理论力学 第二章力系的简化.

1、12 21 汇交力系的合成汇交力系的合成 22 力偶系合成力偶系合成 23 平行力系的简化平行力系的简化 24 重心重心 25 空间一般力系的简化空间一般力系的简化3汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系 汇交力系平面汇交力系空间汇交力系作用在刚体上的力为滑移矢量滑移矢量汇交力系共点力系沿作用线移动沿作用线移动4一、合成的几何法AF2F1F4F3F2F1FF3F4BCDEAF2AF1F4F35由力的三角形法则，得1234FFFFF分力矢1234FFFF、 、 、和合力矢F构成了封闭四边形称为力多边形，由力多边形求合力的方法称为力多边形法则。F2F1FF3F4BCDAF2F1FF3F4BCDA力多

2、边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，其方向为第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。6可推广到一般，求 个力组成的汇交力系的合力。n空间汇交力系是否可以用力的多边形法则求合力？结论：结论：汇交力系合成的结果是一个合力汇交力系合成的结果是一个合力作用线：作用线通过汇交点作用线：作用线通过汇交点大小方向：由力多边形封闭边确定大小方向：由力多边形封闭边确定1niiFF用矢量式表示：图7二、合成的解析法kFjFiFFiziyixi1niiFFniiziyixkFjFiF1（汇交力系合力矢为各分力矢的矢量和）niizniniiyixkFjFiF111设合力解析表示为：

3、kFjFiFFzyx8得：1nyiyiFF1nxixiFF1nziziFF合力投影定理合力投影定理： 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力的大小：合力的方向：222ixiyizFFFFcosixFFcosiyFFcosizFF合力的作用线过汇交点9三、汇交力系的合力矩定理汇交力系12,nF FF合力为F合力对点O的力矩矢为： OMFrF由于iFF得： OiMFrF12nrFrFrF 其中： iOirFMF所以得：所以得： 1nOOiiMFMF10汇交力系的合力矩定理： 汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各分力对汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各分力对同一点之力矩矢的矢量

4、和；合力对任一轴之矩等于同一点之力矩矢的矢量和；合力对任一轴之矩等于各个分力对同一轴之矩的代数和各个分力对同一轴之矩的代数和。 1nOOiiMFMF 1nzziiMFMF 平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和。各个分力对同一点矩的代数和。平面汇交力系的合力矩定理： 1nOOiiMFMF11例1：力F作用于支架上的点C如图所示，设F100N, 试求力F分别对点A,B之矩。解：解：mNFFFMFMFMyAxAA-2360cos360sin2)()()(oomNFFMFMFMyBxBB-15060cos30)()()(o12力偶系

5、的合成1、空间力偶系的合成空间力偶系：12,nM MM 空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。图13222ixiyizMMMMcosixMMcosiyMMcosizMM合力偶大小：合力偶方向：2、平面力偶系的合成iMMiMM14一、力的平移定理力的平移定理：力的平移定理：作用于刚体上的力均可从原来的作用点平移至同一刚体内任意一点，为不改变原力对刚体的作用效应，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的矩。15工程实例书P28解释 图16二、空间一般力系向一点简化空间一般力系：各力的作用线不在同一平面内，且 既不汇交一点又不相互平行的力系。O123,nF

6、 FFF刚体内任选一点O，力系向O点简化O点称为简化中心图17图181）根据力的平移定理，将各力平行移到O点，1、简化的一般结果2）空间一般力系12( ,)nFFF12(,)nM MM空间汇交力系空间力偶系其中：()iOiMMF3）空间汇交力系简化结果：合力过汇交点iiFFF空间力偶系简化结果：合力偶()iOiMMMF19主矢量：力系中各力的矢量和。iFF主矩：力系中各力对简化中心矩的矢量和。()OOiMMF主矢和简化中心的选择无关，主矩和简化中心的选择有关。思考：主矢和合力是否相同？思考：主矢和合力是否相同？结论：结论：空间一般力系向任一点简化，一般可得到一个力 和一个力偶，该力通过简化中心

7、，其大小和方向 等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对 简化中心的主矩。20空间一般力系简化实例图212、主矢和主矩的计算222222()()()xyzixiyizFFFFFFF1）主矢的计算cos,cos,cosiyixizFFFFFF2）主矩的计算()()()()()()OxOixxiOyOiyyiOzOizziMMFMFMMFMFMMFMF222OOxOyOzMMMMcos,cos,cos OyOxOzOOOMMMMMM22三、空间一般力系简化的最后结果1、若 ,则该力系平衡（下章专门讨论）。0,0OFMOM2、若 ,则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩 。此时简

