A(4)9(5~7)曲面积分

1、一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分的联系三、两类曲面积分的联系1. 设所讨论的曲面都是光滑的设所讨论的曲面都是光滑的，双侧的双侧的。如一张包围某一空间区域的闭曲面如一张包围某一空间区域的闭曲面，就有就有外侧与内侧之分外侧与内侧之分。一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 ( (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的) )曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧上侧上侧下侧下侧外侧外侧内侧内侧大家大概都知道莫比乌斯带。大

2、家大概都知道莫比乌斯带。 你可以把一条纸带的一端扭你可以把一条纸带的一端扭180度，再和度，再和单侧曲面例子单侧曲面例子 ( 注注:本课程不讨论此类曲面本课程不讨论此类曲面 )另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一张只有一个这也是一张只有一个侧侧面的曲面。面的曲面。用法向量的指向用法向量的指向方向余弦方向余弦 cos cos cos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 时时, 说明流说明流入入 的流体质量少于的流体质量少于 当当 0 时时, 说明流说明流入入 的流体质量多于流的流体质量多于流出出的的, 则单位时间通过则单位

3、时间通过 的流量为的流量为 当当 = 0 时时, 说明流入与流出说明流入与流出 的流体质量相等的流体质量相等. n 流流出出的的, 表明表明 内有内有源源; 表明表明 内有汇内有汇;根据高斯公式根据高斯公式, 流量也可表为流量也可表为dxdydzzRyQxP n(1)方向向外的任一闭曲面方向向外的任一闭曲面, 记记 所围域为所围域为 , 设设 是是包含点包含点 M 且且为了揭示场内任意点为了揭示场内任意点M 处的特性处的特性, M在在(1)式两边同除以式两边同除以 的体积的体积 V, 并令并令 以以任意方式缩小至点任意方式缩小至点 M 则有则有),(M 记作记作VM limdxdydzzRyQ

4、xPVM 1lim),(lim zRyQxPM MzRyQxP 此式反应了流速场在点此式反应了流速场在点M 的特点的特点: 其值为正其值为正, 负或负或 0, 分别反映在该点有流体涌出分别反映在该点有流体涌出, 吸入吸入, 或没有任何变化或没有任何变化. ),( 定义定义:设有向量场设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 其中其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数, 是是场内的一片场内的一片则称则称有向曲面有向曲面, 其单位法向量其单位法向量 n, ndSA为向为向量场量场 A 通过有向曲面通过有向曲面 的通量的通量(流量流量) .在场中点在

5、场中点 M(x, y, z) 处处 称为向量场称为向量场 A 在点在点 M 的散度的散度.记作记作AdivzRyQxP 二二. 通量与散度通量与散度0div A表明该点处有正源表明该点处有正源, 0div A表明该点处有负源表明该点处有负源, 0div A表明该点处无源表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度散度绝对值的大小反映了源的强度.0div A若向量场若向量场 A 处处有处处有 , 则称则称 A 为无源场为无源场. 例如例如, 匀速场匀速场 ),(,为常数为常数其中其中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是无源场故它是无源场.说明说明: 由引例可知由引例可知, 散度是通

6、量对体积的变化率散度是通量对体积的变化率, 且且例：例：设设为一光滑闭曲面为一光滑闭曲面， 处的单处的单),(zyxn上点上点为为 位外法线向量，位外法线向量，,kzjyixr ,),cos(2dSrnr 求求(1)不包含原点不包含原点；的表面外侧。的表面外侧。2222:)2(azyx 由题意，由题意，的的向向径径，上上任任一一点点为为),(zyxr ,coscoscoskjin nrnrnr ),(cos= 222coscoscos 222zyx coscoscoszyx cosrx cosry cosrz SdrzryrxrI)coscoscos(12 SdrzryrxrI)coscosc

7、os(12 ,),cos(2dSrnr 求求dydz3rx3ry dzdx3rz dxdy(1) 不包含原点不包含原点。则则 P, Q, R 在在上连续上连续, 0 zyxRQP所以所以 I = 0(1) 因为因为不包含原点不包含原点， xP,3522rxr ,3522ryrQy ,3522rzrRz (2)在在上上，r = a ,dxdyrzdzdxrydydzrxI333 dxdyzdzdxydydzxa 31 vda)111(13的表面外侧。的表面外侧。2222:)2(azyx 包含原点包含原点, 则不可直接用高斯公式。则不可直接用高斯公式。.4 vda33(内无奇点内无奇点)334a

8、33a ,),cos(2dSrnr 求求因为在球面上因为在球面上，点的向径与该点法向量点的向径与该点法向量(x,y,z)nn方向一致方向一致，, 0),( nr, 1),(cos nrSdrnr 2),(cosSda 21 Sda21的表面外侧。的表面外侧。2222:)2(azyx 又在又在上上，r = a ,2241aa .4 Sdr 21,),cos(2dSrnr 求求xyz内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用高斯公式及其应用公式公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条

