弹性力学第3章——平面问题的直角坐标解答

1、弹性力学及有限元法柴华友QQ：1298352089Email： Chy_ 武汉工程大学，资源与土木工程学院，430073 第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答3.2 位移分量的求出3.3 简支梁受均布荷载3.4 楔形体受重力和液体压力3.5 级数式解答3.6 简支梁受任意横向载荷3.7 算例1、常体力情况下，相容方程简化为（调和方程） 02yx2、如果满足以下三个条件：（1）体力为常量；（2）边界形状相同且均为应力边界条件（无位移条件）；（3）弹性体为单连体（位移单值条件自然满足）。则求解应力分量 和 的平衡

2、微分方程、相容方程、应力边界条件中均不包含任何弹性常数，得出的应力分量与弹性常数无关。yx,xy3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答上一章回顾3、常体力情况下，平衡微分方程是非齐次微分方程，它的解答是任一特解和对应的齐次微分方程的通解之和。 特解： ， ，xfxxyfyy0 xy通解： ， ，22yx22xyyxxy200yxyyxxyxfxyfyx00 xyyxxyyxyx全解： ， ，xfyxx22yfxyy22yxxy2 其中 称为艾里应力函数，是一个未知函数。艾里应力函数的引入在一定程度上简化了平面问题的求解：从求解三个应力未知函数转化为求解一个应力函数。特别需要指出的是，推导应力函数

3、 的过程本身也证明了 的存在性。 yx, 4、用应力函数求解平面问题需满足的条件： （1）相容方程： ； （2）应力边界条件（全部为应力边界条件）； （3）对于多连体，须满足位移单值条件。 04 ysxyyxsyxxflmfml22yx22xyyxxy2022022222222xyyx3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答应力函数满足双调和方程(用应力函数表示的变形协调）应力分量可由应力函数计算（由平衡微分方程）力边界条件3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答弹性力学平面问题应力解法的数学模型（相容方程、边界条件应力函数表示）上在上在内在uSvvuuSYymyxlXyxmxlVyyxx, 0222

4、22224422444(3-1) 在给定边界条件的情况下用直接积分去求解弹性力学的基本方程，确定物体内的应力、应变和位移，一般地讲是很困难的，只有对一些简单的问题才适用。所以，往往对具体问题采用逆解法或半逆解法求解，而解的唯一性定理为弹性力学问题的逆解法提供了一个理论根据。问题归结为v 一是如何构造可以作为应力一般解的双调和函数，即寻求双调和函数的一般解；v 二是对具体问题(即给定边界条件下的问题)求解。逆解法 这种解法有两种含义。 一种含义是先设定各种形式的满足双调和方程的应力函数 ，然后求出应力分量，再根据应力边界条件，求出边界上对应的表面力（见应力函数表示的力边界条件），从而得知所设定的

5、应力函数可以解决什么样的力学问题。 另一种含义是：通过材料力学或某种分析得到某问题的可能解答，然后检查它是否满足全部方程和边界条件。半逆解法 本解法是根据具体问题中边界的几何形状和受力特征，或某些问题的解答，或通过某种分析，凑出一部或全部应力分量的函数形式或应力函数的形式，然后检查全部边界条件，以最后确定这些函数，若不满足，或出现矛盾，则需修改原来所设的函数，重新检查，一直到满足为止。半逆解法系由圣维南提出，所以又称圣维南解法，或凑合解法。多项式解答应力函数取多项式形式经过验证，下列函数,322443232xyxyyxxyyxyyyxxx都是满足双调和方程的（代入前面调和方程），因而，它们都是

6、可能的应力函数。只要根据物体边界上的外力分布，从上列各函数中选一些双调和函数进行组合，即得443422434443323233322222110yexydyxcyxbxaydxycyxbxaycxybxaybxaa(a) 既然双调和方程是一个线性方程，因此，经叠加后的式(a)也仍然是一个双调和函数。不过，当式(a)中的四次项和四次以上的多项式代入双调和方程后，各系数必须满足由此而建立的关于该系数的代数方程。 因为在双调和方程中有最高的四阶导数，要使得方程满足高阶项必须满足一定的条件。 下面给出一些应力函数，观测这些应力函数可以满足的应力边界。反过来，这些结果有助于在出现相同的应力边界条件情况下

