流体力学第7章-理想不可压无旋运动(zhou).

1、流体力学流体力学理论分析理论分析建立建立“理论模型理论模型(力学模型力学模型，物理模型物理模型 )”，根本基础：，根本基础：连续介质模型。连续介质模型。简化模型简化模型:不可压缩流体、理想流体等不可压缩流体、理想流体等。 封闭方程（建立数学模型）封闭方程（建立数学模型） A.宏观运动三大定律（运动的普遍性）宏观运动三大定律（运动的普遍性）B.本构关系、状态方程（物质的特殊性）本构关系、状态方程（物质的特殊性）C.初始条件、边界条件（初始条件、边界条件（ 运动的特殊性）运动的特殊性） 求解方程组。求解方程组。精确解精确解，近似解，偏微分方程理论近似解，偏微分方程理论分析结果分析结果，得到理论得到

2、理论 理想不可压缩无旋运动：简化模型，方便求解理想不可压缩无旋运动：简化模型，方便求解无旋运动：孔口出流，堰流，绕流。特征：从静止无旋运动：孔口出流，堰流，绕流。特征：从静止（低速）很快加速，涡量很小。（低速）很快加速，涡量很小。无旋运动通常与理想流体相联系。无旋运动通常与理想流体相联系。无旋运动也可以用于研究自由面流动（重力波）。无旋运动也可以用于研究自由面流动（重力波）。0V dVFpdt 理想不可压缩绕流问题的方程和定解条件为理想不可压缩绕流问题的方程和定解条件为初始条件初始条件0tt0( )VV r 0( )pp r边界条件边界条件 VV 无穷远处无穷远处物面上物面上.0V n zwy

3、vxuVV0无旋运动无旋运动速度势函数速度势函数, 无旋运动有称有势运动无旋运动有称有势运动02222222zyx不可压不可压连续方程连续方程已知速度势已知速度势,可求任何方向的速度投影可求任何方向的速度投影在理想、不可压缩、重力场、无旋运动时，在理想、不可压缩、重力场、无旋运动时，运动方程运动方程为为2( )2Vpgzf tt00zwyvxuV圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式zVrVrVzr102222222zyx2( )2Vpgzf tt方程组和定解条件为方程组和定解条件为pV 0tt0( )V r 0( )pp rV 无穷远处无穷远处静止固壁上静止固壁

4、上0n00()()MMMMV d rV 已知已知 求求rdVrddzydyydxxd积分与路径无关时，积分与路径无关时， 是单值的是单值的单值与多值与区域是单连域还是多连域有关单值与多值与区域是单连域还是多连域有关u单连域单连域中，任意曲线是可缩曲线中，任意曲线是可缩曲线Stokes Stokes 定理定理sLsdVrdV)(0LrdVL L：要求是可缩曲线：要求是可缩曲线0)(sLsdVrdV无旋运动无旋运动单连域中，单连域中， 是单值函数，是单值函数，u双连域双连域中，如果曲线中，如果曲线L1 不是可缩曲线，不能用不是可缩曲线，不能用 Stokes 定理定理021LLrdVCDABLLL2

5、1L L 是可缩曲线是可缩曲线0LrdV双连域无旋流场中，包围内边界双连域无旋流场中，包围内边界的任何封闭曲线上的环量等于内的任何封闭曲线上的环量等于内边界周线上的环量。边界周线上的环量。 为了能用为了能用 Stokes 定理，再做一个封闭曲线，并作隔缝。定理，再做一个封闭曲线，并作隔缝。221LLLrdVrdVrdV021LLLrdVrdVrdV速度势函数及无旋运动的性质速度势函数及无旋运动的性质22111()()2221122ssTV ddVdn V dsdsnu 在区域内部不能有极大和极小值在区域内部不能有极大和极小值 02u 速度的极大值只能发生在边界上速度的极大值只能发生在边界上u

6、在流体内部压力不能达到极小值在流体内部压力不能达到极小值u 动能表达公式动能表达公式平面无旋运动中平面无旋运动中yvxuVV0jviuV势函数性势函数性质质1)可相差一个常数可相差一个常数2)速度方向与等势线垂速度方向与等势线垂直直3) 不可压不可压, 速度势函数满足拉氏方程速度势函数满足拉氏方程022222yx0yvxu定义流函数定义流函数:由平面不可压缩的连续性方程由平面不可压缩的连续性方程,流函数性流函数性质质1)可相差一个常数可相差一个常数2) = C为流线为流线, 即流函数等值线就是流线即流函数等值线就是流线0yvxuxvyu若设若设即连续性方程自动满足即连续性方程自动满足 称称 为

7、流函数为流函数 则有则有0)()(xyyx3) 两点两点流函数之差等于过此两点连线的流量流函数之差等于过此两点连线的流量4) 在单连域在单连域,若不存在源汇若不存在源汇, 流函数为单值函数流函数为单值函数5) 无旋时无旋时, 流函数满足拉氏方程流函数满足拉氏方程0022222yxyuxvz(3). 平面流动中平面流动中, 通过两条流线间任一曲线通过两条流线间任一曲线(单位厚度单位厚度)的体积流量等于两条流线的流函数值之差的体积流量等于两条流线的流函数值之差dl0 xnbay=C1=C2nynxnabbabababayxbaddxxdyyQvdxudydlvndlundlnVQ)()(u对于平面

8、运动对于平面运动, 不可压无旋时流函数和势函数同时存在不可压无旋时流函数和势函数同时存在.且且任一解析函数的实部和虚部都满足拉氏方程任一解析函数的实部和虚部都满足拉氏方程所以所以, 满足柯西满足柯西-黎曼条件黎曼条件,可用复变函数求解问题可用复变函数求解问题和xyvyxu,yixziwu 满足柯西满足柯西-黎曼条件黎曼条件, 则则 是复变量是复变量 的解析函数的解析函数和不可压平面无旋运动不可压平面无旋运动 解析函数解析函数 w(z)viuxixdzdwu引入复速度引入复速度ieVivuVieVivuV共轭复速度共轭复速度izw)(复位势复位势 的性质的性质 1)可相差一个常数可相差一个常数3

9、)共轭复速度沿封闭曲线的积分共轭复速度沿封闭曲线的积分,其可实部为环量其可实部为环量, 虚部为流量虚部为流量2)等流函数线与等势线正交等流函数线与等势线正交Qiidddwdzdzdwccc1) 以速度势函数为未知函数以速度势函数为未知函数022222yxVu iv j 无穷远无穷远处处物体物体C上上0nvyux2) 以流函数为未知函数以流函数为未知函数022222yx无穷远无穷远处处物体物体C上上常数vxuy3) 以复势为未知函数以复势为未知函数无穷远无穷远处处物体物体C上上Vdzdw求求C外无界区域外无界区域D内的的解析函数内的的解析函数 , 满足满足)( zwIm( )w z常数属于复变函

10、数中求解析函数的范畴属于复变函数中求解析函数的范畴复变函数方法复变函数方法保角映射方法保角映射方法奇点法奇点法解析函数解析函数平面不可压无旋流动平面不可压无旋流动解决实际不可压平面势流问题时：根据经验选用解决实际不可压平面势流问题时：根据经验选用2个或个或更多简单解析函数进行叠加。只要结果与给定的边界更多简单解析函数进行叠加。只要结果与给定的边界条件相符，即为所求解条件相符，即为所求解yaxa121）线性函数）线性函数yaxa21zazw)()()(21iyxiaaizw流线常数VadzdwV共轭复速度共轭复速度ieVivuV均匀直线流动，无穷远来流。均匀直线流动，无穷远来流。zVzw)(V0

