2.1 晶体的对称原理

1、主要内容：第一章：晶体的对称原理第二章：对称元素的组合第三章：晶体所有可能的对称组合第四章：空间点阵第五章：晶体的定向及晶系第六章：等效点系第七章：单形和复形及其例举问题的提出1：怎么从外形上辨别这些晶体？问题的提出2：人工宝石是宝石，还是假宝石？ 人工宝石确实是宝石，那么关于“假”这个问题怎么解释呢？从广义上来说，不是天然的，就可以被算做“假”的。从狭义上来说，“假”宝石一般是用其他品种的宝石冒充来的，比如说用塑料、水晶等冒充钻石，或者用锆石、碳化硅冒充钻石，因为不是同一类的东西，所以可以毫无疑问的说这是假的。 说点题外话，在市场上，商家听到“这颗红宝石是不是真的”这种问题，就会知道顾客是外

2、行。如果遇上奸商，人家就会狠狠宰你一刀。因此，如去珠宝店买东西，不妨问问商家“这颗红宝石是不是合成的啊？”商家一听就知道顾客还是懂点知识的，也就不会太过分了。第一章第一章 晶体的对称原理晶体的对称原理对称：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复，既相对又相称对称操作对称操作( (symmetry operationsymmetry operation) )能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复的动作(对称操作)-包括旋转、反映、反演、旋转反映、旋转反演。1.1 1.1 宏观对称要素宏观对称要素-有限图形的对称。 -对称要素的组合在空间相交于一点（没有平移操作）对称元素对称元素(s

3、ymmetry element)在进行对称操作时所凭借的几何要素点、线、面点、线、面等。对称元素种类对称元素种类对称中心对称中心(center of symmetry)；对称面对称面(symmetry plane)对称轴对称轴(symmetry axis)；倒转轴倒转轴(rotoinversion axis)映转轴映转轴(rotoreflection axis)1.1 1.1 宏观对称要素宏观对称要素对称面对称面P 操作为反映。 可以有多个对称面存在，如3P、6P等.该切面不是矩形体的对称面该切面是对称面对称元素和相应的对称操作：对称元素和相应的对称操作：对称面：对称面：对称自身对称自身L1

4、什么操作也没有进行 最低的一种对称元素.对称轴对称轴Ln 操作为旋转 。其中n代表轴次，指旋转360度相同部分重复的次数。旋转一次的角度为基转角 ，关系为：n=360/ 。二次旋转轴二次旋转轴L L2 2 投影符号：或三次旋转轴三次旋转轴L L3 3 投影符号：极射赤平投影图四次旋转轴四次旋转轴L L4 4 投影符号：极射赤平投影图六次旋转轴六次旋转轴L L6 6 投影符号：极射赤平投影图晶体的对称定律晶体的对称定律- - - -开普勒的老问题：为什么天上不下五角形的雪花？n由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，不可能

5、出现n = 5， n 6的情况。n为什么呢？1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。 对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平面点阵上必有过O点的直线点阵AA, 其素向量为a. 利用对称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度,产生点阵点B与B, BB必然平行与AA 证明证明BBAA-aanO2 /n2 /nmcosn=360/-2-11802-1-1/212030090411/26062136012222B BmaOB cosacosnn22mcosn21cosn122mm或BBAA-aanO2 /

6、n2 /n证明证明对称中心对称中心CC 操作为反伸(演)。只可能在晶体中心，只可能一个。反伸操作演示：反伸操作演示：但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平行、同形等大。行、同形等大。对称中心：习惯符号对称中心：习惯符号C C一次旋转反伸轴Li1极射赤平投影图旋转反伸轴旋转反伸轴 L Li in n 操作为旋转+反伸的复合操作。 L Li i 1 1= C= C二次旋转反伸轴二次旋转反伸轴L Li i2 2极射赤平投影图 Li 2= P三次旋转反伸轴Li3极射

7、赤平投影图 Li 3= L3C四次旋转反伸轴四次旋转反伸轴L Li i4 4极射赤平投影图极射赤平投影图 L Li i 4 4六次旋转反伸轴六次旋转反伸轴L Li i6 6极射赤平投影图极射赤平投影图 L Li i 6 6= L= L3 3P Pn值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，Li6 = L3 + Pn但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。n但

8、是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误认为L2。n我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。n因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。一次旋转反映轴Ls1旋转反映轴 Lsn ：操作为旋转+反映的复合操作六次旋转反映轴六次旋转反映轴L Ls s6 6极射赤平投影图对称轴一次二次三次四次六次对称元素直线对称变换围绕直线的旋转基转角3601801209060习惯符号L1L2L3L4L6国际符号12346等效对称要素独立独立独立独立独立图示记号宏观晶体的宏观对称要素对称元素符号对称中心对称面旋转反伸轴三次四次六次对称元素点平面

9、直线和直线上的定点对称变换对于点的倒反 对于平面反映绕直线旋转和点的倒反基转角3601801209060习惯符号CPLi3Li4Li6国际符号1m346等效对称要素独立独立L3+C独立L3+P图示记号或C双线或粗线宏观晶体的宏观对称要素 对称操作 对应点的坐标变换(x, y, z) (X, Y, Z) ororzayaxaZzayaxaYzayaxaX333231232221131211zyxZYX333231232221131211aaaaaaaaa对称变换矩阵对称变换矩阵 对称元素之对称操作对称元素之对称操作变换变换矩阵：矩阵：对称轴对称轴( (没有没有5- 5-fold fold 和和

10、6-fold 6-fold ) )6 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 66 61- 1-foldfold2- 2-foldfold3- 3-foldfold4- 4-foldfold6- 6-foldfold1000cossin0sincos其中其中 为基转角为基转角变换变换矩阵矩阵mzyxzyx100010001( m 包含x、y轴)对称面对称面( (m)m)m包含x、z轴 ?m包含y、z轴 ?m在其他位置 ?100010001对称中心对称中心(C, 1)(C, 1) 变换变换矩阵：矩阵：假想的几何点，相对于这个点的反伸(x, y, z) (-x, -y, -z)倒转轴倒转轴( (L Li in n) )之对称操作之对称操作 倒转轴（反轴）：围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸 = 对称轴对称中心变换变换矩阵：矩阵： 种类Li1 = CLi2 = PLi3 = L3 +CLi4Li6 = L3 +P1000cossin0sincos1000100