9、件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP2. 通量与散度通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),(RQPA SnAdzRyQxPAdiv思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为高斯高斯(1777 1855)德国

10、数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 习题习题9 6 (A)1(1, 3，4，5)习题习题9 6 (B) 1, 2一、一、 设设为分段光滑的空间有向为分段光滑的空间有向闭闭曲线曲线，是是以以为边界为边界的分片光滑有向曲面的分片光滑有向曲面,

11、的的正向与正向与的侧符合的侧符合, 函数函数),(zyxP在在内内的的一一个个空空间间在在包包含含 ),(),(zyxRzyxQ区域内具有一阶连续偏导数，则有区域内具有一阶连续偏导数，则有 n分片光滑有向曲面分片光滑有向曲面的边界曲线为的边界曲线为分段光滑的空间有向分段光滑的空间有向闭闭曲线曲线.又可写成：又可写成：dSyPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)( 其中其中cos,cos,cos 为有向曲面为有向曲面 的单位法向量的单位法向量。 RQPzyxdxdydzdxdydzdSRQPzyx coscoscos .RdzQdyPdx .RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdx

12、xRzPdydzzQyR)()()( 或或 例例1. 求求 dzxydyzxdxyz)()()( 是从是从 A(a,0,0) 经过经过 B(0,a,0) 和和 C(0,0,a) 回到回到A(a,0,0) 的三角形的三角形。0 xyzA(a,0,0)B(0,a,0)C(0,0,a)围成的平面围成的平面 : ),0(azyxazyx 取上侧取上侧。用用Stokes公式。此时公式。此时，, yzP , zxQ xyR dzxydyzxdxyz)()()( xyzxyzzyxdxdydzdxdydz dxdydzdxdydz2dS)313131(2 dS32 xyDdxdy22)1()1(13223a

13、 aaxyD0 xyzA(a,0,0)B(0,a,0)C(0,0,a)例例 2 2 计算曲线积分计算曲线积分 dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其中其中 是平面是平面 23 zyx 截立方体截立方体: : 10 x, , 10 y, , 10 z 的表面所得的截的表面所得的截 痕痕, ,若从若从 ox轴的正向看去轴的正向看去, ,取逆时针方向取逆时针方向. . 取取为平面为平面23 zyx 的上侧被的上侧被 所围成的部分所围成的部分. . 则单位法向量则单位法向量.1 , 1 , 131 noxyz11191年北京市数学竞赛题年北京市数学竞赛题取取为平面为平面23 zyx 的上

14、侧被的上侧被 所围成的部分所围成的部分. . 则单位法向量则单位法向量.1 , 1 , 131 n即即,31coscoscos dSyxxzzyzyxI 222222313131由由斯托克斯公式斯托克斯公式oxyz111 dSzyx)(34 xyDdxdy32334.29 即即,31coscoscos dSyxxzzyzyxI 222222313131由由斯托克斯公式斯托克斯公式oxy212123 yx21 yx; 3 dxdydS ;, xyD得得投影投影 .23 zyx8121 xyDS.43 例例3.,32 dzyzxzdyydx其中其中 是圆周是圆周. 2,222 zzyx若从若从 z

15、 轴正向看去轴正向看去, 这圆这圆周是取逆时针方向。周是取逆时针方向。x z y dzyzxzdyydx23 23yzxzyzyxdxdydzdxdydz dxdyz)3( 422)32(yxdxdy 20 .2),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 设向量场设向量场称为向量场称为向量场设有向设有向曲面曲面上点上点 (x, y, z) 处的单位法向量为处的单位法向量为,coscoscoskjin 的正向边界的正向边界曲线曲线上点上点 (x, y, z) 处的单位切向量为处的单位切向量为,coscoscoskjit 则则斯托克斯公式：斯托克斯公式：sdAdSArottn )(或或则向量则向

16、量记作记作沿有向沿有向闭闭曲线曲线的曲线积分的曲线积分A称为向量场称为向量场沿有向沿有向闭曲线闭曲线的的。A向量场向量场沿有向沿有向闭闭曲线曲线的的等于等于A向量场向量场的旋度场通过曲线的旋度场通过曲线所张的曲面所张的曲面的的 (的正向与的正向与的侧符合右手法则的侧符合右手法则)。,zyx =(哈密尔顿算子哈密尔顿算子)kzjyix zRyQxP kyPxQjxRzPizQyR)()()( 定积分定积分二重积分二重积分三重积分三重积分D曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分一型：对弧长一型：对弧长二型：对坐标二型：对坐标一型：对面积一型：对面积二型：对坐标二型：对坐标Stokes 公式公式Gauss

17、 公式公式Green 公式公式 ,ba内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd在内与路径无关在内处处有在内处处有),(rotRQPxQyP,yRzQ,zPxR2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则RQPkjizyx0zuyuxu,3. 场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设, ),(zyxuu , ),(RQPA 梯度梯度:uradgu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotAAdivA散度散度:旋度旋度:则思考与练习思考与练习,222zyxr设则.)radg(rot;)radg(divrr提示提示:rradgrzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )