建筑力学基础知识.

1、第一章 建筑力学基础知识1-1 静力学基本概念静力学基本概念1-2 平面力系平衡条件的应用平面力系平衡条件的应用1-5 单跨静定梁的内力单跨静定梁的内力1-3 内力与内力图内力与内力图1-4 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力第一节 静力学基本概念静力学基本概念一、力与平衡的基本概念一、力与平衡的基本概念线段的长度表示力的大小；线线段的长度表示力的大小；线段与某定直线的夹角表示力的段与某定直线的夹角表示力的方位，箭头表示力的指向；线方位，箭头表示力的指向；线段的起点或终点表示力的作用段的起点或终点表示力的作用点。点。二、静力学公理二、静力学公理 二力平衡公理二力平衡公理 作用在同一刚体上的两个力

2、，使刚体平衡的作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分条件是，这两个力大小相等，方向相必要和充分条件是，这两个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。反，作用在同一条直线上。F1F2F2F1 (a) (b) 图图1-3 二力平衡公理二力平衡公理 受二力作用而处于平衡的杆件或构件称为受二力作用而处于平衡的杆件或构件称为二力杆件二力杆件（简（简称为称为二力杆二力杆）或）或二力构件二力构件。 加减平衡力系公理加减平衡力系公理 在作用于刚体上的任意力系中，加上或去掉任何平衡力系，在作用于刚体上的任意力系中，加上或去掉任何平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。并不改变原力系对刚体的作用效果

3、。力的可传性原理力的可传性原理 作用于刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任意一点，作用于刚体上的力可沿其作用线移动到刚体内任意一点，而不会改变该力对刚体的作用效应。而不会改变该力对刚体的作用效应。= = =F FA AF F2 2F F1 1F FA AB BF F1 1A AB B力的平行四边形法则力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于该作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由以原来的两个力为邻点的一个合力，合力的大小和方向由以原来的两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量来表示。边所构成的平行四边形的对角线矢量来表示。

4、力的平行四边形法则力的平行四边形法则 力的三角形法则力的三角形法则 三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理 一刚体受共面不平行的三力作用而平衡时，此三力的作一刚体受共面不平行的三力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点。用线必汇交于一点。证明：证明：F F1 1F F3 3F F2 2A A= =A A3 3F F1 1F F2 2F F3 3A A3 3A AA A2 2A A1 1作用与反作用定律作用与反作用定律 两个相互作用物体之间的作用力与反作用力大小相等，两个相互作用物体之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反，沿同一直线且分别作用在这两个物体上。方向相反，沿同一直线且分别作用在这两个物

5、体上。三、约束与约束反力三、约束与约束反力 约束约束阻碍物体运动的限制条件，约束总是通过物体间的直阻碍物体运动的限制条件，约束总是通过物体间的直接接触而形成。接接触而形成。 约束对物体必然作用一定的力，这种力称为约束对物体必然作用一定的力，这种力称为约束反力约束反力或或约约束力束力，简称，简称反力反力。约束反力的方向总是与物体的运动或运动。约束反力的方向总是与物体的运动或运动趋势的方向相反，它的作用点就在约束与被约束物体的接触趋势的方向相反，它的作用点就在约束与被约束物体的接触点。运用这个准则，可确定约束反力的方向和作用点的位置。点。运用这个准则，可确定约束反力的方向和作用点的位置。 (a)(

6、b)(c) (a) (b) (c)(a) (b) (c) 图图1-11 1-11 光滑接触面约束光滑接触面约束2.2.光滑接触面约束光滑接触面约束 物体之间光滑接触，只限制物体沿接触面的公法线方向并指向物体之间光滑接触，只限制物体沿接触面的公法线方向并指向物体的运动。光滑接触面约束的反力为压力，通过接触点，方向沿物体的运动。光滑接触面约束的反力为压力，通过接触点，方向沿着接触面的公法线指向被约束物体，通常用着接触面的公法线指向被约束物体，通常用FN表示，如图表示，如图1-11所示。所示。FAXFAYFA图图1-14 固定铰支座固定铰支座(a)(b)(c)FAXFAyFA固定铰支座固定铰支座FA

7、(RA)图图1-15 可动铰支座可动铰支座(a)(b)(d)(c)(e) 研究力学问题，首先要了解物体的受力状态，即对物体进研究力学问题，首先要了解物体的受力状态，即对物体进行受力分析，反映物体受力状态的图称为行受力分析，反映物体受力状态的图称为受力图。受力图。 在受力分析时，当约束被人为地解除时，即人为地撤去约束时，必须在接触点上用一个相应的约束反力来代替。在物体的受力分析中，通常把被研究的物体的约束全部解除后单独画出，称为脱离体。把全部主动力和约束反力用力的图示表示在分离体上，这样得到的图形，称为受力图。 四、物体的受力分析与受力图四、物体的受力分析与受力图正确对物体进行受力分析并画出其受

8、力图，是求解正确对物体进行受力分析并画出其受力图，是求解力学问题的关键。力学问题的关键。受力图绘制步骤为：受力图绘制步骤为：（1）明确研究对象，取）明确研究对象，取脱离体脱离体。研究对象（脱离。研究对象（脱离体）体） 可以是单个物体、也可以是由若干个物体组成可以是单个物体、也可以是由若干个物体组成的物体系统，这要根据具体情况确定。的物体系统，这要根据具体情况确定。（2）画出作用在研究对象上的全部）画出作用在研究对象上的全部主动力主动力。（3）画出相应的）画出相应的约束反力约束反力。（4）检查。）检查。【例例1-1】 【解】(1)(1)取取ABAB梁为研究对象，解除约束，画脱离体简图；梁为研究对

