第03章 复变函数的积分.

1、&3.1 复变函数积分的概念&3.2 柯西-古萨基本定理&3.3 基本定理的推广&3.4 原函数与不定积分&3.5 柯西积分公式&3.6 解析函数的高阶导数&3.7 解析函数与调和函数的关系& 1. 有向曲线& 2. 积分的定义& 3. 积分存在的条件及其计算法& 4. 积分性质1. 有向曲线有向曲线22( ):()( )( )( ) ,( )( )0 xx tCtyy tx ty tCx ty t 设、且:( )( )( )()(1)Cz tx tiy tt ( )( )0z tz t连续且Cz平面上的一

2、条光滑曲线。C 约定：光滑或分段光滑曲线（因而可求长）。:,CC 闭曲线 正方向观察者顺此方向沿 前进一周的内部一直在观察者的左边。:的方向规定的方向规定CCA(起点起点)B(终点终点)CC:,;ababbaC开曲线 指定起点终点若为正，则为负 记作 2. 积分的定义积分的定义01(3),nABnAzzzB将任意分划成 个小弧段：1(4)()kkkkkzzfz作乘积1111(5)(),maxnnkkkkkkkkkkk nSfzzzzSzzS 作和式记为的长度，(1)( )wf zzD设定义定义DABxyo1 1z1 kzk kz1 nzkz (2)CDAB为区域内点点的 一条光滑有向曲线。0(

3、)1lim() I(2)nkknkfz若,iC无论如何分割如何取( )(),( )CfzCABfz dz则称 为沿曲线从的积分记作1. .,( )lim()(3)nkkCnki ef z dzfzA (1)( )CCf z dz若为闭曲线，则有：(2): , , ( )( )( )( )bCaC ta bf zu tf z dzu t dt，则有分割取乘积求和取极限22(1),2CCCa bbadzbazdz特例： 若 表示连接点的任一曲线，则0, 0,)2( CCzdzdzC则则表表示示闭闭曲曲线线若若(3)( )( )( ),bCaCf z dzf z dzf z dza b如果存在，一般

4、不能写成。因为不仅有关，还曲线C的形状和关。与与与与方方向向有有3. 积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法( )( ,)( ,)( )( )dCfzu x yiv x yCfzCfzz当在 光 滑 曲 线上连 续 时 ，必 沿可 积 ， 即存 在 。定理定理( )ddddd(4)CCCfzzu xv yiv xu y且( )Cf z dz这个定理表明，可以通过两个二元实变函数的第二型曲线积分来计算。A ()(dd )Cuivxi y记忆11(,)(,)kkkkkkkkkkkkkkkkkkzxiyxxxyyyiuuvv 令1111(,)(,)(,)(,)(5)nnkkkkkkkknn

5、kkkkkkkkuxvyivxuy 11()()()nnnkkkkkkkkSfzuivxi y 1limlim()( , )d( , )d ) ( , )d( , )d )( )dnnkknnkCCCCCSfzu x yxv x yyiv x yxu x yyf zz证明证明0当时，均是实函数的曲线积分。( )( ,), ( ,)C( ,)( ,) ( ,)( ,)!CCCCf zCu x yv x yu x y dxv x y dyv x y dxu x y dy在上连续，所以在上连续，故、都存在A ( , )( , )+ ( , )( , )Cu x y dxv x y dy i v x

6、y dyu x y dy1.( ),( )cf zCf z dz推论当是连续函数是光滑曲线时，一定存在。2.( )cf z dz推论可以通过两个二元实函数的线积分来计算。()()()()( ) ( ( ), ( ) ( )( ( ), ( ) ( ) ( ( ), ( ) ( )( ( ) ( ) ( )Cf z dzu x t y t x tv x t y t y t dtiv x t y t x tu x t y t y t dt终起终起 ( ) ( )df z t z tt ( ), ( ) ( ), ( )( ( )( )du x ty ti v x ty tx tiy tt :)()