7、，选择应力函数。04例3-1 选取式(a)中的一次项作为应力函数，不计体积力求在图示矩形板边界上对应的表而力。ABCDoxy解：所取一次式为ybxaa110不论系数a0、a1和b1取何值， 总是满足双调和方程。由公式(2-31)求得应力分量0, 0, 022222yxxyxyyx不论弹性体为什么形状，也不论坐标系如何选择，由应力边界条件总能得出。由此可见：0, 0YXv 线性应力函数总是对应于自然状态v 在任何平面问题的应力函数中，加上或减去一个线性函数并不影响求解应力例3-2 选取(a)中的二次式为应力函数，不计体积力试求在上例图中所示矩形板(单位厚度)边界上对应的表面力。 解：所取二次式为

8、ABCDoxy22222ycxybxa不论系数a2、b2和c2取何值， 总是满足双调和方程。为简明起见，现分别考察 式中的每一项，即令1= a2x2，2= b2xy， 3= c2 y2。这时， = 1 + 2 + 3 ，看其每一项所能解决的问题。022222222xyyx 对于1= a2x2 ，代入式(2-31)，得0,2, 0222222yxaxyxyyxABCDoy对于图示的矩形板和坐标方向，当板内发生上述应力时，由应力边界条件可知22, 0aYX22, 0aYX0, 0YX0, 0YXAB边CD边BC边DA边YlmXmlsxyysyxx说明矩形板左右两边界上没有面力作用，而上下两边分别受

9、有向上和向下的均布面力2a2。可见，应力函数1= a2x2 能解决矩形板在y方向受均匀拉力(设a20)或均布压力(设a20)或均布压力(设c2 0 , b 0, c 0)检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有20, 0, 02244444yxyx04(可作为应力函数 ) 3计算应力分量：byxxy2cyx222axy222(1)对应于 ， 应力分量 2ax0,2, 0yxxyyxaxyoa2a22ax结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（a）。y0a0a(2)对应于 ， 应力分量 bxybyxxyyx, 0, 0结论：应力函数 能解决矩

10、形板受均布剪力问题。bxyxyobbbbx(3)应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。2cy0c0cxyoc2c2xy2c2c2abxy结论2： 二次多项式对应于均匀应力分布。22222222 2xxyyxyxyccyaaxbbx y xy0试求图示板的应力函数。例：xy000( , )x yxy 202),(yyx22222222 2xxyyxyxyccyaaxbbx y 22cybxyax图a) a=0,b=0, 2/0c图b) a=0,c=0, 0b三、 三次多项式（1）3223dycxyybxaxa、b、c 、d 为待定系数。检验(x,y) 是否满足

11、双调和方程，显然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作为应力函数 )(假定：体力 = 0)（3）计算应力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy62223ay对应的应力分量：0, 0,6yxxyyxay结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。（a）MMhl2h2hyxx图xy图3-21a 的系数决定于力偶矩的大小。取单位宽度的梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩为 。M在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为 ，这就要求：M22220,hhhhxxdyydyM2222260,6hhhhaydyay dyM前一式总能满足

12、，而后一式要求：32hMa 代入式（a）0, 0,123yxxyyxyhM将式（a）中的 代入，上列二式成为：x图3-2MMhl2h2hyxxy1因为梁截面的惯矩是 ， 所以上式可改写为：1213hI0, 0,yxxyyxyIM结果与材料力学中完全相同。注意： 对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。lhlh但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。xy12h2hllMMdh3mindh3max说明：(1)组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则

13、此结果不精确，有误差；(3)当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。即在梁小（次要）边界作用力偶可取应力函数3ay检验(x,y) 是否满足双调和方程2cyx8244ax2444ey2444代入：04得033eca024824eca432234eydxyycxybxax可见，对于函数：033eca其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数：四、四次多项式432234eydxyycxybxax13应力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 应力分量为 x、y 的二次函数。4特例：44eyax 212eyx0 xy212a