9、象，解除约束，画脱离体简图； (2)(2)画主动力画主动力F F； (3)(3)画约束反力：如图画约束反力：如图1-18(b)1-18(b)所示。所示。【例【例1-21-2】简支梁】简支梁ABAB，跨中受到集中力的作用不计梁自重，如图，跨中受到集中力的作用不计梁自重，如图1-1-18(a)18(a)所示，试画出梁的受力图。所示，试画出梁的受力图。(a)(a) (b) (b) 图图1-18 【例例1-3】【例例1-41-4】如图如图1-201-20（a a）所示，某支架由杆）所示，某支架由杆ACAC、BCBC通过销通过销CC连结在一起，设杆、销的自重不计，试分别画出连结在一起，设杆、销的自重不计

10、，试分别画出ACAC、BCBC杆、杆、销销C C 受力图。受力图。 【解解】根据受力情况可以判断杆根据受力情况可以判断杆ACAC、BCBC均为二力杆。画出均为二力杆。画出ACAC、BCBC杆、销杆、销CC受力图。如图受力图。如图1-20(b)1-20(b)、(c)(c)、 (d) (d) 所示。所示。图1-20【例例1-51-5】梁梁ADAD和和DGDG用铰链用铰链D D连接，用固定铰支座连接，用固定铰支座A A，可动铰，可动铰支座支座C C、G G与大地相连，如图与大地相连，如图1-21(a)1-21(a)所示，试画出梁所示，试画出梁ADAD、DGDG及整梁及整梁AGAG的受力图。的受力图。

11、图图1-211-21 【解解】 (1) (1)取取DGDG为研究对象，画出脱离体图。为研究对象，画出脱离体图。DGDG上受主动力上受主动力F F2 2，D D处为圆柱铰链约束，其约束反力可用分力处为圆柱铰链约束，其约束反力可用分力F FDxDx、F FDyDy表示，指表示，指向假设；向假设；GG处为可动铰支座，其约束反力处为可动铰支座，其约束反力FGFG垂直于支承面，垂直于支承面，指向假设向上，如图指向假设向上，如图1-21(b)1-21(b)所示。所示。 【解解】 (2) (2)取取ADAD为研究对象，画出脱离体图。为研究对象，画出脱离体图。ADAD上受主动力上受主动力F F1 1，A A处

12、为处为固定铰支座，其约束反力可用两个正交的分力固定铰支座，其约束反力可用两个正交的分力F FAxAx、F FAyAy表示，指表示，指向假设；向假设；CC处为可动铰支座，其约束反力处为可动铰支座，其约束反力F FCC垂直于支承面，指向垂直于支承面，指向假设向上，假设向上，D D处为圆柱铰链约束，其约束反力可用两个正交的分处为圆柱铰链约束，其约束反力可用两个正交的分力，表示，与作用在力，表示，与作用在DGDG梁上的、分别是作用力与反作用力的关梁上的、分别是作用力与反作用力的关系，指向与、相反；系，指向与、相反；ADAD梁的受力分析图如图梁的受力分析图如图1-21(c)1-21(c)所示。所示。 【

13、解解】 (3) (3)取整梁取整梁AGAG为研究对象，受力图如图为研究对象，受力图如图1-21(d)1-21(d)所示，此时不所示，此时不必将必将D D处的约束反力画上，因为对整体而言它是内力。处的约束反力画上，因为对整体而言它是内力。【1】重量为重量为FW 的小球放置在光滑的斜面上，并的小球放置在光滑的斜面上，并用绳子拉住，用绳子拉住，如图（如图（a）所示）所示。画出此球的受。画出此球的受力图。力图。物体的受力图举例物体的受力图举例【解解】以小球为研究对象，解除小球的约束，画以小球为研究对象，解除小球的约束，画出分离体，小球受重力出分离体，小球受重力( (主动力主动力)F)FW W，并画出，

14、并画出，同时小球受到绳子的约束反力（拉力）同时小球受到绳子的约束反力（拉力）F FTATA和斜和斜面的约束反力（支持力）面的约束反力（支持力）F FNBNB（图（图（b b）。【2 2】如图（如图（a a）所示，梁）所示，梁ACAC与与CDCD在在C C处铰接，并处铰接，并支承在三个支座上，画出梁支承在三个支座上，画出梁ACAC、CDCD及全梁及全梁ADAD的的受力图。受力图。【解解】取梁取梁CDCD为研究对象并画出分离体，如图为研究对象并画出分离体，如图b b所示。所示。取梁取梁ACAC为研究对象并画出分离体，如图为研究对象并画出分离体，如图c c所示。所示。 以整个梁为研究对象，画出分离体

15、，如图以整个梁为研究对象，画出分离体，如图d d所示。所示。 习题1 P36一、力的投影、力矩及力偶力的投影一、力的投影、力矩及力偶力的投影1. 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影第二节第二节 平面力系平衡条件的应用平面力系平衡条件的应用 设力设力F作用在物体上的作用在物体上的A点，在力点，在力F作用的平面内取直角坐标系作用的平面内取直角坐标系xOy，从，从力力F的两端的两端A和和B分别向分别向x轴作垂线，轴作垂线，垂足分别为垂足分别为a和和b，线段，线段ab称为称为力力F在在坐标轴坐标轴x上的投影上的投影，用，用X表示。表示。同理，从同理，从A和和B分别向分别向y轴作垂线，垂轴作垂线，垂足

