弹性力学 ppt第二章(3).

1、弹性力学讲课教师：讲课教师：刘章军刘章军Tel: 153374168012013-092013-09前前面面讲授讲授的主要内容：的主要内容：1 1、平面问题的基本物理量平面问题的基本物理量2 2、平面问题的基本方程平面问题的基本方程3 3、平面问题的边界条件平面问题的边界条件4 4、平面问题的基本内容平面问题的基本内容5 5、平面问题的基本关系平面问题的基本关系基本物理量基本物理量xyxy,xyxy, u v基基本本物物理理量量注注：基本未知量都是：基本未知量都是位置坐标的函数！位置坐标的函数！xyff,xyff,uv1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE或或22()()21(1)11

2、1xxyyyxxyxyEEE物物理理方方程程0,0 xyxyyxxyffxyxy平衡微分方程平衡微分方程,xyxyuvuvxyyx几几 何何 方方 程程基本方程基本方程基本方程是共性基本方程是共性! !应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件注意：注意：面力和应力在不同边界面上的正负号规面力和应力在不同边界面上的正负号规 定不同。定不同。记住：记住：面力面力始终沿坐标正向为正，沿坐标负向始终沿坐标正向为正，沿坐标负向 为负；为负；应力应力正面正向为正，负面负向为正面正向为正，负面负向为 正，与之相反。正，与之相反。边界条件边界条件xxyxSSxyyySSlmflmf , uuSSuuv

3、v混合边界条件混合边界条件边界条件是个性边界条件是个性! !归纳与总结归纳与总结弹性力学问题中的基本内容弹性力学问题中的基本内容面力面力体力体力给定的给定的位移值位移值域内的域内的位移位移边界上边界上的位移的位移边界上边界上的应力的应力域内的域内的应力应力域内的域内的应变应变外力外力位移位移静力平衡静力平衡几何协调几何协调应力应力物理方程物理方程应力应力边界边界条件条件平衡平衡微分微分方程方程几何几何方程方程位移位移边界边界条件条件归纳与总结归纳与总结弹性力学问题中的弹性力学问题中的基本物理量基本物理量应同时满足应同时满足基本方程基本方程和和边界条件边界条件，其解答才是唯一的、精确的。，其解答

4、才是唯一的、精确的。弹性力学问题弹性力学问题中的基本中的基本关系式关系式至此，至此，已经建立了求解弹性力学平面问题已经建立了求解弹性力学平面问题的的基本基本方程方程和和边界条件边界条件。在给定的边界条。在给定的边界条件下，需要求解由件下，需要求解由8 8个个基本未知量基本未知量组成的组成的偏偏微分方程组微分方程组。问题的实质和核心就是减少问题的实质和核心就是减少基本未知量的个数基本未知量的个数！通常！通常采用类似于代数采用类似于代数方程中的方程中的消元法消元法进行进行求解。求解。2-4 2-4 基本解法基本解法位移法位移法应力法应力法是以是以位移分量位移分量为基本未知函数，为基本未知函数，从基

5、本方程和边界条件中消去应从基本方程和边界条件中消去应力力和应变分和应变分量，导出只含位移分量，导出只含位移分量的方程和边界条件。并由此解量的方程和边界条件。并由此解出位移分量，再求出位移分量，再求出应变出应变分量和分量和应力分量。应力分量。是以是以应力分量应力分量为基本未知函数，为基本未知函数，从基本方程从基本方程和边界条件中消去位和边界条件中消去位移移和应变分和应变分量，导出只含应力分量，导出只含应力分量的方程和边界条件。并由此解量的方程和边界条件。并由此解出应力分量，再求出应力分量，再求出应变出应变分量和分量和位移分量。位移分量。物理方程物理方程平衡方程平衡方程222211112(1)2(

6、1)xxyyyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxy几何方程几何方程0,0 xyxyyxxyffxyxy222222222222110122( )110122xyEuuvfxyx yaEvvufyxx y 弹性方程弹性方程以平面应力问题为例以平面应力问题为例位移边界条件位移边界条件 , ( )uuSSuuvvb应力边界条件应力边界条件xxyxSSxyyySSlmflmf22112(1)xyxyEuvxyEvuyxEvuxy22112( )112xSySEuvuvlmfxyyxcEvuvumlfyxxy弹性方程弹性方程应力表示应力表示位移位移表示表示用位移表示应力用位移表示应力本节小结本