8、化结果与简化中心的位置无关。（简化中心的位置变，但力都为0，主矢与简化中心无关，但主矩大小变）0,0OFM233、若 ，则力系可合成为一个合力，合力通过简化中心O点，合力大小和方向由力系的主矢确定。 此时与简化中心有关（换个简化中心，主矩不为零。）0,0OFM244、若 0,0OFMOFM1）力系可合成为一个合力，合力大小方向由主矢确定，作用线不过简化中心O,偏离的距离OdMF图25空间一般力系的合力矩定理：OM 空间力系向O点简化后得主矢 和主矩 , 若 ，即垂直，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力 （书P30图）F0OMFFOOMFOOFM）(又由于()OOiMMF iOOFMF

9、M)（ iZZFMFM 上投影，有的任一轴向通过点将zOFMO26合力矩定理的一般形式(1).力系如有合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的矢量和。(2).力系如有合力，则合力对任一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和。 iOOFMFM)（ iZZFMFM27/ /OFM2）力螺旋： 由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系。力、力偶和力螺旋是力学的基本量。右旋力螺旋：（力与力偶矩矢同向） 图a。左旋力螺旋：（力与力偶矩矢反向） 图bFMO（a）MO（b）F力系合成为一力螺旋28OFM主矢 和主矩成任意角度3）图29 分解为OFM1）力系可合成为一个合力，情况如4,1）/

10、 /OFM2）力螺旋，情况如4，2） 30力系合成为一力螺旋。力螺旋中力的大小方向由主矢确定，力偶矩矢大小为 。垂直时中心轴不过简化中心，平移的距离为/cosOOMM(sin)OOdMFMF中图为垂直情况，右图为平行情况。中心轴：与力作用线相重合的直线31力螺旋工程实例图32力螺旋工程实例图3334四、平面力系简化的最后结果则力系平衡。 0,0OFM 1、若 则力系可合成为一合力偶。 力偶的力偶矩由主矩确定 。0,0OFM 2、若 则力系可合成为一合力。合力过简化中心，合力大小方向由主矢确定。 0,0OFM 3、若简化结果和简化中心无关。简化结果和简化中心有关。35 ，力系可合成为一合力。合力

11、不过简化中心，平移的距离为d=Mo / F , 合力的大小和方向由主矢确定 。 0,0OFM 4、若=MOOFO AOMFFO AOMFFFF合力作用线方程由平面内力对点之矩的解析表达式：( )OyxOMFF xF yM-其中：O是合力作用线上任意一点36五、力系简化的应用1、固定端约束物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。 按照作用在物体上的主动力的不同可分为：平面固定端约束和空间固定端约束。371）平面固定端约束图38 当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也应是一个平面力系。同理根据平面力系的简化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，大小方向都未知的力用一对正交力表示，力

12、偶由平面力偶表示。FAxFAy392）空间固定端约束 当主动力为一空间力系时，物体在固嵌部分所受的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，由于力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三个坐标轴上，用分量来表示。40图41图42图432、分布平行力系的简化dF q (x)dx取O点为简化中心，将力系向O点简化。主矢量： 0lFq x dx主 矩： 0lOMxq x dx OdMxq x dxF MO，力系可进一步简化为一合力，其作用线距O点的距离为： 00OlldMFxq x dxq x dx441）均布载荷Fql2dl2）三角形载荷012Fq l2

13、3dl45例2 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。461.求主矢建立如图坐标系Oxy主矢的大小472. 求主矩MO由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。主矢的方向合力FR到O点的距离48例3已知立方体边长为a，F1 = F2 = F3 = P ，F4 = F5 = ,求该力系的简化结果。2P49解：1.求主矢：1452222xFFFFP -5422022yFFF-230zFFF-2.求主矩：34202xMF aFa -

14、2143202yMF aFaFaF a -422zMFaPa - -50 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的空间平行力系的中心中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。 一、空间平行力系的中心、物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心511 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理可得：RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC 52 如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 由合力矩定理： iiCxPxP二、重心坐标公式二、重心坐标公式：53 根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与

15、y轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：PzPzzPPziiCiiC ,综合上述得重心坐标公式重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,54PPzzPPyyPPxxiCiCiC, 物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n- ，常用积分法求物体的重心位置。55PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVC,iiiVP 设 i 表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则代入上式并取极限，可得：上式为重心重心C 坐标的精确公式坐标的精确公式。 VdVP式中，对于均质物体， =恒量，上式成为：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC

16、,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。56若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC ,57 同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC,:立体AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,:平板lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,:细杆58在极限情况下，当时在极限情况下，当时 重心坐标重心坐标 的一般公式为：的一般公式为： 0,iPnPdVzzPdVyyPdVxxVCVCVC,VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC,对于均质物体，对于均质物体， =恒量，上式成

17、为恒量，上式成为：591.1.积分法积分法- -简单几何形状物体的重心简单几何形状物体的重心 如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。称中心上。 重心的求法重心的求法： 60dRdLLCx dLxLsinRxC例例 1：求半径为求半径为R，顶角为，顶角为2 的均质圆弧的重心。的均质圆弧的重心。O cosxR 2cos2RdR-612.2.用组合法求重心用组合法求重心 （1 1）分割法）分割法 若一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这若一个

18、物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用下些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心即可用下式求出。式求出。iiiCiiiCiiiCPzPzPyPyPxPx62例例2 2：试求试求形截面重心的位置，其尺寸如图所示。形截面重心的位置，其尺寸如图所示。 解：解：取图示坐标，将该图形分割取图示坐标，将该图形分割为三个矩形。为三个矩形。4515300111-yxA305400122yxA515300133yxA重心坐标为重心坐标为 321332211AAAAxAxAxxC321332211AAAAyAyAyyCmm27mm263cm4 . 6 212211SS

19、ySySAyAyiiC由解解：cm248 cm4 21 ,80cm212 221)R(y,y,RSS 求：该组合体的重心？已知：64例：例：试求试求形截面重心的位置，其尺寸如图所示。形截面重心的位置，其尺寸如图所示。 解：解：取图示坐标，将该图形分割取图示坐标，将该图形分割为三个矩形。为三个矩形。4515300111-yxA305400122yxA515300133yxA重心坐标为重心坐标为 321332211AAAAxAxAxxC321332211AAAAyAyAyyCmm27mm265（2 2）负面积法（负体积法）负面积法（负体积法） 若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物若在物体

20、或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。来求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。 例例: :偏心块偏心块, ,已知已知: :100mm,r=17mm,b=13mm。求重心。求重心。解：解：取图示坐标。将偏心取图示坐标。将偏心块看成由三部分组成。块看成由三部分组成。 663421121RyRA3)(4)(21222brybrA-0323-yrA于是，偏心块重心的坐标为于是，偏心块重心的坐标为 321332211AAAAyAyAyyC222221740210

21、02302)3304(10023400-mm01.40673.3.用实验方法测定重心的位置用实验方法测定重心的位置 （1 1）悬挂法）悬挂法 68（2 2）称重法）称重法 设汽车是左右对称的，则重心必在对称面内，只需设汽车是左右对称的，则重心必在对称面内，只需测定重心测定重心C 距地面的高度距地面的高度zC和距后轮的距离和距后轮的距离xC。 测定测定xC，将汽车后轮放在地面上，前轮放在磅秤上，将汽车后轮放在地面上，前轮放在磅秤上，车身保持水平。这时磅秤上的读数为车身保持水平。这时磅秤上的读数为F1。 01-lFPxClPFxC于是得于是得 0)(FAM69测定测定zC, ,将汽车的后轮抬到任意

22、高度将汽车的后轮抬到任意高度H, ,这时磅秤的读数为这时磅秤的读数为F2 2lPFxC由几何关系知由几何关系知 cosll sincoshxxCClHsinlHl22cos-rzhC-整理后得整理后得 22121HlHPFFrzC-同理得同理得其中其中70平行力系：作用线互相平行的力系 平行力系平面平行力系空间平行力系首先研究由两个力构成的平行力系71一、两平行力的合成1、两同向平行力的合成 CKFFBFABAFAFBEDF1F2ABF1F2即合力的大小等于原有两力之和。A11FFF , B22FFF ABFFF1122FFFF1212FF(FF )12FF1）大小72CKFFBFABAFAF

23、BEDF1F2ABF1F22）作用线位置由三角形的相似，ACKADA和BCKBEB，可得:ACADACAD EBCKDACBEBCBDAEBCKEB 73CKFFBFABAFAFBEDF1F2ABF1F2因为 12DAF , EBF , ADEB2211FADFACAD EBCBDAEBFEBF 2112ACCBABABFFFFF 212FACAB ,FF 112FCBABFF 74结论结论： 两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。75思考：思考：1、如果12F ,F反向不等值，分析力系简化。112FBCABFF - -为反向平行力12F ,F 12FF ，合力为：12FFF-2、如果1