有限元复习大纲

1、有限元复习大纲1.有限元程序设计的根本原理是什么？实际上就是最小势能原理，不同之处，即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场 几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。2有限元程序的具体实现步骤？请以杆系结构为例子进行阐述说明。Ansys步骤：1进入ANSYS ； 2设置计算类型；3选择单元类型；4定义材料参数；5定义截 面；6生成几何模型；7网格划分；8模型施加约束、荷载；9分析计算；10结果显示；11退出系 统。3你所了解的有限元软件都有哪些？ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC 等4计算力学涉及哪些领域？涉及领域：有限元方法、理论及应用力学、应用数值分析和电脑及信息

2、科学。计算力学的应用范围扩大到固体力学、岩土力学、水力学、流体力学、生物力学等领域。5解决计算固体力学的静力问题都有哪些常用方法？在固体力学领域应用最广泛的数值方法是有限元法，其他数值方法还有有限差分法、加权残量法、边界元法、有限条法、自由网格法等。6为什么要采用有限元方法来解决工程问题？与常规解析方法有什么不同？运用有限元方法解决工程实际问题时， 不管是简单结构或者是复杂的结构， 其求解过程是完全 相同的，由于每个步骤都具有标准化和标准性的特征， 可以在电脑上进行编程而自行实现， 这是常 规解析方法无法实现的。7.从物理模型到有限元求解结果，中间存在哪些可能误差？有限元分析是用较简单的问题代

3、替复杂问题后再求解。 它将求解域看成是由许多称为有限元的 小的互连子域组成，对每一单元假定一个适宜的较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足 条件如结构的平衡条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被 较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解， 而有限元不仅计算精度高，而且能适 应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。按位移法求解的有限元法中，应力解答的精度要小于位移解答精度的原因：应用位移元进行有限元分析时，未知场函数是位移，从系统平衡方程解得的是各个结点的位移 值。B e , D D B e而应变矩阵B是插值函数N对坐标进行求导后得到的矩阵。

4、求导一次，插值多项式的次数 就降低一次。所以通过导数运算得到的应变和应力精度较位移u降低了，即利用以上两式得到的应变和应力的解答可能具有较大的误差。应力解的误差表现于：单元内部不满足平衡方程 单元与单元的交界面上应力一般不连续在力的边界上一般不满足力的边界条件用非协调单元反而比协调单元精度高的原因：单元原是连续体的一局部，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为 只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制， 使单元的刚度较 实际连续体加强了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的 K较小。8有限元分析的两种典型力学模型是什么？我们目前常用的模型是哪

5、类？集中参数模型弹簧一质点体系、基于连续力学模型梁、桁架、板壳9杆系结构包括哪些类型？哪些结构可以采用杆系结构模拟，请举例说明。杆系结构：梁、拱、框架、桁架等。它们常可离散成杆元和梁元，用杆件相互连接组成的几何 不变体系。如连续梁、桁架、刚架、拱、悬索结构、网架结构等。10. 有限元法的根本思路？有限元方法的根本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解， 再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。有限单元法解题步骤：结构的离散化，即单元网格划分；选择位移模式；分析单元的 力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变， 利用本构方程建立单元内任意一点的应力

6、 与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程； 集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的 平衡方程即总的平衡方程，包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载 列阵；求解结点位移和计算单元应力， 包括边界条件修正； 解方程，得到未知问题的节点值； 后处理。11. 掌握直接刚度法，掌握单元刚度矩阵合成整体刚度矩阵，掌握子块搬家。12能够采用直接刚度法求解简单的桁架结构受力。作业一去年考题P99P10513. 掌握桁架单元的整体坐标和单元坐标的转换过程。作业一去年考题P99P10514. 势能，应变能和外力功之间的关系是什么？势能=应变能-外力功15求解数学模型的三种模式？强形式：偏

7、微分方程+边界条件；弱形式：加权余量法、伽辽金法；变分形式：瑞利-里兹法16. 了解加权余量法的根本概念和实现流程，掌握伽辽金法Galerkin加权残值法的计算。加权余量法求解流程：1.初步选取尝试函数、构造近似解2.结合问题的边界条件对尝试函数进 行修正，以简化求解3.写出加权余数表达式伽辽金法选取加权函数 4.令权余数表达式在各尝试 函数下为0,得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解。伽辽金法Galerkin加权残值法：作业二第1题，P5&17. 了解变分原理的根本概念。变分命题的实质是求泛函的极值问题。18. 弹性力学对应的变分原理是什么？我们常用的是哪一种？弹性力学对应的变分