7、节小结u按位移求解时，位移分量按位移求解时，位移分量 必须满足区域必须满足区域内的基本微分方程内的基本微分方程( (a) )和边界条件和边界条件( (b) )、( (c) )。u式式( (a) )、( (b) )、( (c c) )是求解位移分量是求解位移分量 的条的条件，也是校核件，也是校核 是否正确的全部条件。是否正确的全部条件。u对于对于平面应变问题平面应变问题，只要，只要将式将式( (a) )、( (b) )、( (c) )中中的的E、 分别分别作作替换替换： 2,11EE, u v, u v, u vgxyhgxy( )a( )b用位移法求解图中问题的位移和应力用位移法求解图中问题的

8、位移和应力上端为连杆支承、下端自由上端为连杆支承、下端自由的杆件问题。如图的杆件问题。如图( (a) )所示所示，只受重力作用只受重力作用 。gffyx , 0如果两端均为连杆支承的杆如果两端均为连杆支承的杆件问题。如图件问题。如图( (b) )所示所示，其结其结果又将如何。果又将如何。注意：注意：为简化分析，可假设位移分量：为简化分析，可假设位移分量： 0,( )uvv y习题讲解习题讲解222222222222110122110122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y 将位移分量将位移分量 代入按代入按位移求解的位移求解的基本微分方程：基本微分方程：0,( )uvv y222d(

9、1)dvgyE 注意到注意到 ，可得：，可得： gffyx , 022(1)2gvyAyBE 图图( (b) )中的边界条件：中的边界条件：图图( (a) )中的边界条件：中的边界条件：基本微分方程基本微分方程边边 界界 条条 件件求解微分方程，有：求解微分方程，有：00( )0()0yyxyv( (混合边界混合边界) )()0()0yy hyxy h( (应力边界应力边界) )00( )0()0yyxyv( (混合边界混合边界) )( )0()0y hyxy hv( (混合边界混合边界) )220(1)2ugvyAyBE 位移和应力的表达式位移和应力的表达式位位移移分分量量222211110

10、2(1)xyyxEuvEAgyxyEvuEAgyyxEvuxy 图图( (b) )中的边界条件：中的边界条件：图图( (a) )中的边界条件：中的边界条件：边边 界界 条条 件件00( )0()0yyxyv( (混合边界混合边界) )()0()0yy hyxy h( (应力边界应力边界) )00( )0()0yyxyv( (混合边界混合边界) )( )0()0y hyxy hv( (混合边界混合边界) )应应力力分分量量弹性方程弹性方程图图( (a) )中的解答中的解答20(1)2BghAE位位移移分分量量应应力力分分量量0 xyyxg hyg hy220(1)2ugvhyyE22220 xy

11、yxghyghy待待定定系系数数图图( (b) )中的解答中的解答220(1)22ugvhyyE20(1)BghAE( )0 xxyyxg hya2( )20 xxyyxghyb讨论与延拓讨论与延拓 对于左右两个边界面，其应力边界条件为：对于左右两个边界面，其应力边界条件为：/2/20,0 xxyxbxb根据根据( (a) )、( (b) )中的应力分量：中的应力分量： 显然，仅当泊松比显然，仅当泊松比 时，左右边界条件才能时，左右边界条件才能满足，此时求得的位移与应力分量才是精确解答。满足，此时求得的位移与应力分量才是精确解答。0 当泊松比当泊松比 时，上述所求的位移与应力分量时，上述所求的