7、()(:ttiytxtzzC设设光光滑滑曲曲线线由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得( )d ( )( )(6)Cfzzf z tz t dt nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分分段段光光滑滑曲曲线线.)()()()(,)5估估值值定定理理上上满满足足在在函函数数的的长长度度为为设设 MLdszfdzzfMzfCzfLCCC 4. 积分性质积分性质 CCdzzfdzzf)()() 1 CCdzzfkdzzkf)()()2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()()3由积分定义得：由积分定义得：)10(43: ttytxOAzdzC计计算算例例1 10)

8、43()43(dtitizdzC2102)43(21)43(itdti 解解 CCidydxiyxzdz)(,无无关关右右边边两两个个积积分分都都与与路路径径容容易易验验证证2)43(21)(:idzzfCOAC ，其其上上积积分分的的曲曲线线连连接接 CCxdyydxiydyxdx又解又解Aoxy.,)(010为为整整数数为为半半径径的的正正向向圆圆周周为为中中心心表表示示以以这这里里计计算算nrzCzzdzCn 例例2 20:0 irezzC解解oxy irezz 0 z0zrC 00)sin(cos02202020ndninrinididerininn Cnzzdz10)( 20)1(1

9、derirenini 0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn .,0应应记记住住以以后后经经常常用用到到, ,这这个个结结果果无无关关及及这这个个结结果果与与半半径径zrA oxyiz 101C2C3C)()2)13201见见图图的的值值计计算算CCCOzCCdzzC 例例310)1(:)11 ttizC解解12)1)(1010 tdtdtiittdzzC101:10:)232 titzCttzC 32CCCdzzdzzdzziiidtittdt 1)21(21)1(1010.1;,1,2121向向的的下下半半圆圆周周，逆逆时时针针方方是是单单位位圆圆顺顺时时针针方方向向

10、的的上上半半圆圆周周是是单单位位圆圆其其中中的的值值计计算算 zCzCdzzdzzCC.0 ,:)11 iezC解解:idtidieedzziiC 001. 0,:)22 iezCidtidieedzziiC 002例例4分析分析1的积分例子的积分例子:dzzfdzzfdzzfCzzfBACC )()()(,)(1与路径无关，即与路径无关，即即，即，的积分值相同，的积分值相同，任意任意它沿连接起点及终点的它沿连接起点及终点的在全平面解析在全平面解析中中例例解解析析。的的非非单单连连通通区区域域内内处处处处但但在在除除去去即即不不解解析析的的点点为为奇奇点点中中例例000,02120zzzzid

11、zzzrzz .,)(3有有关关的的值值与与积积分分路路径径在在复复平平面面上上处处处处不不解解析析中中例例CdzzzzfC 由此猜想由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨先将条件加强些，作初步的探讨( )( )f zuivDfzD“设在单连通 内处处解析，且在 内连续。”,xyxyxyxyuvu uv vDCRuvvu 和 以及它们的偏导数在 内都是连续的 并满足方程和21(1)0dini nireredd()d

12、d0dd()d d0 xycDxycDGreenu xv yvux yv xu yuvx y由公 式 cdzzf0)( )xxyyf zuivviu1900( )GoursatCauchyfz年给出了定理的新证明，且将“连续”这一条件去掉了。1825( )( )0cCauchyDf zDCf z dz 年给出了“单连通区域 内处处解析的在 内沿任一条闭曲线 的积分”( )fzD当时解析的定义为存在，且在 内连续。1851RiemannCauchy年给出了定理的上述简单证明。Cauchy 定理定理:( )CauchyGoursatfzD这就产生了著名的定理，从此，解析函数的定义修改为“在 内存在

13、。”定理仍成立.定理仍成立.连续,连续,在在内解析内解析在在的边界的边界为为若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2( )( )0Cf zzCf z dz设在 平面上单连通区域B内解析， 为B内任一条闭曲线。Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：.,)(,)1(定理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的边界的边界为为若若BCBzfBC A BC也称也称Cauchy定理定理(3)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图。不必是简单的！如下图。BBC推论推论 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0, z1B, 积分积分c f (z)dz不