16、分别为足分别为a和和b，线段，线段ab称为称为力力F在在坐标轴坐标轴y上的投影上的投影，用，用Y表示。表示。FxyOABbbaaFyFxX XY Y1. 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影X=FcosY=Fsin 力与力与x x轴的夹角为轴的夹角为, , 为锐角为锐角FxyOABbbaaFyFxX XY Y22FXYXYtan 投影正、负号的规定投影正、负号的规定: 当从力的当从力的始端的投影始端的投影a到到终端的投影终端的投影b的方向与坐的方向与坐标轴的正向标轴的正向一致一致时，该投影取正值；反之取负值。时，该投影取正值；反之取负值。图中力图中力F的投影的投影X、Y均取正值。均取正值。 F

17、xyOABbbaaFyFxX XY Y两种特殊情形：两种特殊情形：当力与坐标轴当力与坐标轴垂直垂直时，力在该轴上的投影为零。时，力在该轴上的投影为零。当力与坐标轴当力与坐标轴平行平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于时，力在该轴上的投影的绝对值等于该力的大小。该力的大小。 特别强调：特别强调： 力的投影只有力的投影只有大小大小和和正负正负，是，是标量标量；而力的分力为；而力的分力为矢量矢量， 有有大小、方向大小、方向。两者不可混淆。两者不可混淆。 在直角坐标系中，分力的在直角坐标系中，分力的大小和力在对应坐标轴上投影的绝对值是相同的。大小和力在对应坐标轴上投影的绝对值是相同的。若将力若将力F F

18、沿沿x x、y y轴进行分解，可得分力轴进行分解，可得分力F FX X和和F FY Y。应当。应当注意，力的投影和力的分力是两个不同的概念；注意，力的投影和力的分力是两个不同的概念；FxyOABbbaaFyFx【例【例1-71-7】 如图如图1-241-24所示，已知所示，已知F F1 1=F=F2 2=F=F3 3=F=F4 4=200N=200N，各力的方向如图，各力的方向如图， 试分别求各力在试分别求各力在x x轴和轴和y y轴上的投影。轴上的投影。【解解】力力在x轴上的投影X力在y轴上的投影Y1F2F3F4F200cos0200N200cos60100N 200cos60100N 20

19、0 cos45100 2N200 sin00N200 sin60100 3N200 sin60100 3N 200 sin45100 2N 图 1-24F1F2F3F460O30O【题题1 1】图图中各力的大小均为中各力的大小均为100N100N，求各力在，求各力在x x、y y轴上的投影。轴上的投影。【解解】利用投影的定义分别求出各力的投影：利用投影的定义分别求出各力的投影：X1=FX1=F1 1cos45cos45=100=1002/2=70.7N2/2=70.7N Y1=FY1=F1 1sin45sin45=100=1002/2=70.7N2/2=70.7N X2=-FX2=-F2 2c

20、os0cos0=-100N=-100NY2=FY2=F2 2sin0sin0=0=0X3=FX3=F3 3cos60cos60=100=1001/2=50N1/2=50NY3=-FY3=-F3 3sin60sin60=-100=-1003/2=-86.6N3/2=-86.6NX4=-FX4=-F4 4cos60cos60=-100=-1001/2=-50N1/2=-50NY4=-FY4=-F4 4sin60sin60=-100=-1003/2=-86.6N3/2=-86.6N 2.力矩力矩 一个力作用在具有固定的物体上，若力的作用线不通过一个力作用在具有固定的物体上，若力的作用线不通过固定轴时

21、，物体就会产生转动效果。固定轴时，物体就会产生转动效果。 如图所示，力如图所示，力F使扳手使扳手绕螺母中心绕螺母中心O转动的效应，转动的效应，既与既与力力F的大小的大小有关，又与有关，又与该力该力F的作用线到螺母中心的作用线到螺母中心O的的垂直距离垂直距离d有关。可用两有关。可用两者的乘积来量度力者的乘积来量度力F对扳手对扳手的转动效应。的转动效应。F.MdO 转动中心转动中心O称为力矩中心，简称称为力矩中心，简称矩心矩心。矩心到力。矩心到力作用线的垂直距离作用线的垂直距离d，称为，称为力臂力臂。 显然，力显然，力F对物体绕对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：点转动的效应，由下列因素决定：

22、(1)力力F的大小与力臂的乘积。的大小与力臂的乘积。(2)力力F使物体绕使物体绕O点的转动方向。点的转动方向。力矩公式：力矩公式： MO(F) = Fd力矩符号规定：力矩符号规定：使物体绕矩心产生使物体绕矩心产生逆时针逆时针方向转动的力矩方向转动的力矩 为正，反之为负。为正，反之为负。单位单位:是力与长度的单位的乘积。是力与长度的单位的乘积。 常用常用(Nm)或或(kNm)。 力矩在下列两种情况下等于力矩在下列两种情况下等于0 0：力等于：力等于0 0；力臂；力臂等于等于0 0，即力的作用线通过矩心。，即力的作用线通过矩心。合力矩定理合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于平面汇

23、交力系的合力对平面内任一点之矩，等于该力系中的各分力对同一点之矩的代数和。该力系中的各分力对同一点之矩的代数和。 例例1-81-8例例1-91-9 物体实际发生相互作用时，其作用力是连物体实际发生相互作用时，其作用力是连续分布作用在一定体积和面积上的，这种力称为续分布作用在一定体积和面积上的，这种力称为分布力分布力，也叫，也叫分布荷载分布荷载。 单位长度上分布的线荷载大小称为单位长度上分布的线荷载大小称为荷载集度荷载集度，其单位为牛顿其单位为牛顿/ /米米(N/m)(N/m)，如果荷载集度为常量，如果荷载集度为常量，即称为即称为均匀分布荷载均匀分布荷载，简称，简称均布荷载均布荷载。对于均布荷载