14、xy（须满足：a + e =0）总结：（多项式应力函数 的性质） （1） 多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。04多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。04多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3） （4） 用多项式构造应力函数(x,y) 的方法 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。例：图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函

15、数，并指出能解决什么问题。式中k为常数。xyOlhhkxyhkxy23233解：(1)应力分量：yhkxyx32212022xyhkhkyyxxy236322边界条件：02326322hkhhkhyxy02hyy显然，上下边界无面力作用。上下边界(2)xyOlh:0 x01222322hhhhxdyhkxydy012223222hhhhxdyhkxyydy左边界223222236hhhhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232k右边界: lx 01222322hhhhxdyhklydy22322212hhhhxdyhklyydy2233312hhhklykl223222236hh

16、hhxydyhkhkydykhkyhkyhh2233232kkl结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。 0 , 0 ,6 xyyxay ayx22yx3ay , 0)( , 0)(2/2/ hyyxhyy , 0)( , 0)(0 lxxyxxy 边界条件h/2h/2xyM3-2 位移分量的求出 以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，本节说明如何由 求出形变分量、位移分量？xyyx,xyyx,0)(2/2/, 0 dyFhhlxxN 2)2(426)(332/022/2/, 0ahhadyyaydyMhhhlxx 32hMa 0 , 0

17、 ,123 xyyxhMy 1213hI 0 , 0 , xyyxIMy 纯弯曲问题材力解是精确解。注意：v对于细长梁，应力边界条件在上下表面必须得到精确满足，而在两个端面上，只需在圣维南概念下得到满足即可。即：dyFhhlxxN 2/2/, 0)( ydyMhhlxx 2/2/, 0)( dyFhhlxxyS 2/2/, 0)( 3-2 位移分量的求出xyl1hMM一、 形变分量与位移分量12/3hMyyIMx0 xy0y平面应力情况下的物理方程：1、形变分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)将式（a）代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)二、位移分量将式（b）代入几何方程得

18、：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)将式（c）前两式积分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：为待定函数。0)()(21xfyfxEIM)()(12yfxfxEIM整理得：（仅为 x 的函数）（仅为 y 的函数）)(),(21xfyf0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)式中：u0、v0、 由位移边界条件确定。)(2xfxEIM)(1yf(e)式中： 为常数。 积分上式，得01)(uyyf022)(vxxEIMxf将上式代入式（d），得要使上式成立，须有（1）讨论：常数00 xEIMyuxx当 x

19、 = x0 =常数xEIMyu u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00 xEIMyuxxyu0|xx说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面 材力中“平面保持平面”的假设成立。（2）常数EIMxv22102222vxxEIMyEIMv将下式中的第二式对 x 求二阶导数：0uyxyEIMu说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即EIMxv221 材料力学中挠曲线微分方程将其代入(f)式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2将其代回(f)式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20 与材力

20、结果相同三、位移边界条件的利用1 两端简支02222vxxEIMyEIMv、(f)00ylxv000yxv000yxu0uyxyEIMuxylMM2 悬臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)边界条件0lxv0lxu22hyh由式（f）可知，此边界条件无法满足。0, 000ylxylxvu（中点不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）代入式（f），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMvxylMMh/2h/2yxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)挠曲线方程：20)

21、(2|xlEIMvy与材料力学中结果相同说明： （1） 求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移边界条件，确定常数。xylMMh/2h/2（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、 作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：0, 000ylxylxvu（中点不动）00ylxyu（中点处竖向线段转角为零）00u得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：00uEIMlv220EIMlla2 已知悬挂的单位厚度板，其长度为 ，宽度为板材料的比重为

22、 ，试求在自重作用下板的应力分量和位移分量。)(xlx0 xyy解：将应力分量带入物理方程,0 xxxyxylxlxEEEE 带入几何方程,0 xyxylxlxuvvuxEyExy 上两式积分后可得 12/2,lxlxuxfyvyfxEE （a）（b）（c）自重作用下板的应力分量将（c）式带入（b）式后可得 120fyfxyyEx移项后可得 2121020200,2/2,2fxfyyxyEfyyyufxxvElxlxuxyyu vyxvEEE 边界条件： 0000000,0,0 xxyyxyvuvx（d）将（d）式代入边界条件000,0,0uv222,2lxulxxyvyEE 代入200/22

