。为输出的传递函数。5、闭环传递函数、闭环传递函数 GB(s) ：)(

47、)(1)()()()(0sHsGsGsXsXsGiB+=4、开环传递函数、开环传递函数 GK(s)：2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 )(0)(sEsX)(sG=)()(sXsXsGBi-=)()()()(0sHsXsXsGi-=)()()()()(0sHsGsXsGsXi-=)()()()()(10sXsGsXsHsGi=+)()(1)()()()(0sHsGsGsXsXsGiB+=开环传递函数开环传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数+ += =1 1推导：推导：)2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 对于正反馈：对于正反馈：)()(1

48、)()(sHsGsGsGB- -=对于单位反馈：对于单位反馈：H(s)=1G(s)Xi(s)X0(s)- -+ +1)(1)()(sGsGsGB+=2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 各种电器设备对电视机的干扰各种电器设备对电视机的干扰扰动扰动四、具有干扰信号的系统传递函数四、具有干扰信号的系统传递函数2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 应保持的速度应保持的速度自行车自行车行驶的速度行驶的速度风风扰动可能是一个，也可能是若干个。扰动可能是一个，也可能是若干个。逆风、顺风、雨水、上坡逆风、顺风、雨水、上坡2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传

49、递函数方块图及其简化 在控制系统中，除控制信号（输入给定值）外，其它对在控制系统中，除控制信号（输入给定值）外，其它对输出能产生影响的信号。输出能产生影响的信号。扰动（干扰信号）：扰动（干扰信号）： 有的干扰因素是人为原因所致，如影响飞机导航信号的手机有的干扰因素是人为原因所致，如影响飞机导航信号的手机信号等。信号等。 有的干扰因素是由于环境造成的，如影响自行车行驶速度的有的干扰因素是由于环境造成的，如影响自行车行驶速度的变化的自然风等；变化的自然风等；2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 G G1 1( (s s) )X Xi i(s)(s)N N ( (s s) )

50、- -+ + + +G G2 2( (s s) )H H ( (s s) )X X0 0(s)(s)考虑扰动的反馈控制系统的典型方框图如下：考虑扰动的反馈控制系统的典型方框图如下：线性系统遵循叠加原理线性系统遵循叠加原理2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 G G1 1( (s s) )X Xi i(s)(s)N N ( (s s) )- -+ + + +G G2 2( (s s) )H H ( (s s) )X X0 0(s)(s)令令 N (s)=0X X0i0i(s)(s)1） N(s)=0, Xi(s)引起的输出引起的输出X0i(s) sGxi)(= =sXi)

51、(sX0i)(= =1+ +GG21s )(s )(HGG21s )(s )(s )(sX0i)(sGxi)(= =sXi)(= =sXi)(1 GG21s )(s )(HGG21s )(s )(s )(2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 -1-1G G1 1( (s s) )X Xi i(s)(s)N N ( (s s) )- -+ + + +G G2 2( (s s) )H H ( (s s) )X X0 0(s)(s)令令 Xi(s)=0X X0N0N(s)(s)G G2 2( (s s) )N N( (s s) ) + +G G1 1( (s s) )H H

52、( (s s) )+ +X X0N0N(s)(s)-1-12）Xi(s)=0， N(s)单独作用引起的输出单独作用引起的输出X0N(s)sGN)(= =sN)(sX0N)( 1- -2Gs )()HGG21s )(s )(s )(- -sX0N)(sGN)( sN)( 1 G2s )(HGG21s )(s )(s )(sN)(= =12Gs )(HGG21s )(s )(s )(+ +- -2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 3 3） 系统总的输出系统总的输出=1 G2s )(HGG21s )(s )(s )(sX0N)(sGN)( sN)(=sN)(+sX0N)(s

53、X0i)(sGxi)(= =sXi)(= =sXi)(1 GG21s )(s )(HGG21s )(s )(s )(sX0i)(sX0)(sXi)(1 GG21s )(s )(HGG21s )(s )(s )(=1 G2s )(HGG21s )(s )(s )(sN)(+HGG21s )(s )(s )( 1 1若若s )(sN)(1 G2HGG21s )(s )(s )(s )(sN)(G2HGG21s )(s )(s )(HG1s )(s )( 1 1且且sN)(1HG1s )(s )(sN)(系统抗干扰性较强系统抗干扰性较强 2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化

54、小结：小结：3 3）干扰时刻存在，采用反馈控制的系统，适当合）干扰时刻存在，采用反馈控制的系统，适当合理的选择元部件的结构参数，可以增强系统抗干理的选择元部件的结构参数，可以增强系统抗干扰的能力。扰的能力。 1 1）扰动会扰动会对系统的输出产生影响对系统的输出产生影响2 2）利用系统方框图的转换和等效化简原则，对）利用系统方框图的转换和等效化简原则，对带扰动的反馈控制系统的闭环传递函数的分析带扰动的反馈控制系统的闭环传递函数的分析可以求解其输出组成可以求解其输出组成2-4 系统传递函数方块图及其简化系统传递函数方块图及其简化 2- 5 传递函数方块图变换传递函数方块图变换 通过方块图的变换，可

55、使系统方块图简化，通过方块图的变换，可使系统方块图简化，求出系统的传递函数。求出系统的传递函数。一、等效变换规则：输入输出不变，总传递函数不变。一、等效变换规则：输入输出不变，总传递函数不变。1）串联规则：）串联规则： Xi(s)G1G2X0(s)Xi(s)G1G2X0(s)2）并联规则：）并联规则：Xi(s)G1G2X0(s)Xi(s)G1G2X0(s)+三个基本等效原则三个基本等效原则3）反馈规则：）反馈规则：X Xi i( (s s)+)+G GX X0 0( (s s) )X Xi i( (s s) )G GX X0 0( (s s) )H H+ +1 1GHGH2- 5 传递函数方块

56、图变换传递函数方块图变换 二个变换等效原则二个变换等效原则1） 分支点移动规则分支点移动规则分支点前移规则：分支点前移规则： 分支路上串入相同的传递函数方块分支路上串入相同的传递函数方块X XG GX X G GX X G GX XG GG GX GX GX GX G分支点后移规则：分支点后移规则：分支路上串入相同传递函数的倒数的方块分支路上串入相同传递函数的倒数的方块X XG GXGXGX X2- 5 传递函数方块图变换传递函数方块图变换 2）相加点移动规则）相加点移动规则相加点前移规则：相加点前移规则： G GX X2 2X X1 1G GXX2 2+ +- -X X1 1+ +G GX

57、X1 1G GXX2 21 1G GX X2 2-X XG GXGXGX X1 1G GX X1 1相加点后移规则相加点后移规则 G GX X1 1X X2 2（X X1 1XX2 2）G G+ +- -X X1 1G GX X2 2G G（X X1 1XX2 2）G G+ +- -2- 5 传递函数方块图变换传递函数方块图变换 A A+ + +A+B-CA+B-CB B+ +C C- -A A+ + +A-C+BA-C+BC C+ +B B- -4）相加点分离规则）相加点分离规则B B+ +C C- -A+B-CA+B-CA A+ +B B+ +A A+ +A+B-CA+B-C- -C C3）相加点交换规则）相加点交换规则A+BA+BA-CA-CA+B-CA+B-C= =A-C+BA-C+B5）反馈方框化为单位反馈）反馈方框化为单位反馈 X Xi i