11、yx2）对数函数）对数函数zazwln)(流线常数cairareaizWiln)ln()()ln(2)(ln2)(0zzQzWzQzW从原点出发的射线族从原点出发的射线族aQ20iadzdzdwQic2xyQ0 xyQ0 xy0rcv 3）对数函数）对数函数zizWln2)( 当原点附近有旋流区为有限大时，则称该旋转核心与当原点附近有旋流区为有限大时，则称该旋转核心与周围无旋流的结合为周围无旋流的结合为兰金涡兰金涡，旋转核心称为涡核。，旋转核心称为涡核。 已知原点以外流动为无旋运动，无旋流动速度环量应已知原点以外流动为无旋运动，无旋流动速度环量应为为0 0。在原点附近流动必是有旋流，原点以外无

12、旋的圆周运。在原点附近流动必是有旋流，原点以外无旋的圆周运动是由于原点附近有旋运动诱导的结果，因此称为动是由于原点附近有旋运动诱导的结果，因此称为点涡点涡或或自由涡。自由涡。4）倒数函数）倒数函数zczw)(偶极子流动偶极子流动xy-Q+QPz0zzzQzzQzWln2)ln(2)(0zzzzeABQzzzzzzQzWilnln2lnln)(2)(zMzmezWi1212)(zzzzzmQABzzQAB1lnlnlimlim0偶极子流动偶极子流动zMzmezWi1212)(izmzW12)(22 2yxym 222)2()2(ccyx流线：是上下两族圆，圆心在流线：是上下两族圆，圆心在y y轴

13、上，各圆经过原点轴上，各圆经过原点0cdzdzdwQi流线流线方程方程例例 试分析下列复势是由哪些基本势流叠加而成的试分析下列复势是由哪些基本势流叠加而成的? ?)4ln()1 (2)(2zizzW解:)2ln()2ln()2ln()2ln(2)(iziiziizizzzW(1).(2).(3).2ieVizizQ221200izizii22200例例 龙卷风龙卷风 r r0 0=20m=20m ，V Vmaxmax=50m/s=50m/s , , 空气密度空气密度 =1.225=1.225kg/mkg/m3 3, ,无穷远压强为无穷远压强为p p , ,速度分布为速度分布为 解:0022)2

14、(2121pprrrpVpp20200021)2(21Vrpprr201000205 . 2rrVrrV试求涡核试求涡核中心的最小压强中心的最小压强5 . 22220200max000rrrrVVVrrrrV涡涡外部压强分布外部压强分布涡涡核区压强分布核区压强分布ypyvvxvuxpyuvxuu11xvyuydyxdxdyyvvdyxvudxyuvdxxuudp22122202202020022221)(21rrppVprpCpprrCyxp当当r=0时时, 压强最小压强最小, 为为pc ackpVpp063. 350225. 1220 均匀平行流场与点源叠加后形成的流动称为二维钝体绕流均匀平

15、行流场与点源叠加后形成的流动称为二维钝体绕流, , 速度速度V V 沿沿x x轴方向轴方向, , 点源位于原点点源位于原点( (1)1)复势、流函数、势函数复势、流函数、势函数(2)(2)滞止点位置与钝体轮廓线方程滞止点位置与钝体轮廓线方程(3)(3)钝体的趋近宽度等钝体的趋近宽度等Vyxq/Vqq/2V解解:zqzVzWln2)(2sinln2cosqrVrqrVsin2cosVrVrqVrVrVqrrqVVVVr202cos,00sin驻点驻点位置位置通过驻点流线通过驻点流线:)(2222202VqyqqyVqqqyV当 x=, =0 : y = q/2V当 =/2: y=q/4V Vyx