23、lxuxyyuEElxvyxvE 可得试检验223126yaya能否做为应力函数?若能，试求应力分量(不计体力)，并画出如图所示杆件上的面力，指出该应力函数所能解的问题。 满足双调和方程,能作为应力函数。 223126yaya应力分量为： 21ayax0 xyy2Na bhMNe1/2a h22112ahae x方向的合力为，若偏心距为e，则弯矩为，由弯矩产生的最大正应力为，可以求得因此，所解的问题是偏心距为e的拉伸问题 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。hl 2qqlqlqqlllox

24、y2h2h图 用半逆解法。假设 只是 的函数：yy)(yfy则：)(22yfx对 积分，得：)()(1yfyxfxx)()()(2212yfyxfyfx解之，得：其中， 、 是任意函数，即待定函数。)(1yf)(2yf（a）（b）123-3 简支梁受均布载荷3-3 简支梁受均布载荷xyllqlql1yzh/2h/2q一、应力函数的确定1分析：y 主要由弯矩引起；x 主要由剪力引起；xy由 q 引起（挤压应力）。又 q =常数，图示坐标系和几何对称， 不随 x 变化。y推得：)(yfy 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图所示。取单位宽度

25、的梁来考虑，可视为平面应力问题。用半逆解法。hl 2qqlxyllqh/2h/22由应力分量表达式确定应力函数 的形式：),(yx)(22yfxy积分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函数)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy(3) 由 确定：04)(),(),(21yfyfyf代入相容方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx方程的特点： 关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立

26、。即上述方程在此区域有无穷个根。非零解的条件系数矩阵行列式为零。由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf对前两个方程积分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此处略去了f1(y)中的常数项对第三个方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412积分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)xyllqlq

27、l1yzh/2h/2q)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)将(c) (d) 代入 (b) ，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此处略去了f2(y)中的一次项和常数项式中含有9个待定常数。)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)2. 应力分量的确定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)3. 对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的

28、应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由 q 对称、几何对称：yx, x 的偶函数xy x 的奇函数？由(f),(g),(h)得：026 FEy0232GFyEy要使上式对任意的 y 成立，须有：0GFE)()();()(xfxfxfxf)(xyxyy)(xy力边界条件KHyByAyBAyxx2622)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy（2）边界条件的应用：(a) 上下边界（主要边界）; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23

29、代入应力公式xyllqlqlqKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )(b) 左右边界（次要边界）： （由于对称，只考虑右边界即可。）, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxxxyllqlqlKHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhqqlly

30、hqyhqlhy2232323620)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223可见，这一条件自动满足。qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxxxyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)由上式可得截面上的应力分布：三次抛物线22112hyhyqy22346yhxhqxy图x2h2h图y图xy)()(4. 与材料力学结果比较 （略）材力中几个参数：截面宽：b=1 ,3121hI截面惯矩：静矩：2822yhS弯矩：)(222xlqM剪力：qxQ将其

31、代入式 ( p ) ，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）021120534222IbQShyhyqhyhyqyIMxyyx(3-6)在式(3-6)中，虚线左边的项与材料力学的解答相同，而右边的项是弹性力学所给出的修正项。 y 表示纵向纤维的挤压应力，而在材料力学中这一应力则被假定为零；这里的剪应力xy 与材料力学结果相同；x 的表达式中的第一项与材料力学结果相同，第二项表示弹性力学提出的修正项。对于通常的长而低的梁，修正项很小，可以忽略不计。对于短而深的梁，修正项不能被忽视。xyllqlql1yzh/2h/2q53422hyhyqyIMx22112hyh

32、yqybIQSxy（3-6）比较，得：（1）xxy第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。（2）y为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。注意： 按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：lxxX53422hyhyq说明式（3-6）在两端不适用。解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。xyyx,由 与应力函数 的关系式，求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。xyyx,),(yx（4）（5）将具有待定