12、位移与应力分量都不是精确解答，需要重新假设位移分量，有关都不是精确解答，需要重新假设位移分量，有关这一讨论将在后面进行。这一讨论将在后面进行。0u 取取 为基本未知函数为基本未知函数u 应变与位移分量用应力分量来表示应变与位移分量用应力分量来表示 ,xyxy应应变变分分量量1()1()2(1) xxyyyxxyxyEEE物理方程物理方程( (平面应力问题平面应力问题) )00 xyxxxyyyfxyfxy平平衡衡方方程程用应力表示用应力表示（需保留）（需保留）几几何何方方程程11(),()2(1) xxyyyxxyxyEEE22222yxyxyxx y ,xyxyuvxyvuxy消除位移消除位

13、移物物理理方方程程2()(1)yxxyffxy 平衡微分方程化简平衡微分方程化简22222xy 相相容容方方程程相容方程相容方程用应变表示：用应变表示：用应力表示：用应力表示：（1 1）区域区域内的平衡微分方程：内的平衡微分方程：（2 2）区域区域内的用应力表示的相容方程：内的用应力表示的相容方程：（3 3）边界）边界 上的应力边界条件：上的应力边界条件：（4 4）对于）对于多连体多连体，还须满足，还须满足位移的单值条件。位移的单值条件。 0,0 xyxyyxxyffxyxy2()(1)yxxyffxy ,xxyxxyyySSSSlmflmfSS,xyxy 按应力求解按应力求解平面应力问题平面

14、应力问题，应力，应力 必须满足必须满足: :本节小结本节小结也是校核也是校核应力分量是否正确的全部条件应力分量是否正确的全部条件 【P33习题习题2-13(a)】检验应力分量x = y2q/b2，y=xy= 0是否为图示平面问题的正确解答。习题讲解习题讲解【分析】验证一组应力分量验证一组应力分量是否为给定平面问题的正确是否为给定平面问题的正确解答，需要满足的条件：解答，需要满足的条件： 区域内的平衡微分方程区域内的平衡微分方程 区域内的相容方程区域内的相容方程 全部应力边界上的边界条件全部应力边界上的边界条件 对于多连体，还需满足位移单值条件对于多连体，还需满足位移单值条件0 xyff注：显然

15、，本例题为单连体，位移单值条件不需要验证！显然，本例题为单连体，位移单值条件不需要验证！qqqqoyxbbaa 尽管应力分量满足平衡微分方程和全部的应力尽管应力分量满足平衡微分方程和全部的应力边界条件，但它们不满足相容方程。因此，这组应边界条件，但它们不满足相容方程。因此，这组应力分量不是所给平面问题的正确解答。力分量不是所给平面问题的正确解答。22(), ()0()0, ()0 xxaxyxayxbxyxbyqb)(1 ()(2yfxfyxyx00 xyxxxyyyfxyfxy【解】验证如下：验证如下：220 xyxyyqb平衡微分方程平衡微分方程应应力力分分量量满足满足相容相容方程方程边界

16、条件边界条件0 xyff注：不满不满足足满足满足【结论】归纳与总结归纳与总结弹性力学平面问题的基本理论弹性力学平面问题的基本理论面力面力体力体力给定的给定的位移值位移值域内的域内的位移位移边界上边界上的位移的位移边界上边界上的应力的应力域内的域内的应力应力域内的域内的应变应变外力外力位移位移静力平衡静力平衡几何协调几何协调应力应力物理方程物理方程应力应力边界边界条件条件平衡平衡微分微分方程方程几何几何方程方程位移位移边界边界条件条件归纳与总结归纳与总结弹性力学问题中的弹性力学问题中的基本物理量基本物理量应同时满足应同时满足基本方程基本方程和和边界条件边界条件，其解答才是唯一的、精确的。，其解答

17、才是唯一的、精确的。弹性力学问题弹性力学问题中的基本中的基本关系式关系式1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。2.若 是否可能 成为弹性体中的应变？（体力不计）3.若 是否 可能为弹性体中的应力？,)(,22xybabxayxyyx, 0, 022xyyxyxbyaxff思考与作业0,0 xyxyyxxyffxyxy(2) 平衡微分方程：平衡微分方程： 0)(2yx(1) 相容方程：相容方程： 在常体力情况下，在常体力情况下， 均为常数，按应力求解均为常数，按应力求解弹性力学弹性力学两类平面问题两类平面问题时，在区域内应满足的条件：时，在区域内应