24、可以进行简化计算：对于均布荷载可以进行简化计算：认为其合力的大小为认为其合力的大小为FqFq=q=qL L，L L为分布荷为分布荷载作用的长度，合力作用于受载长度的载作用的长度，合力作用于受载长度的中心点。中心点。 Fq=qL常见图形的形心与面积常见图形的形心与面积 图形形心位置面积xC=a/3yC=h/3A=ah/2 yC=h/3 A=ah/2 图形形心位置面积yC=4r/3 A=r2/2 xC=3a/4yC=3b/10A=ab/3图形形心位置面积xC=3a/5yC=3b/8A=2ab /3【题题】每每1m1m长挡土墙所受的压力的合力为长挡土墙所受的压力的合力为F F，它的，它的大小为大小为

25、160kN160kN，方向如图所示。求土压力，方向如图所示。求土压力F F使墙倾使墙倾覆的力矩。覆的力矩。【解解】土压力土压力F F 可使墙绕点可使墙绕点A A倾覆，故求倾覆，故求F F 对点对点A A的力矩。的力矩。采用合力矩定理进行计算比较方便。采用合力矩定理进行计算比较方便。 M MA A(F) =M(F) =MA A(F(F1 1)+M)+MA A(F(F2 2)=F)=F1 1h/3-Fh/3-F2 2b b=160=160cos30cos304.5/3-1604.5/3-160sin30sin301.51.5=87kNm=87kNm 由以上例题可知，当合力臂较难求由以上例题可知，当

26、合力臂较难求解或遇均布荷载时，采用合力矩定理解或遇均布荷载时，采用合力矩定理求解较为简单。求解较为简单。 3.3.力偶力偶 大小相等、方向相反、不共线的两个平行力称大小相等、方向相反、不共线的两个平行力称为力偶。为力偶。 用符号（F、F）表示，如图所示 FFdFdF力偶的两个力作用线间的垂直距离力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为称为力偶臂。力偶臂。力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。 力偶不能再简化成更简单的形式，所以力偶不能再简化成更简单的形式，所以力偶力偶与与力力都都是组成力系的两个基本元素。是组成力系的两个基本元素。 用用F F与与d d的乘

27、积来度量力偶对物体的转动效应，并把这的乘积来度量力偶对物体的转动效应，并把这一乘积冠以适当的正负号称为一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩力偶矩，用，用m(F、F)或或m表示，即表示，即 力偶矩的单位与力矩单位相同，也是力偶矩的单位与力矩单位相同，也是（Nm）或或（kNm）。）。 m m( (F F、F F) = ) = m m = = FdFd 符号规定：力偶使物体作符号规定：力偶使物体作逆逆时针转动时，力偶矩时针转动时，力偶矩为正号；反之为负。为正号；反之为负。在平面力系中，力偶矩为代在平面力系中，力偶矩为代数量。数量。力偶的基本性质力偶的基本性质1. 力偶没有合力，不能用一个力来代替。力偶只

28、力偶没有合力，不能用一个力来代替。力偶只能用力偶来平衡。力偶在任意轴上的投影等于零。能用力偶来平衡。力偶在任意轴上的投影等于零。 2. 力偶对其作用平面内任一点矩恒等于力偶矩，力偶对其作用平面内任一点矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。与矩心位置无关。 3. 在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶是等效的。大小相等，转向相同，则这两个力偶是等效的。可以证明：力偶的作用效应决定于力的大小和力可以证明：力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心位置无关。偶臂的长短，与矩心位置无关。力偶三要素：即力偶三要素：即力偶矩的大小

29、力偶矩的大小、力偶的转向力偶的转向和和力偶作用平面；力偶作用平面；从以上性质还可得出两个推论：从以上性质还可得出两个推论：（1 1）在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力）在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，力偶可在其作用面内任意移动，而不会改变力偶对偶可在其作用面内任意移动，而不会改变力偶对物体的转动效应。物体的转动效应。（2 2）在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可）在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的转动效应。不改变力偶对物体的转动效应。作用在同一平面内的一群力偶组成平面力偶

30、系。 力偶对物体的作用效应只有转动效应，而转动效应由力偶的大小和转向来度量，因此，力偶系的作用效果也只能是产生转动，其转动效应的大小等于各力偶转动效应的总和。可以证明，平面力偶系可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即： M=mM=m1 1+m+m2 2+ + +m mn n=m=mi i力偶的合成力偶的合成例例1-101-10力的平移定理力的平移定理 AOAOdFFM=Fd FFFOA 由图可见：作用于物体上某点的力可以平移到此物由图可见：作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新

31、作用点的矩，这就是力对新作用点的矩，这就是力的平移定理力的平移定理。此定理只适。此定理只适用于刚体。用于刚体。平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程 平面一般力系平衡的充分和必要条件是：平面一般力系平衡的充分和必要条件是：平平面一般力系中各力在两个任选的直角坐标轴上面一般力系中各力在两个任选的直角坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意一点之矩的代数和也等于零。一点之矩的代数和也等于零。用数学式子表达为：用数学式子表达为： X=0X=0Y=0Y=0m mO O(F(F)=0 )=0 F1F2F3F460O30O 上式又称为平面一般力系平衡方