33、函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。),(yx04),(yx由 与应力函数 的关系式求得应力分量 xyyx,),(yx由边界条件确定 中的待定常数。xyyx,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：附：应力函数确定的“材料力学方法”（略）要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：)()(),(ygxfyx设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数。)()(ygxf或04材力中，应力分量与梁内力的关系为：)()(2yfxQxy)(

34、)(1yfxMx式中： M(x) 弯矩方程；Q(x) 剪力方程。例：悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：应力函数 及梁内应力。xyObl解：(1) 应力函数的确定xQM取任意截面，其内力如图：bxQ)(0)()()(xlbbxlxM取 作为分析对象，可假设：xy)()()(ybfyfxQxy（a） f(y)为待定函数由 与应力函数 的关系，有：)(2ybfyx（b）对 x 积分一次，有：)()(0yfybxfyxy对 y 再积分一次，有：其中：dyyfyf)()(02dyyfyf)()(1)()()(321xfyfybxf（c）)()(0yfybxfy04由双调和方程确定待定函数：0244224

35、44yyxx0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxf（d）要使上式对任意的 x，y成立，有0)()()4(3)4(2xfyf0)()4(1yf（e）（f）由式（ e）求得CyByAyyf231)(（g）由式（ f）得)()4(3xf)()4(2yf（h）（i）积分式（ h）和（i）得2232423)(xCxBxAxf2131412)(yCyByAyf（j）（k）xyOblxQM)(223242xCxBxA)(23CyByAybx)(213141yCyByA( l )包含9个待定常数，由边界条件确定。(2) 应力分量的确定1121222612)26(CyByABAybxyx)23(

36、22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy( m )(3) 利用边界条件确定常数xyOblxQM1121222612)26(CyByABAybxyx)23(22CByAybyxxy2222222612CxBxAxy(3) 利用边界条件确定常数22, 0byxybyylxxylxx, 022, 0byxybyy( o )代入可确定常数为：0222CBA0111CBABAbC1代入式（m）得xyOblxQMxy0 x0yxy注：也可利用 M（x）= 0，考虑0)()(yfxMx进行分析。此时有：022yx)(1xfy)()(21xfxyf)(),(21xfxf为待定函数，由相容方程

37、确定。llqlql1yzh/2h/2qqxxQ)(剪力：可假设剪应力：)(yqxfxy)(yxfy0y)(yfy 图示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为：yFxExyDxyCxyBxyAx333533求简支梁的应力分量(体力不计)。解 (1)由满足相容方程确定系数A与B的关系： BABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444yFxExyDxyCxyBxyAx333533 (2)含待定系数的应力分量为 )3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxyyAxxyxx (3)由边界条件确定待定系数0)(6

38、2626 ,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq0233252922422FhDCxhBhAx0)(2hyy0626263ExhCxhAx0)(2hyxy0233252922422FhDCxhBhAx , , lhqClhqBlhqAlqE4,5,3,120303006804,6)(02030220lqlhqFhDhlqdyhhxxy, 0)(22hhlxxydy022DBhAl 由此可解得 lhqhlqFhlqlhqD804,31000300由以上式子可求得(4)应力分量为 10344432103222222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhq

39、hlxyxylhqxyyx 03292ChA0232524FDhhB0 x0 xx(5)分析a.因对x取任意值时都成立，边界条件式(6)可分解为以下两个等式： , b.在处,能精确满足，由此得知在简支梁左端为精确解。3-4 楔形体受重力和液体压力要点半逆解法（因次或量纲分析法）问题的提法：楔形体，下部可无限延伸。g侧面受水压作用：)m/N(3（水的容重）；自重作用：g)m/N(3（楔形体的容重）；1. 应力函数及应力分量(1) 分析：(a),gg,x 的量纲为：,gg)m/N(3 的形式应为：xgygxgygx,的线性组合。x 的量纲为：2N/m(b) 由 推理得：22yx应为 x、y 的三次