8、原理是能量法，具体有最小势能原理和最小余能原理，其中最小势能原理 用于位移法，是以位移作为根本的未知数；最小余能原理用于力法，以应力作为根本未知数求解。 目前常用的是最小势能原理。19. 什么是最小势能原理，其表述？设有满足位移边界条件BC u的许可位移场，其中真实的位移场?使物体的总势能取最小值， 即:庶u山U W20. 了解最小势能原理的变分根底，掌握杆系以及梁单元的变分原理及其推导过程 P65作业二。1、杆单元，左边固定，右边施加一集中力n f字儿“-八样 dr/jj /rzf/j/曲1= C斗阳罕妙曲+-鬥鬲7丛一&k t/vd.vchaM居1T考虑到许可位移场的性质，它事先已满足位移

9、边界条件，因此在位移边界上，它的微分增量为零，即：由变分方法，对泛函取极值，令 =0由于u是变分增量，具有任意性，要使上式恒满足，那么有：Setting ilie coefficieuTs of ui 0 and dit at L to zero scperately,= Euler Kqiiation EA = 00 x Naniral b e. EA- - w = 0, at a- = A dx2、受均布外荷载简支梁的平面弯曲问题BCp:岡7立【叫越弍该问题的最小势能原理，其数学变分提法为：设有满足位移边界条件的许可位移场函数v x，其中真实的一组v x使得以下泛函取极小值，即min应麥能

10、外力功势能隨务y必-J於计工皿下3来E上,ik. s式K得S.的心*辰耳实抄超oE A严需网需曲-艸洽以上的符号召为变分符号即复台巒数球敝分.对上武右端的第一项作两次分邮积分，有 dJv d3V fE【薯M妙- dr drd1；dx妙讪+Jei歸妙诋3)=碍訓F仏 +亦Lo +jEI售珀&2n = ETj &笃忌(2-61；!二M嗚沁十韵1“寸EI害-4那么有j3no21. 了解一般弹性问题的最小势能原理的变分过程。P6722. 求解弹性问题，采用微分形式和积分形式有哪些不同之处？最常用的是哪种形式？求解过程、函数的要求及形式、泛函形式、技术关键、难易程度、求解精度、方程的最后形式、 方法的标

11、准性、方法的通用性、解题范围不同。由于工程问题非常复杂，要求所采用的方法具有较 好的标准性、较低的难度、较低的函数连续性要求、较明确的物理概念、较好的通用性。而基于最 小势能原理的积分形式求解方法具有较明显的综合优势。23. 虚功原理的概念？变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零，即PA A Pb B 0 o24. 纯弯梁的假设？当杆件受一对方向相反、作用面位于杆的纵向对称平面内的力偶作用时，杆件将发生弯曲变形， 受弯杆件常简称为梁。梁发生纯弯时， 其横截面上只有弯矩一种内力。根据平截面假定，梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面

12、，且仍垂直于挠曲后的梁轴线。25. 什么是铁木辛柯梁，与经典梁的区别？铁木辛柯梁：位移挠度的一阶导数连续，如果对挠度函数和截面转角进行独立插值，并且考 虑剪切变形的影响，这样所构造出来的梁单元 。普通梁未考虑剪切变形的影响，而铁木辛柯梁考虑了剪切变形的影响， 并对挠度函数进行独立 插值。铁木辛柯梁的挠度值包含了弯曲和剪切引起的变形，且长细比越小，对剪切变形的影响越大。26. 什么叫做剪切闭锁，可以采用什么方法处理和防止？剪切闭锁：是由于约束条件未能精确满足dw/dx-书工0，在梁很薄时导致不确当地夸张了 剪切应变能项的量级而造成的现象。防止产生剪切闭锁的方法： 减缩积分、假设剪切应变、替代插值

13、函数。27. 单元的刚度存储有哪些方法？掌握半带宽的计算。去年考全矩阵存贮法、对称三角存贮法、半带宽存贮法、一维压缩存贮法。带宽：反响非零数据集中程度的一个指标。半带宽存贮法：存贮上三角形或下三角形半带宽以内的元素。半宽带的计算：di =第i个单元中节点编号的最大差值+1那么整体刚度矩阵的最大半宽带为d = max di i=1,2,3,4,n对于2D问题， =2，对于3D问题， =328. 平面三节点三角形单元的特性？与四边形相比，其精度如何？三节点三角形单元：是常应变单元，应变矩阵和应力矩阵为常数，对于应变梯度较大的区域， 单元划分应适当密集，否那么不能反映出应变的真实变化，从而导致较大的

14、误差。而四节点矩形单元， 其应变和应力为一次线性变化，这种单元的位移模式是完备和协调的， 因而比三节点常应变单元的 精度咼。29. 三角形单元刚度矩阵的性质，整体刚度矩阵的性质。单元刚度矩阵k的性质：单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如， 人表示单元第j 个自由度产生单位位移j 1，其他自由度固定=0时，在第i个自由度产生的节点力Fi ；它反 应了单元抵抗变形的能力。由于刚体位移不引起内力，因此同一行或同一列的系数之和为零。 每 一行或每一列元素之和为零；对称矩阵；奇异矩阵，即 k的行列式为零；常量矩阵。整体刚度矩阵K的特性：对称性；Kii 0；稀疏；带状矩阵；奇异；正定；各 列相加等于