32、程，是一上式又称为平面一般力系平衡方程，是一基本形式；前两式为投影方程，第三式为力矩基本形式；前两式为投影方程，第三式为力矩方程。方程。 投影方程可以理解为：投影方程可以理解为：物体在力系作用下物体在力系作用下沿沿x x轴和轴和y y轴方向都不能移动；轴方向都不能移动； 力矩方程可以理解为：力矩方程可以理解为：物体在力系作用下绕物体在力系作用下绕任一矩心都不能转动。任一矩心都不能转动。平衡方程的应用平衡方程的应用 应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束反力。其解题步骤如下：反力。其解题步骤如下： 1. .确定研究对象确定研究对象。分析已

33、知量和未知量，选取研究对象。分析已知量和未知量，选取研究对象。 2. .画出受力图画出受力图。在研究对象上画出它受到的所有主动力和约在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力根据约束类型来画。束反力，约束反力根据约束类型来画。 当约束反力的指向未定时，可先假设其指向。当约束反力的指向未定时，可先假设其指向。 3. 列平衡方程求解未知量列平衡方程求解未知量。 为简化计算，避免解联立方程，在应用投影方程时，为简化计算，避免解联立方程，在应用投影方程时， 选取的投影轴应尽量与多个未知力相垂直；应用力矩方程选取的投影轴应尽量与多个未知力相垂直；应用力矩方程 时，矩心应选在多个未知力的交点上

34、，使计算简化。时，矩心应选在多个未知力的交点上，使计算简化。注意：注意：3 3个方程式只能求解个方程式只能求解3 3个未知数个未知数例例1-11【例【例1-12】 如图如图1-34（a）所示的钢筋混凝土刚架的计算简图，所示的钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平推力其左侧面受到一水平推力F=10kN，刚架顶上作用有均布荷载，刚架顶上作用有均布荷载，荷载集度荷载集度q=5kN/m，忽略刚架自重，试求，忽略刚架自重，试求A、B支座的约束反力。支座的约束反力。【解【解】(1)选择刚架为研究对象，画脱离体。选择刚架为研究对象，画脱离体。(2)画受力图。画受力图。(3)列平衡方程，求解未知量。列平

35、衡方程，求解未知量。得：得：FBx=10kN（） FBy=20kN（） FA=0kN(4)校核。本例校核各力对校核。本例校核各力对B点矩的代数和是否为零。即点矩的代数和是否为零。即 说明计算无误说明计算无误。 X=0Y=0MA(F)= 0 课堂练习课堂练习 P37题题6.b 课后习题课后习题P37题题 6.a, 6.c平平面面特特殊殊力力系系平平衡衡方方程程平面力偶系平面力偶系平面平行力系平面平行力系平面汇交力系平面汇交力系X= 0Y= 0Y= 0MO= 0MO= 0三、平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系三、平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系 【例例1-13】 一物体重一物体重G=50

36、kN，用，用不可伸长的柔索不可伸长的柔索AB和和BC悬挂于悬挂于如图如图1-35(a)所示的平衡位置，设所示的平衡位置，设柔索重量不计，柔索重量不计，AB与铅垂线的夹与铅垂线的夹角角a=30,BC水平。求柔索水平。求柔索AB和和BC的拉力。的拉力。TBCTBAGTBCTBAGBxyCBAGGTBCTBA30O图图1-35 【解【解】假设受力图如右所示，得平假设受力图如右所示，得平 面汇交力系力系平衡方程面汇交力系力系平衡方程 0BCBAsin300TT0BAcos300TGBC28.87TBA57.74kNTkN 求出是正值表示实际受力方向与假求出是正值表示实际受力方向与假设一致，确实受拉。设

37、一致，确实受拉。【例【例1-14】伸臂梁】伸臂梁AD，设重量不计，受力情况如图所示，设重量不计，受力情况如图所示，已知已知q=10kN/m, F=20kN，试求支座反力。，试求支座反力。【解【解】（1）选择伸臂梁）选择伸臂梁AD为研究对象，画脱离体。为研究对象，画脱离体。（2）画受力图，）画受力图，（3）选取坐标轴，如图（）选取坐标轴，如图（b）所示，所有力的作用线都沿竖直方向，）所示，所有力的作用线都沿竖直方向， 故该力系属于平面平行力系。取矩点选未知力的交点故该力系属于平面平行力系。取矩点选未知力的交点A点。点。（4）列平衡方程，求解未知量。）列平衡方程，求解未知量。CA211 0.515

38、2050MFFq 得：得：FCy=22.5kN（） FA=7.5kNm（）(5)校核。校核各力对校核。校核各力对C点矩的代数和是否为零。即点矩的代数和是否为零。即说明计算无误。说明计算无误。AC10yFFqFC112.520yFqF（2）（1）kNm【例【例1-15】 在梁在梁AB的的两端各作用一力偶，其力偶矩的大小两端各作用一力偶，其力偶矩的大小分别为分别为 ，转向如图转向如图1-38（a）所示。梁跨度所示。梁跨度l=4m，重量不计。求，重量不计。求A、B处的支座反力。处的支座反力。 mkN300 m,kN10021mm 【解】分析后判断是平面力偶系【解】分析后判断是平面力偶系 ， 列平衡方