40、函数。应力函数可假设为：3223eycxyybxaxgxyOg求：楔形体应力分布规律 。 xyyx,ggyxyO(2) 应力分量考虑到：X = 0，Y = （常体力）gcybx22Xxyx22eycx62Yyxy22yxxy2gybyax26(a)显然，上述应力函数满足相容方程。2. 边界条件的利用(1) x=0 （应力边界）：gyxx000 xxygyey602 cy0c6ge代入式（a），则应力分量为：3223eycxyybxaxgggyxyON2bxxy2gyxgybyaxy26(b)(2) ( 应力边界）： tanyx 0YX0tantanxyxxyml0tantanxxyxxmlco

41、sl其中：sin将(b)代入，有0)tan2()(bymgyl0)2()(bxmgyl0)26()2(gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(gybyaymbyl0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl)2cos(m代入，可求得：gggyxyObxxy2gyxgybyaxy26(b)3cot3cot6ggacot2gb 代入式（b），有：(3-7)xyx)(y)( 李维（Levy）解答沿水平方向的应力分布与材力结果比较： 沿水平方向不变，在材力中无法求得。 沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。 沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。gyxyggxggy

42、)cot()cot2cot(232cotgxyxxyxyxygr结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。（3）实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。 三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。工程应用：ggyxyOxyx)(y)(沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布g 求使坝稳定时的角度 ，称为安息角。3-5 级数式解答问题的提出多项式解答： 只能求解载荷简单，且连续分布的问题。不能求解载荷复杂，且间断分布的问题。级数式解答

43、：（属逆解法）1. 级数形式的应力函数假设：)(sin),(yfxyx(a)式中：为任意常数，其量纲为 ,1长度)(yf为 y 的任意（待定）函数。)(sin)2(2224yfxyx)(sin444yfxx)(sin)4(44yfxy将其代入 ：04载荷复杂，且间断分布的问题，可由级数式解答解决。其基本思路是将应力函数 分解成关于 xy 的两个单变量函数的乘积。 分离变量法。),(yx有：)(cos),(1yfxyx442244442yyxx)(sin)(sin2)(sin)4()2(24yfxyfxyfx0)()(2)(sin4)2(2)4(yfyfyfx(b)解上述方程，得0)()(2)(

44、4)2(2)4(yfyfyf其中：A、B、C、D 都是任意常数， 将其代入应力函数 ，得ychyshyBchysh)(DyCyAyf(c)再取如下应力函数：y)chyshyBchysh(sin),(DyCyAxyx式中：也为任意常数 ,为 y 的任意（待定）函数。)(1yf类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：(d)显然，将式(c) 与(d)相加，仍为可作为应力函数：)chshchsh(cos),(yyDyyCyByAxyx1)chshchsh(cosmmmmmmmmmmyyDyyCyByAx)chshchsh(sin),(yDyyCyyByAxyx(e)取 和 的一系列值，即取：m,m)(

45、m将由此构成的 加起来，有),(yx)chshchsh(cosyyDyyCyByAx1)chshchsh(sinmmmmmmmmmmyyDyyCyByA(3-8)显然，式(3-8) 满足相容方程，可作为应力函数。且在其上再加若干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。2. 级数形式的应力分量将上述应力函数 代入应力分量表达式（2-26），有),(yx12ch)2(sh)2(cosmmmmmmmmmmmyCByDAx1222ch)2(sh)2(sinmmmmmmmmmmmxyCByDAxyyyDyyCmmmmchshyyDyyCmmmmchsh122myx12mxyyx(3-9) 式（3-9

46、）满足相容方程、平衡方程，只要适当选取： 使其满足边界条件，即为某问题的解。mmmmmmmmmmDCBADCBA,;,3-6 简支梁受任意横向载荷问题： 设简支梁的跨度为l ，高度为 H，坐标轴如图3-7所示，上下两边的横向载荷分别为 q(x) 及q1(x) , 左右两端的反力分别为 R 及R1 。 R1R)(xq)(1xqlHxyo图3-7边界条件1. 边界条件的级数表示上下边界：0Hyxy)(0 xqyy)(1xqHyyRdyHxxy00左右边界：00yxy0lxx00 xx10RdyHlxxy（a）（b）（c）（d）由边界条件（c）及应力级数表示式（3-9），得; 0mmmmDCBA),