18、满足的条件：,xyff在常体力时在常体力时，平衡微分方程的全解可以直接导出。，平衡微分方程的全解可以直接导出。根据微分方程理论，非齐次微分方程的根据微分方程理论，非齐次微分方程的全解全解是非齐是非齐次微分方程的次微分方程的特解特解和齐次微分方程的和齐次微分方程的通解通解之和。之和。 0, 0, xyxyxyyfxf , , 0 xxyyxyxfyf 0,0 xyxyyxxyxy艾里（艾里（Airy）在）在1862年导出年导出:22222, , xyxyyxx y 称为艾里应力函数称为艾里应力函数( , )x y22222, , xyxyyxx y ABxy0 xyxxy0 xyyxy()xyx

19、xy ()yxyyx 存在函数存在函数存在函数存在函数存在存在( , )x y存在存在( , )x y艾里公式的推导艾里公式的推导BxAyxAyxyAxxyByyBx或者或者 222xyxyxy22,yfxfyxx y 222xxyyxy22xf ,yf ,yxx y 22222()()0 xyxyxy2224220 xy本节小结本节小结（1 1）区域内相容方程：区域内相容方程：（2 2）全部边界全部边界 上的应力边界条件上的应力边界条件（3 3）对于多连体，还需满足位移单值条件对于多连体，还需满足位移单值条件40SS( , ) x y 在常体力下求解两类平面问题，可转变为在常体力下求解两类平

20、面问题，可转变为按应力函数按应力函数 求解，求解， 应满足应满足: :( , ) x y求出应力函数求出应力函数 后，于是应力分量为：后，于是应力分量为：( , ) x y 222xyxyxy22,yfxfyxx y 归纳与总结归纳与总结平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题名名 称称2()(1)yxxyffxy 21()1yxxyffxy 一般情况一般情况222222222()0yyxxxyxyxy常体力常体力22222yxyxyxx y 用应变表示用应变表示44444224( , )20 x yxxyy用应力函数表示用应力函数表示( (常体力情况常体力情况) )用应力表示用应力表

21、示相容相容方程（或方程（或变形协调条件变形协调条件）的）的物理意义：物理意义：u 相容方程是连续体中位移连续性相容方程是连续体中位移连续性的必然结果；的必然结果；u 相容方程是应变相容方程是应变对应的位移存在且连续的必要条件。对应的位移存在且连续的必要条件。归纳与总结归纳与总结弹性力学平面问题的基本理论弹性力学平面问题的基本理论面力面力体力体力给定的给定的位移值位移值域内的域内的位移位移边界上边界上的位移的位移边界上边界上的应力的应力域内的域内的应力应力域内的域内的应变应变外力外力位移位移静力平衡静力平衡几何协调几何协调应力应力物理方程物理方程应力应力边界边界条件条件平衡平衡微分微分方程方程几

22、何几何方程方程位移位移边界边界条件条件归纳与总结归纳与总结弹性力学问题中的弹性力学问题中的基本物理量基本物理量应同时满足应同时满足基本方程基本方程和和边界条件边界条件，其解答才是唯一的、精确的。，其解答才是唯一的、精确的。弹性力学问题弹性力学问题中的基本中的基本关系式关系式1 1、在常体力、单连体和全部为应力边界条件、在常体力、单连体和全部为应力边界条件下，对于不同材料，两类平面问题的应力分量下，对于不同材料，两类平面问题的应力分量 是相同的。试问应变和位移分量是是相同的。试问应变和位移分量是否也相同？否也相同？,xyxy思考与作业2 2、对于按、对于按位移位移 求解、按求解、按应力应力求解和按求解和按应力函数应力函数 求解的方法，试比较其未求解的方法，试比较其未知函数应满足的方程和条件，求解的难易程度知函数应满足的方程和条件，求解的难易程度及局限性。及局限性。(,)xyxy( ,)u v【P33习题2-10】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【P33习题2-11】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？思考与作业【P33习题2-12】检验平面问题中的应力函数 是否为正确解答的条件是什么？( , )x y 【p