39、程：列平衡方程：解得解得 A50F B50F kN () kN () AB12A00FFmmFl (1) (2)FAFB 第三节 内力与内力图内力与内力图 构件是由固体材料制成的，在外力作用下，构件是由固体材料制成的，在外力作用下，固体将发生变形，故称为固体将发生变形，故称为变形固体变形固体。对于变形固体来讲，受到外力作用发生变形，对于变形固体来讲，受到外力作用发生变形，而变形发生在一定的限度内，当外力解除后，随外而变形发生在一定的限度内，当外力解除后，随外力的解除而变形也随之消失的变形，称为力的解除而变形也随之消失的变形，称为弹性变形弹性变形。但是也有部分变形随外力的解除而变形不随之消失，但

40、是也有部分变形随外力的解除而变形不随之消失，这种变形称为这种变形称为塑性变形塑性变形。本书只进行弹性变形和小。本书只进行弹性变形和小变形的计算。变形的计算。在进行静力分析和计算时，构件的微小变形对在进行静力分析和计算时，构件的微小变形对其结果影响可以忽略不计，因而将构件视为刚体。其结果影响可以忽略不计，因而将构件视为刚体。一、杆件变形的基本形式一、杆件变形的基本形式 所谓所谓杆件杆件，是指，是指长度远大于其他两个方向尺寸长度远大于其他两个方向尺寸的构件。的构件。横截面是与杆长方向垂直的截面，而轴线是各截面形心的横截面是与杆长方向垂直的截面，而轴线是各截面形心的连线。各截面相同、且轴线为直线的杆

41、，称为等截面直杆。连线。各截面相同、且轴线为直线的杆，称为等截面直杆。杆件的基本杆件的基本变形形式变形形式轴向拉伸轴向拉伸和压缩和压缩剪切剪切扭转扭转弯曲弯曲（1 1）梁）梁（2 2）刚架）刚架（3 3）拱）拱（4 4）桁架）桁架（5 5）组合结构）组合结构二、平面杆系结构的基本形式二、平面杆系结构的基本形式内力：内力：杆件在外力作用下产生变形，从而杆件内部各部杆件在外力作用下产生变形，从而杆件内部各部分之间就产生相互作用力，这种由外力引起的杆件内部分之间就产生相互作用力，这种由外力引起的杆件内部之间的之间的 相互作用力，称为相互作用力，称为内力内力。三、内力和应力三、内力和应力 内力表示的是

42、整个截面的受力情况。在不同粗细的内力表示的是整个截面的受力情况。在不同粗细的两根绳子上分别悬挂重量相同的物体，则细绳将可能两根绳子上分别悬挂重量相同的物体，则细绳将可能被拉断，而粗绳不会被拉断，这说明构件是否破坏不被拉断，而粗绳不会被拉断，这说明构件是否破坏不仅仅与内力的大小有关，而且与内力在整个截面的分仅仅与内力的大小有关，而且与内力在整个截面的分布情况有关，而内力的分布通常用单位面积上的内力布情况有关，而内力的分布通常用单位面积上的内力大小来表示，我们将单位面积上的内力称为大小来表示，我们将单位面积上的内力称为应力应力。它。它是内力在某一点的分布集度。是内力在某一点的分布集度。1.内力内力

43、应力应力:内力在一点处的分布集度内力在一点处的分布集度0limAdAdAPPp应力应力p的方向与截面既不垂直也不相切。通常将应力的方向与截面既不垂直也不相切。通常将应力p 分分 解为与截面垂直的法向分量解为与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量和与截面相切的切向分量 。垂直于截面的应力分量。垂直于截面的应力分量称为称为正应力正应力或法向应力；或法向应力； 相切于截面的应力分量相切于截面的应力分量称为称为切应力切应力或切向应或切向应 力力(剪应力剪应力)。图图1-42 EAPEP2.应力应力 应力的单位为应力的单位为Pa，常用单位是，常用单位是MPa或或GPa。单位换算如下：单位换算如下：2

44、1Pa1N m31kPa10 Pa621MPa10 Pa =1N mm91GPa10 Pa假想地用一平面将杆假想地用一平面将杆件在需求内力的截面件在需求内力的截面截开，将杆件分为两截开，将杆件分为两部分；部分；取其中一部分作为研取其中一部分作为研究对象，究对象，此时，截面上的内力此时，截面上的内力被显示出来，变成研被显示出来，变成研究对象上的外力；究对象上的外力；再由平衡条件求出内再由平衡条件求出内力。力。(1)截截(2)取取(4)平衡平衡(3)代代截面法截面法3. 截面法的基本概念截面法的基本概念平面弯曲梁平面弯曲梁第四节 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 1.1.轴向拉伸和压缩时杆件的内力

45、轴向拉伸和压缩时杆件的内力轴力轴力拉压杆中唯一内力为拉压杆中唯一内力为轴力，轴力，其作用线垂直于横截面沿杆其作用线垂直于横截面沿杆轴线并通过形心。轴线并通过形心。轴力正负号规定：轴力正负号规定：轴力使杆件轴力使杆件受拉为正受拉为正，受压为负受压为负。0XFF N一、轴向拉压杆内力的求解一、轴向拉压杆内力的求解2.2.轴力图轴力图 用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力图轴力图。 1010

46、2060单位单位(kN)截面法求轴力的步骤如下截面法求轴力的步骤如下: :(1)(1)取脱离体取脱离体 用假想的平面去截某一构件，例如图（用假想的平面去截某一构件，例如图（a a）中）中m-mm-m截面，截面，从而把构件分成两部分，移去其中一部分，保留剩下部分为从而把构件分成两部分，移去其中一部分，保留剩下部分为研究对象。研究对象。(2)画受力分析图，列平衡方程画受力分析图，列平衡方程在脱离体上在脱离体上,轴力按正方向假设，即轴力假设为拉力（箭头轴力按正方向假设，即轴力假设为拉力（箭头背离截面）。背离截面）。例如图（例如图（b），利用平衡方程就可以求得轴力），利用平衡方程就可以求得轴力N。(3