47、 3 , 2 , 1(mlmmR1R)(xq)(1xqlHyo图3-7此时应力分量式（3-9）简化为1222ch)2(sh)2(sinmmmmmxlymmlCBlymmlDAlxmlmlymyDlymyCmmchshlymyClymBlymAlxmlmmmmmyshchshsin1222lymyDmch1222ch)(sh)(cosmmmmmxylymmlDAlymmlCBlxmlmlymyClymyDmmchsh（3-10）将此应力分量式（3-10）代入边界条件（b），有0cos12mmmDmlAlxmm（e）12ch)(sh)(cosmmmmmlHmmlDAlHmmlCBlxmm0chsh

48、lHmHClHmHDmm（f）0Hyxy00yxy（b）0mmDmlA（i）lHmHlHmmlClHmBlHmAmmmchshshch0shchlHmHlHmmlDm（j）)(sin1222xqBlxmmlmm（g）)(0 xqyy)(1xqHyy（a）1m222chshsinmmlHmBlHmAlxmml)(chsh1xqlHmHDlHmHCmm（h）将此应力分量式（3-10）代入边界条件（a），有将在区间（0，l）上展为和等式左边相同的级数，即的级数，由Fourier级数的展开法则，有lxmdxlxmxqlxqmlsinsin)(2)(10lxmdxlxmxqlxqmlsinsin)(2)

49、(1011（3-11）)(),(1xqxqlxmsin比较式（3-11）与式（g）和（h）两边的系数，有lmdxlxmxqlBml0222sin)(2lmdxlxmxqmlB022sin)(2（k）lHmBlHmAmchshmlHmHDlHmHCmmchshldxlxmxqml0122sin)(2（l）说明：（1）边界条件（d）在求解中没有用到，但可以证明是自动满足的。（2）级数求解计算工作量很大，通常由有关计算软件求解，如：Matlab、Mathematica等。（3）结果在梁的端部误差较大；另外，当梁的跨度与高度相当时结果误差也较大。 由式 (i)、(j)、(k)、(l) 可求得全部和系数

50、： ，代入式（3-10）求得应力分量。mmmmDCBA,3-7 平面问题的直角坐标解答习题课练习1设有矩形截面的竖柱，其密度为 ，在一边侧面上受均布剪力 ，如图1，试求应力分量。q解：1.采用半逆解法，设 。导出 使其满足双调和方程：0 x0)()(, 00, 0)()()()()(, 0414444224444144444122dxxfddxxfdyyxydxxfddxxfdyxxfxyfxfyXxyx34xyqhg图1o 取任意值时，上式都应成立，因而有：y23232312341444)()(,)(0)(, 0)(FxExCxBxAxyFxExxfCxBxAxxfdxxfddxxfd式中，

51、 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。)(xf)(1xfx（1）2.含待定常数的应力分量为：)23(26)26(0222222CBxAxyxgyFExBAxyYyxXxyxyyx（2）3.利用边界条件确定常数，并求出应力解答：, 0)(0 xx能自然满足：0, 0)(0Cxyx, 0)(hxx能自然满足：0, 026 , 0)(23,)(02FEFExqBhAhqyyhxyx（3）, 0)(0yyx不能精确满足，只能近似满足：hhyyxydxBxAxdy000200)23(, 0)(023BhAh由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量：ABhqBh

52、qA,2（4）（1） 中的 不能略去，因为 对剪应力有影响。（2）在上端部，首先应使应力分量精确满足边界条件，如不能，则可运用圣维南原理放松满足。本题 能精确满足，因此， 在此处是精确解，而 在上端部是近似解。（3）若设 ，则导出的应力函数 和应力分量为：DCxxBgyFExCBxyyfxFxExfDCxxBxfxfdyyfdxxfyxyyx2231212)(),(26)(,2)()()()(4.分析：)(xfCxCx0)(0yyyxy)(xfxy)32(,)31 (2, 0hxhqxgyhxhqyxyyx（5）（6）（7）常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。练习2 如图2（a），

