第6章-1 湍流基本理论-2010

1、湍流的基本理论Basic knowledge of Turbulence2013年10月“能源与环境”研究中心常州大学研究生课程粘性流体力学粘性流体力学蒋绿林蒋绿林粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论主要内容：主要内容：湍流研究的基本方法和理论雷诺方程以及雷诺应力方程、湍流平均动能方程、湍动能方程、湍动能耗散率方程等粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论1 湍流的两种统计理论 历史上，对湍流的统计研究主要沿两个方向发展：一个是湍流平均量的半经验分析湍流平均量的半经验分析，另一个是湍流相关函数的统计理论分析湍流相关函数的统计理论分析。

2、 缺 点基于大量的试验，确定湍流的特征参数 基于相关函数及谱分析等方法，研究湍流的结构 代表人物能方便地解决实际问题 主要涉及湍流的大尺度运动 ，对了解湍流的实质帮助不够普朗特冯卡门尼古拉兹 泰勒柯尔莫戈罗夫未能解决工程技术方面的实际问题 方法增进了对湍流（特别是湍流的小尺度部分）机理的了解 优 点粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论1.1 1.1 湍流平均量的半经验分析湍流平均量的半经验分析如何来求平均量呢？ 通常应用三种平均方法 时间平均法(temporal average) 空间平均法(spacial average) 系综平均法(ensemble ave

3、rage)设湍流运动的瞬时流场为 ),(tzyxuu (instantaneous velocity field)做法：主要研究各个参数的平均量以及它们之间的相互关系，如平均速度、压力、边界层厚度等。粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论q 时间平均法(temporal average)00/2/21( , , )lim( , , , )tTTtTTux y zu x y z t dtT时均值的定义为：时均值的定义为：若平均值 与积分时刻t0无关，既使在不同的t0时刻做多次相同的重复试验，所得 是一样的，称为定常定常(或准定常或准定常)湍流。湍流。 A于是瞬时速度

4、可分为时均流速和脉动流速两部分：Tuuu且：00/2/21lim0tTtTTu dtTTuTu粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论 严格地讲时间平均法只能用在定常湍流或准定常湍流，但在一定的条件下也可以推广到非定常湍流中使用。 若非定常湍流的脉动周期为T1，平均流动的变化周期为T2，而且T1T2，在取时间积分的积分域T时，使T1TT2 ，这样得到的时间平均值可以用来表示非定常湍流：/2/21( , , , )( , , , )t TTt Tux y z tu x y z t dtT例如：海洋潮汐运动的周期为12小时或24小时，而最低的湍流脉动频率约为1Hz，则平

5、均时间T取2分钟即可。粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论常用的时均运算关系式：设为湍流物理量的瞬时值 ，则：CBA, AA0 ABABA0BABABA BABAABCBABACCABCBACBAABCiixAxA2222iixAxAtAtA 推论：0ixA022ixA0tA在准定常湍流场中，有：0tAtA粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论q 空间平均法(spacial average)t0 时刻，流场中一点（ ）流速的体积平均值为000,xyz000001(,)( , ,)limuxyztu x y z td 积分体积 应包含

6、（ ）点，且应足够大000,xyz体积平均法在满足以下条件时也可推广到非均匀湍流场推广到非均匀湍流场湍流脉动的空间尺度湍流脉动的空间尺度 湍流流动平均值的空间变化尺度湍流流动平均值的空间变化尺度 000001(,)( , ,)uxyztu x y z td粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论q 系综平均法(ensemble average)对重复多次的试验进行算术平均 0000000011(, )lim(, )NekNkuxyz tuxyz tN可以将上式写成概率分布（probability distriution）的形式： 0000(, )( )euxyz t

7、p u udu需要知道流动的概率密度函数需要知道流动的概率密度函数 粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论q 各态遍历假设（ergodic hypothesis） 各态遍历假说认为一定条件下，三种方法具有一致性。定义：定义：一个随机变量在多个相同试验中或一个试验重复多次时一个随机变量在多个相同试验中或一个试验重复多次时出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长时间或相当大出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长时间或相当大空间范围内，以相同概率出现，空间范围内，以相同概率出现，称为各态遍历。称为各态遍历。N次试验中，u出现在u0至u0 +u的次数为N；一次试验中

8、，在T时间内， u出现在u0至u0 +u的时间间隔为T一次试验中，在 范围内， u出现在u0至u0 +u范围为 NNTT若 足够大则有 即：,TNteuuu粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论1.2 1.2 湍流的统计理论湍流的统计理论做法：将流体视为连续介质，将各物理量如：流速、压力、温度等脉动值视为连续的函数，并通过各脉动值的相关函数和谱函数来描述湍流结构。应用：为了描述湍流的组织或结构，需要通过多点相关理论建立起合理的长度尺度准则为了建立合理的湍流模型，需要知道各种尺度的涡对能量生成、传输和耗散的贡献，通过谱分析可以得到 粘性流体力学电子教案粘性流体力学电

9、子教案湍流的基本理论湍流的基本理论q 随机变量的各阶原点矩和中心矩 当 ，随机变量 和 的数学期望（假设存在）分别称为随机变量 的 阶原点矩和阶原点矩和 阶中心矩阶中心矩。 0rrA()rAAArrrArAA)(若随机变量为u（t），则：定义：定义：一阶原点矩为： 为其时均值 duuupu一阶中心矩为： 0udupuuuu二阶中心矩为： ，此即u（t）的方差。实际上 表示了流动的湍流度。 2222)(udupuuuu粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论三阶中心矩为： udupuuuu333)(偏斜度因子偏斜度因子 ， 表示分布的相对偏斜程度， 即不对称性不对称性