47、)画轴力图画轴力图应用上述原理就可以求得应用上述原理就可以求得 任一横截面上的轴力值。任一横截面上的轴力值。作轴力图时应注意以下几点：作轴力图时应注意以下几点： 1 1、轴力图的位置应和杆件的位置一一对应。轴力的、轴力图的位置应和杆件的位置一一对应。轴力的大小，应按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数大小，应按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。值。2 2、将正值、将正值( (拉力拉力) )的轴力图画在坐标的上（左）侧；负的轴力图画在坐标的上（左）侧；负值值( (压力压力) )的轴力图画在坐标的下（右）侧。的轴力图画在坐标的下（右）侧。轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力【例【例1-16】 已

48、知已知F1=10kN，F2=20kN，F3=30kN，F4=40kN，试画出图，试画出图1-45(a)所示杆件的内力图。所示杆件的内力图。(2)画轴力图。画轴力图。(1)计算各段杆的轴力计算各段杆的轴力轴力图轴力图(a)F1F2F4F310102060单位单位(kN)(b)A B C D EAB段：段： 1N10FFN1110FF BC段：段： 12N20FFFN22110FFFCD段：段： 123N30FFFFN321320FFFF DE段：段： 1234N40FFFFFN4213460FFFFF kNkNkNkN【解【解】F1FN1AB段段F1F2FN2BC段段F1F3F2FN3CD段段F

49、1F3F2F4FN4DE段段就水平构件：就水平构件： 从左向右绘制轴力图，从起点的杆轴开始画，从左向右绘制轴力图，从起点的杆轴开始画，遇到水平向左的力往上画力的大小遇到水平向左的力往上画力的大小(受拉受拉)，遇到，遇到水平向右的力往下画力的大小水平向右的力往下画力的大小(受压受压)，无荷载段，无荷载段水平画，最后能够回到终点的杆轴，表明绘制正水平画，最后能够回到终点的杆轴，表明绘制正确。确。二、画轴力图技巧二、画轴力图技巧(只有集中荷载且杆件水平只有集中荷载且杆件水平)F1F2F4F310102060单位单位(kN)1-5 1-5 单跨静定梁的内力单跨静定梁的内力 当杆件受到垂直于杆轴的外力作

50、用或在当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用纵向平面内受到力偶作用(下图下图)时，杆轴由时，杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。曲变形为主的杆件称为梁。 梁和板，如房屋建筑中的楼（屋）面梁、楼（屋）梁和板，如房屋建筑中的楼（屋）面梁、楼（屋）面板、雨篷板、挑檐板、挑梁等是工程实际中典型的受面板、雨篷板、挑檐板、挑梁等是工程实际中典型的受弯构件，如图所示。弯构件，如图所示。 平面弯曲平面弯曲单跨静定梁按支座情况分为三种单跨静定梁按支座情况分为三种基本类型基本类型简支梁简支梁外伸梁外伸梁（一端或两（一端或两端有外伸

51、）端有外伸）悬臂梁悬臂梁固定端支座可动铰支座固定铰支座可动铰支座固定铰支座（1 1）截面法求内力）截面法求内力 1. 1.剪力和弯矩的概念剪力和弯矩的概念一、单跨静定梁内力（剪力和弯矩）的求解一、单跨静定梁内力（剪力和弯矩）的求解左图为一平面弯曲梁。现左图为一平面弯曲梁。现用一假想平面将梁沿用一假想平面将梁沿m-mm-m截面截面处切成左、右两段。处切成左、右两段。 现考察左段（现考察左段（b b）。由平）。由平衡条件可知，切开处应有竖衡条件可知，切开处应有竖向力向力FQ 和约束力偶和约束力偶M M。 FQFQ 若取右段分析，由作若取右段分析，由作用与反作用关系可知，截用与反作用关系可知，截面上

52、竖向力面上竖向力 FQ 和约束力和约束力偶偶M M的指向如的指向如(c)(c)。 FQ 是与横截面相切的是与横截面相切的竖向分布内力系的合力，竖向分布内力系的合力，称为称为剪力剪力；M M是垂直于横是垂直于横截面的合力偶矩，称为截面的合力偶矩，称为弯弯矩矩。 FQFQ剪力的单位为牛顿（剪力的单位为牛顿（N N）或千牛顿（）或千牛顿（kNkN）；）；弯矩的单位是牛顿弯矩的单位是牛顿米（米（NmNm）或千牛）或千牛米（米（kNmkNm）。）。剪力的正负规定如下：剪力的正负规定如下：剪力使所取脱离体产生剪力使所取脱离体产生顺时顺时针方向转动趋势时为正，反之为负针方向转动趋势时为正，反之为负. . 弯

53、矩的正负规定如下：弯矩的正负规定如下：弯矩使所取脱离体产生下侧受弯矩使所取脱离体产生下侧受拉、上侧受压的弯曲变形时为正，反之为负。拉、上侧受压的弯曲变形时为正，反之为负。步骤如下：步骤如下： (1)计算支座反力；计算支座反力； (2)用假想的截面在需求内力处将梁成两段，取其中用假想的截面在需求内力处将梁成两段，取其中任一段为研究对象；任一段为研究对象； (3)画出研究对象的受力图画出研究对象的受力图(截面上的截面上的FQ和和M都都按正方按正方向假设向假设)； (4)建立平衡方程，解出内力。建立平衡方程，解出内力。（二）用截面法计算（二）用截面法计算指定指定截面上的剪力截面上的剪力FQ和弯矩和弯