53、三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为 ，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。lxygolxygo0q0qlx图2（a）（b）解：1.设应力函数为：3223DyCxyyBxAx不难验证其满足 。所以应力分量为：04CyBxyxgyByAxYyxDyCxXxyxyyx222662222222.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：0)( , 0)(00yxyyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(0yxyxyxml解得：cot,cot2cotcot3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyx3.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可

54、用来求解上边界受线形载荷 作用的问题，见图2（b）。0qlxq 练习3 如果 为平面调和函数，它满足，问02)( ,22yxyx是否可作为应力函数。满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将代入相容条件得解： 将代入相容条件，得：x10)(2)2(2)(2)(221222222222212xxxyxxxxyx1y2也能作为应力函数。把 代入相容条件，得：2)(223yx 0)444(444)()()(2322222222232yyxxyyxxyxyx所以， 也可作为应力函数。3练习4 图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为： ，求简支梁的应力分量（体力不计）。FxyExDxyy

55、CxBxyyAx3335330)2(,2222222yylxq00qO60lqyl30lqxlh解： 1、由满足相容方程确定系数A与B的关系：BABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444（1）图32、含待定系数的应力分量为)2()3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxyyAxxyyx3、由边界条件确定待定系数：) 3 (0)(6)2(6)2(6 ,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq)4(0)2(33)2(5)2(922422FhDCxhBhAx)6(0)2(33)2(5)2(9 , 0

56、)() 5(06)2(6)2(6, 0)(22422232FhDCxhBhAxExhCxhAxhyxyhyy由以上式子可求得：)8(0, 0)()7(6804,6)(4,5,3,12222202030022030300DBhAlydylqlhqFhDhlqdylhqClhqBlhqAlqEhhlxxxhhxy由此可解得：lhqhlqFhlqlhqD804,310003004、应力分量为)9(203)(4(4)43(2)1032(22222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxyyx练习5 如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力

57、作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。 PyOhlx图41、用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ：34xyd解：2443hd34xydxyb2xybxyd2342、由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：24222242230,6ydbyxxxydyxyyx左端部： Pdyhhxxyxx2200)(,0)(解得： 233342623, 0,122,23yhPhPxyhPhPdhPbxyyx3、利用边界条件

58、确定，并求出应力分量：上、下边界： 24,bd0)(,0)(22hyxyhyy习题3-8 如图所示，三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。lxygo解： 1.设应力函数为：3223AxBx yCxyDy不难验证其满足 。所以应力分量为：4022222266222xxyyxyf xCxDyyf yAxBygyxBxCyx y lxygo3223AxBx yCxyDy2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：0)( , 0)(00yxyyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(0yxyxyxml解得：cot,cot2cotco

59、t3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyxlxygo 挡水墙的密度为 ，厚度为b,如图,水的密度为 ，试求应力分量。12yox2b2bg1g2解： 用用半逆解法求解。求解。1. 由于水压力沿x方向线形变化,可假设在区域内沿x 向 也应是一次式变化，即 y( )yxf yyox2b2bg1g22. 按应力函数的形式，由 推测 的形式:y22( )yxf yx21 ( )( ) 2x f yf yx312 ( )( )( )6xf yxf yf y 3. 由相容方程求应力函数。代入 得, 04 44342124442dddd206 ddddffxffxxyyyy要使上式在任意的x

60、处都成立，必须 4324d0 , dffAyByCy Dy得432224d0, df fEyFyy得4254321142dd20, dd106ffABfyyGyHyIyyy得312 ( )( )( )6xf yxf yf y 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意体力 ，求得应力分量为0 ,1yxfgf232321()3( 2262 ) (62 ),xxBxfx AyyxAyByGyHEyFgx2322222432 (),(32)22(32).23yyxyyfx AyByCyDxxAyByCx yAByyGyHyI 5. 考察边界条件： 主要边界上，有/2( )0 xyy