15、零。30掌握三角形单元刚度矩阵的计算，掌握三角形等效节点力的计算。 1平面应力三角形单元kHk kjikmikj心%kim kjm kmm%Eh4(12)AbrbsCrbs1ZG Cs21brCs2brCsCr Cs1 crbs2 r s1 brbs2CXjb yj2平面应变三角形单元ymXmbrbsCrbb2 crcs2(1 )1 2 brCs2(1 )CrCs. 1 2-brbs2(1 )Crbs)r s31. 掌握总刚集成。32. 掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。位移函数u:是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原 理进行单元分析，因而必须事

16、先设定位移函数。但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。形函数N:是用单位结点位移分量来描述位移函数的插值函数。二者关系式：u(x)=N(x)qe33选择单元位移函数需要满足的条件有哪些？选择单元位移函数应满足一下条件：1反映单元的刚体位移与常量应变。2相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离34. 什么是C0阶和Oi阶冋题？C0型单元：指在泛函势能中位移函数出现的最高阶导数是 1阶，在单元交界面上具有 0 阶的连续导数，即节点上只要求位移连续。一般的杆单元、平面问题单元、空间问题单元都是O0型单元。O1型单元：指在泛函势

17、能中位移函数出现的最高阶导数是2阶，在单元交界面上具有1阶的连续导数，即节点上除要求位移连续外，还要求 1阶导数连续。梁单元、板单元、壳单元都是 O1型单元。35. 掌握基于自然坐标的矩形单元形函数的推导。VVI0Mirr2b线性矩形单元，沿着12旳2二线性矩形单元，沿着43,W43 =厶川斗 +L2iW3沿着y轴平行线：H二f心Q j|-】“?i同理：临 Mi1=1Where即気=】 WU + 叨心Id阳工5aT 一儿假设原点坐标为，： ,那么有：0136. 了解基于面积坐标的三角形单元高阶形式的推导由面积坐标表示，那么L1丄2处丄3AAAA形函数公式为NiNpJNq L2 Nr L-3其中

18、m3,mpqr,i1,2,10pmL1j1p 1Np Jj 1j1p 0由图可知N10N1L1N1L2 N1 L337. 了解serendipity单元形函数构造。尽量在边界上增加节点的单元叫做 serendipity单元，P25738可以采用哪些方法提高有限元的计算精度？不同单元连接时需要注意哪些问题？1、提高计算分析精度方法：h方法、p方法、r方法、自适应方法及组合方法 h-p adaptive。 h方法：不改变各单元上基底函数的配置情况，只通过逐步加密有限元网格来使结果向正 确解逼近。 p方法：保持有限元的网格剖分固定不变，增加各单元上基底函数的阶次，从而改善计算 精度。 r方法：不改变

19、单元类型和单元数目，通过移动节点来减少离散误差，因而，单元的总自 由度保持不变。 自适应方法：运用反响原理，利用上一步的计算结果来修改有限元模型，其计算量较小，计算精度却得到显著提高。2、不同单元连接时需要注意： 、单元之间不能没有连接； 、连接要协调，两节点的边不能与三节点的边相连接； 、边节点不能与角节点连接。39掌握等参单元的根本概念。等参变换：单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函 数进行变换。采用等参变换的单元称为等参单元。等参元：几何形状函数矩阵N中的插值阶次=位移形状函数矩阵N中的插值阶次。超参元“ ， 亚参元“ 40. 掌握雅可比矩阵的计算，掌握

20、等参单元等效节点力的计算。作业6去年考题41. 掌握等参变换的条件。对于两个坐标系，即物理坐标系x, y和基准坐标系E ,n ，假设要进行一对一的变换，其 条件是雅可比行列式I J 1工0,等参单元的变换作为一种坐标变换也必须服从此条件。 因为如果I J I =0,基准坐标系E ,n 中的面积微元将对应于物理坐标系X，y的一个点，显然这种变换不 是一一对应的。另外因为I JI =0, J-1将不成立，所以两个之间偏导数的变换式也就不可能实现。42. 如何确定高斯积分的阶数？为何高斯积分点上的精度最高？通过数值分析和测试确定合理的高斯积分的阶数。积分的阶数对精确性、计算时间和消耗具有很大影响，选取合理的高斯积分通常基于：精确性和非奇异矩阵non-si ngularK在等参单元中，单元中n 1阶n pm高斯积分点上的应变或应力近似解比其他部位具有较高的精度，因此我们称 n 1阶高斯积分点是等参单元中最正确应力点。43. 为何有时采用