54、矩M【例【例1-19】 简支梁如图所示。已知简支梁如图所示。已知F1=18kN，试求，试求截面截面1-1,2-2,3-3截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。(1)求支座反力，考虑梁的整体平衡，对求支座反力，考虑梁的整体平衡，对A、B点取矩列方程点取矩列方程(2)求截面求截面1-1上的内力。在截面上的内力。在截面1-1处将梁截开，取左段梁处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出受力图，剪力和弯矩均先假设为正，列为研究对象，画出受力图，剪力和弯矩均先假设为正，列平衡方程：平衡方程：得：得： B15F A21yFkN （）kN（）校核：校核：求得的均为正值，表示截面求得的均为正值，表示截面1-1上内

55、力的实际方向与假设上内力的实际方向与假设方向相同。方向相同。(3)求求2-2截面内力截面内力在在2-2 截面将截面将AB梁切开，取左段分析，画受力图梁切开，取左段分析，画受力图1-52(c)，FQ2 、M2都先按正方向假设，列平衡方程都先按正方向假设，列平衡方程：A1Q 10yFFFA11210yFFM Q13FkN 241MkNmA1Q 20yFFFA12430yFFM Q23FkN302MkNm求得的均为正值，表示截面求得的均为正值，表示截面2-2上内力的实际方向与假设上内力的实际方向与假设方向相同。方向相同。(3)求求3-3截面内力截面内力在在3-3 截面将截面将AB梁切开，取右段分析，

56、画受力图梁切开，取右段分析，画受力图1-52(d)，FQ3 、M3都先按正方向假设，列平衡方程。都先按正方向假设，列平衡方程。求得的求得的FQ3为负值，表示截面为负值，表示截面3-3上剪力的实际方向与假设上剪力的实际方向与假设方向相反，方向相反，M 3为正值，表示为正值，表示3-3上弯矩的实际方向与假设上弯矩的实际方向与假设方向相同。方向相同。BQ 30FFB320FM Q315F kN303MkNm试求图试求图(a)所示所示 悬臂梁悬臂梁1-1截面的内力。截面的内力。练习题练习题1【解解】本例可不必计算固定端的支座反力。本例可不必计算固定端的支座反力。 假想将梁从假想将梁从1-11-1截面处

57、切开，取右段为研究对象，截面处切开，取右段为研究对象，按正向假设剪力按正向假设剪力FQFQ和弯矩和弯矩M M，如图，如图 (b)(b)。由由FyFy0 0得：得：FQFQ2q-F2q-F0 0FQFQ2q2qF F2 28 8202036kN36kN由由M1-1M1-10 0得：得：-M-2q-M-2q1 1F F2 20 0M M- -（2 28+208+202 2）-56kN-56kNm m计算结果计算结果FQ FQ 为正值，说明其实际方向与假设方向相为正值，说明其实际方向与假设方向相同。同。M M为负，说明其实际方向与假设方向相反。为负，说明其实际方向与假设方向相反。FQ试计算下图所示外

58、伸梁试计算下图所示外伸梁A、B 、E、F截面上的内截面上的内力。已知力。已知F=5kN，m=6kNm，q=4kN/m。练习题练习题2【解解】（1 1）求支座反力）求支座反力取整体为研究对象，设支反力取整体为研究对象，设支反力FAFA、FBFB方向向方向向上。上。由由MBMB0 0得：得：6FA+2q6FA+2q2/2-2F-m-8F2/2-2F-m-8F0 0FA=8kNFA=8kN由由FyFy0 0得：得：FA+FB-F-F-2q=0FA+FB-F-F-2q=0FB=-FA+F+F+2q=-8+5+5+2FB=-FA+F+F+2q=-8+5+5+24=10kN4=10kN （2）求出相应截面

59、的内力求出相应截面的内力按正向假设未知内力，各截面均取左段分析。按正向假设未知内力，各截面均取左段分析。A左截面：左截面：FQA左左-F-5kNMA左左-F2-5210kNmA右截面：右截面：FQA右右-FFA-583kNMA右右-F2-5210kNmE左截面：左截面：FQE左左-FFA-583kNME左左-F4FA24kNmE右截面：右截面：FQE右右-FFA3kNME右右-F4FA2m10kNmF左截面：左截面：FQF左左-FFA3kNMF左左-F6FA4m4kNmF右截面：右截面：FQF右右-FFAF2kNMF右右-F6FA4m4kNmB左截面：左截面：FQB左左-FFAF-2kNMB左

60、左-F8FA6mF2-8kNmB右截面：右截面：FQB右右-FFAFFB8kNMB右右-F8FA6-m-F2-8kNm由上述例题可以看出，由上述例题可以看出， 有集中力偶作用处的左侧和右侧截面上，弯矩突有集中力偶作用处的左侧和右侧截面上，弯矩突变，其突变的绝对值等于集中力偶的大小；变，其突变的绝对值等于集中力偶的大小； 有集中力作用处的左侧和右侧截面上，剪力值突变，有集中力作用处的左侧和右侧截面上，剪力值突变，其突变的绝对值等于集中力的大小。其突变的绝对值等于集中力的大小。（三）用剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图（三）用剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图 若用沿梁轴线的坐标若用沿梁轴线的