16、q/Vqq/2Vr 当，直匀流不受源流影响不同强度的源流沿轴线排列并与直匀流叠加可得到：不同强度的源流沿轴线排列并与直匀流叠加可得到：直匀流绕实际钝头体物体的流动直匀流绕实际钝头体物体的流动源的作用：是将前方来流推开，与物体头部作用相同源的作用：是将前方来流推开，与物体头部作用相同u直匀流与一对等强度源汇的叠加：直匀流与一对等强度源汇的叠加：直匀流流场中：放置一个物体直匀流流场中：放置一个物体其轮廓线：与流线谱中封闭线相同其轮廓线：与流线谱中封闭线相同上述复合流动：代表直匀流绕该物体的流动上述复合流动：代表直匀流绕该物体的流动 基本流动叠加基本流动叠加, , 解决平面无旋运动的解决平面无旋运动

17、的反问题反问题. .关键是叠加的关键是叠加的解要满足边界条件解要满足边界条件, , 绕流物体固壁是一条流线绕流物体固壁是一条流线, ,解析函数解析函数, , Im(W(z)=const.Im(W(z)=const. xyV+Q -Q22212)(yxymyVzmzVzwVmayxy200222零流线零流线azzazVzw)()(2azzazVzw)()(2( (1)1)解析函数解析函数(2)(2)圆柱表面是一条流线圆柱表面是一条流线(3)(3)无穷远速度是无穷远速度是V V sin)1 (cos)1 (2222raVruraVrur速度分布速度分布sin20Vuur圆柱面上圆柱面上( (r=a

18、)r=a)速度分布速度分布: :22222sin4121)sin2(212121VVVVppp压力系数压力系数:p)sin41 (2122VppcycxadpRadpR0sin0cos圆柱无环量绕流时圆柱无环量绕流时,圆柱所受合力圆柱所受合力=零零2cos)(ln2)()(22rarVzizazVzwxyV+Q -Q(1)(1)解析函数解析函数 (2)(2)点涡流线为圆点涡流线为圆, ,不影响圆柱表面为一条流线不影响圆柱表面为一条流线 (3)(3)点涡速度无穷远为零点涡速度无穷远为零, ,无穷远速度仍为无穷远速度仍为V V . .rraVrVraVrVr2sin)1 (cos)1 (2222速

19、度分布速度分布aVVVr2sin20圆柱面上圆柱面上( (r=a)r=a)速度分布速度分布: :驻点驻点位置位置: :aV4sin0)4sin2sin41 (21222222VaaVVpp2022sin)2(21sin0cosdaVaVadpRadpRcycxVRy压力压力: :库塔库塔-儒可夫斯基定律儒可夫斯基定律: :当理想流体绕有环流的圆柱体流动时，当理想流体绕有环流的圆柱体流动时，作用在柱体上的力方向与未受扰动气流流动方向垂直，大小等作用在柱体上的力方向与未受扰动气流流动方向垂直，大小等于来流速度、环量、密度三者乘积。于来流速度、环量、密度三者乘积。 在以在以L L1 1为边界的区域为

20、边界的区域中中, 具有源、涡等一组奇点具有源、涡等一组奇点S。如果。如果在在区域区域外放置另一组奇点外放置另一组奇点 S，从而使这两组奇点合成后的流，从而使这两组奇点合成后的流动，具有动，具有L L1 1这样的流线，则这样的流线，则 S 是是 S 对于对于边界边界L L1 1的的虚像虚像。 这里解决平面壁和圆边界问题，复杂边界通过这里解决平面壁和圆边界问题，复杂边界通过保角映射保角映射转化为平面壁和圆来求解。转化为平面壁和圆来求解。 是是ABAB上部（平面壁上部（平面壁ABAB不存在时）的复位势，则在流场中不存在时）的复位势，则在流场中插入平面壁插入平面壁ABAB后，后， ABAB上部的复势为