10、 33us(Skewness factor)S为正值 粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论四阶中心矩为： (Flatness factor) udupuuuu444)(平坦因子平坦因子 ，度量曲线相对于高斯分布的 接近程度 44uK若若 ，则表示概率曲线中部，则表示概率曲线中部升得高，而在两侧下降较快升得高，而在两侧下降较快 3K粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论q 湍流脉动量的相关矩 表示湍流中，空间两点上各种脉动速度分量之间的相关矩，表达了空间一点的脉动速度与邻近一点上的脉动速度之间的关系。 空间相关空间相关 ,ijijRx

11、 xrux uxr 22,ijijijRx xrRx xruxuxr 空间相关矩空间相关矩 空间相关系数空间相关系数 显然，若显然，若 ， ；若；若 ，0r1iiR r0ijR粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论y/cDCA BbRax1Ueu2x1+ru2r1y/cDCA BbRax1Ueu2x1+ru2r1y/cDCA BbRax1Ueu2x1+ru2r122111,Rx xr可以看出：可以看出：当当 时，时， 完全相关；当完全相关；当 时时 ，相互无关；当相互无关；当 较小时较小时 ， 较大时较大时 01r221R1r220R220R1r220R1r粘性流

12、体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论 时间相关矩和自相关时间相关矩和自相关时间相关矩时间相关矩表示同一点上，不同时刻的脉动量之间的关系： tutuRjiij 22ijijijRRutut时间相关系数时间相关系数 i=j时的时间相关叫做自相关自相关 ： 2iiiiiut utRut可以证明：自相关系数是偶函数 粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论1.3 1.3 湍流的特征尺度湍流的特征尺度 湍流由各种不同尺度的涡体运动组成。大大涡涡区区含含能能涡涡区区平平衡衡区区含能涡区又称为惯性区，平衡区又称为耗散区粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子

13、教案湍流的基本理论湍流的基本理论Kolmogorov认为：认为：控制小尺度运动的参数，应包含单位控制小尺度运动的参数，应包含单位质量的能量消耗率质量的能量消耗率 和流体的运动粘性系数和流体的运动粘性系数为此，由量纲分析有（小涡的各项尺度）：长度尺度时间尺度速度尺度1/431/21/4VRe1dV耗散雷诺数 说明小尺度涡体的湍流脉动是粘性主宰的耗散流动，因此这一尺度的涡体也称为耗散涡式粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论 在各向同性湍流中，可以认为大尺度涡体由它所包含的在各向同性湍流中，可以认为大尺度涡体由它所包含的湍动总能量湍动总能量 ，以及向小尺度传递的能量，

14、以及向小尺度传递的能量 决定。决定。k3/2kl 在含能尺度范围内，惯性主宰湍流运动，因此含能尺度范围又称惯性区。uk为此由量纲分析可得：ktRe1dul一般积分尺度雷诺数式粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论Kolmogorov还认为：还认为：大涡体向小涡体提供的能量与小涡大涡体向小涡体提供的能量与小涡体本身消耗的能量两者平衡，因此能量消耗率体本身消耗的能量两者平衡，因此能量消耗率 应与能应与能量供应率平衡。量供应率平衡。即：23/uul ul其中： 表示大涡体的尺度， 为特征速度lu由此可得（代入式）：式3/43/4Reull1/21/2Reult1/41/

15、4Revulu长度尺度比时间尺度比速度尺度比粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论 小涡体的长度尺度、时间尺度、速度尺度均比大涡小涡体的长度尺度、时间尺度、速度尺度均比大涡体要小得多体要小得多小尺度的涡强比大尺度的要大得多，故小尺度的涡强比大尺度的要大得多，故能量耗散也能量耗散也大得多大得多大尺度涡体携带的能量比小涡体的大得多，因此大大尺度涡体携带的能量比小涡体的大得多，因此大涡体又称为涡体又称为含能涡含能涡粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论大尺度涡体与小尺度涡体的比较大尺度涡体与小尺度涡体的比较大尺度涡体大尺度涡体小尺度涡体小尺

16、度涡体由大尺度旋涡产生由大尺度旋涡产生由平均流动产生由平均流动产生与边界有关与边界有关有通用性有通用性具有拟序特征具有拟序特征随机运动随机运动要求确定性描述要求确定性描述可统计模拟可统计模拟非均匀非均匀均匀均匀非各向同性非各向同性各向同性各向同性长生命长生命短生命短生命起扩散作用起扩散作用起耗散作用起耗散作用模拟困难模拟困难模拟相对容易模拟相对容易粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论1.4 1.4 湍流的分类湍流的分类q 均匀湍流与非均匀湍流 均匀湍流均匀湍流：指统计上湍流的任何性质与空间位置无关，或者说，任何湍动量的平均值及它们的空间导数，在坐标作任何坐标作任

17、何位移下位移下不变。非均匀湍流非均匀湍流：湍流统计性质与空间位置有关注意：均匀湍流的均匀性是指脉动量具有均匀性，与均匀流不是同一概念。粘性流体力学电子教案粘性流体力学电子教案湍流的基本理论湍流的基本理论各向同性湍流，必然是均匀湍流，因为湍流的任何不均匀性各向同性湍流，必然是均匀湍流，因为湍流的任何不均匀性都会带来特殊的方向性。都会带来特殊的方向性。在实际中，只存在局部各向同性湍流和近似各向同性湍流，在实际中，只存在局部各向同性湍流和近似各向同性湍流，如：蜂窝格栅下游较远处；大多数真实流动的耗散涡也具有如：蜂窝格栅下游较远处；大多数真实流动的耗散涡也具有各向同性各向同性各向同性下，各向同性下， ，雷诺应力