21、上部的复势为（平面壁镜像）（平面壁镜像）)(zf)()(zfzfw 的奇点（虚像点）全部在下半平面（流场外），因此的奇点（虚像点）全部在下半平面（流场外），因此ABAB上部未增加奇点。上部未增加奇点。)(zf实部)()()()()()(zfzfzfzfzfzfwizz 在在 y=0 (xy=0 (x轴）轴）0ABAB是流线是流线 是没有圆边界时的无界流场的复位势，是没有圆边界时的无界流场的复位势， 所有奇点均所有奇点均在圆在圆 外，若在流场中放置一个圆周外，若在流场中放置一个圆周 ，则圆，则圆柱外复势为柱外复势为)(zf)()(2zafzfw圆外未增加奇点。圆外未增加奇点。zaz2实部)()(

22、)()(zfzfzfzfwiaz 0流线流线)(zf22azzzaz 在圆周上在圆周上zV考虑圆柱外有均匀来流，无圆柱时复位势考虑圆柱外有均匀来流，无圆柱时复位势存在圆柱时存在圆柱时zaVzVzw2)(保角映射为根据边界条件确定复势开辟了途径。保角映射为根据边界条件确定复势开辟了途径。u通过一个解析变换通过一个解析变换 将物理平面上复杂的将物理平面上复杂的物面边界变成辅助平面上简单边界。物面边界变成辅助平面上简单边界。)()()(Wfwzw)(fz )(Wu通过解析变换建立两个平面上对应的流动关系通过解析变换建立两个平面上对应的流动关系u对于变换后的平面上相应的流动问题，寻求复势对于变换后的平

23、面上相应的流动问题，寻求复势关键：找关键：找)(fz 对变换的要求对变换的要求: 开域内保角开域内保角, 边界上一一对应边界上一一对应不可压，理想，定常，不脱体绕流，平面运动时，流体作不可压，理想，定常，不脱体绕流，平面运动时，流体作用在物体上的合力。用在物体上的合力。cdsnpRccyccxpdxdsynpRpdydsxnpR),cos(),cos()(21212dzdwdzdwcVcp复合力复合力yxRiR ccyxzpdidxidypRiR)(物体物体C上，上，d=0ccyxzddzdwdzdwcizpdiRiR)21(czddzdwdzdwi)(2didddwdzdzdwdiddwdz

24、dzdwdzddzdwdzdzdwic2)(2用解析函数表示的任意物面受力的合力公式，用解析函数表示的任意物面受力的合力公式，dzdzdwic2)(2合力公式合力公式求合力转化为复变函数求留数（残数）问题，简化了计算。求合力转化为复变函数求留数（残数）问题，简化了计算。留数留数等于等于 f(z) 以以 z0 为中心的圆环域内罗伦级数的负幂项为中心的圆环域内罗伦级数的负幂项1101)(CzzC的系数0),(Re2)(zzfsidzzfcz0 为奇点，为奇点，C包围奇点包围奇点ViVi举力公式举力公式)2(ieV讨论物体以讨论物体以变速变速V V0 0(t)(t)在静止无界流体中运动的情形在静止无

25、界流体中运动的情形采用采用势函数势函数为求解变量物体为求解变量物体采用固接于物体的采用固接于物体的动坐标系动坐标系0 xy,0 xy,研究流体的研究流体的绝对运动绝对运动V0(t)X0 Y0YXyxA动坐标系中绝对运动势函数动坐标系中绝对运动势函数02bbbnVnV )(itVVb)(0jijryirxrrenrbsincos物面边界条件物面边界条件无穷远处无穷远处cos)()(0tVrar0)(rr满足上述边界条件的解满足上述边界条件的解cos)(20ratVsin)(cos)(220220ratVruratVrur速度场速度场sin)(cos)(00tVutVur圆柱面上圆柱面上( (r=a)r=a)速度分布速度分布: :为求压力场，先给出为求压力场，先给出 动坐标系动坐标系 中的柯西中的柯西- -拉格朗日积分拉格朗日积分1( )2epV VV Vc tt （不计重力）（不计重力）eV牵连速度牵连速度，动坐标系相对于绝对坐标的速度，动坐标系相对于绝对坐标的速度V0(t)X0 Y0YXyxAitVVe)(01( )2ep