14、依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线，的曲线，即积分与路径无关即积分与路径无关。C 1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf见上图见上图z1z0C1C2C1C2z0z1.,),(,:21顺顺时时针针是是逆逆时时针针及及每每一一条条曲曲线线互互不不包包含含也也不不相相交交闭闭曲曲线线的的内内部部的的简简单单是是在在闭闭其其中中 iinCCCCCCCDC)2()()()1(0)(,)(,.121 niccnidzzfdzzfdzzfDzfDBCCCCB或或则则内内解解析析在在且且有有界界多多连连通通区区域域所所围围成成的的是是由由设设复合闭路定理：复合闭路定理： 2

15、21121)()(LLLLcccdzzfdzzf证明证明0)()( HAFFEEAAAEAFEAGFdzzfdzzf 21CCC设设DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGHidzzzzCC 2100 有有：内内的的正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在包包含含如如：对对任任意意说明说明12(1),:kkC CCCCC 三者之间的关系(2),:,.kkC CCC的特点与曲线的正向按逆时针方向按顺时针方向1( )( )( )kccf z dzf z dzf z dz121(3) 0( )( )( )( )( )kkc ccccccf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzA 1( )

16、( )ccf z dzf z dz此式说明一个解析函数此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线只要在变形过程中曲线不经过的不经过的f(z)的不解析点的不解析点.闭路变形原理闭路变形原理D CC1C1C1.1:12 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzzz例例 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式原式)01, 011(21 CCdzzdzziiidzzdzzCC 42211112 解解 C1C21xyo.1

17、:1 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzz练习练习 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式原式)01, 011(21 CCdzzdzz02211112 iidzzdzzCC 解解 C1C21xyo& 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念& 2. 积分计算公式积分计算公式 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念由由2基本定理的推论知：设基本定理的推论知：设f (z)在单连通区在单连通区域域B内解析，则对内解析，则对B中任意曲线中任意曲线C, 积分积分c fdz与路与路径无关，只与起点和终

18、点有关。径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在当起点固定在z0, 终点终点z在在B内变动内变动,c f (z)dz在在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作121122( )( )c ccLLLLf z dzf z dz设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则内解析，则F(z)在在B内内解析，且解析，且 若函数若函数 (z) 在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f (z) ，即，即 ,称称 (z)为为f (z)在在B内的原函数内的原函数。)()( zfz 上面定理表明上面定理表明 是是f (z)的一个原的一个原函数。函数。 zzdfzF0)()

19、( 设设H (z)与与G(z)是是f (z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，)(,)()(0)()()( )( )()(为为任任意意常常数数cczHzGzfzfzHzGzHzG 这表明：这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。( (见第二章见第二章2 2例例3)3) czFdzzf)()(2. 积分计算公式积分计算公式 设设F(z)是是f (z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f (z)的不定积分，记作的不定积分，记作 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析， F(z)是是f (z)的一个原函数

20、，则的一个原函数，则),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式，此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式，A 但是要求函数是解析的但是要求函数是解析的, ,比以前的连续条件要强。比以前的连续条件要强。例例1 1 计算下列积分：计算下列积分：;3,3, 0Re, 31)12iizzCdzzC终终点点为为起起点点为为为为半半圆圆周周：其其中中 解：解： 32|1211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上上解解析析，在在32319312222222ideideiedzziiiC ：解解., 1arg1)2的的任任意意曲曲线

21、线终终点点为为起起点点为为内内：为为单单连连通通区区域域其其中中zzDCdzzC ).(ln1lnln11ln,1DzzzdzzzzDzC 故故的一个原函数，的一个原函数，是是又又内解析内解析在在例例3 计算下列积分：计算下列积分：32|332izdzziiii 11111|11 nnnnnzndzz 00sinsincos|sincosiizzdzzzziii小结小结 求积分的方法求积分的方法knkkncxfdzzf 1)(lim)()1( udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()()()3( 0)(,)()4( cdzzfBCBzf则则单单连连通通解解析

22、析若若)()(,)()(,)()5(1010zfzFzFdzzfBBzfzzzz 则则单单连连通通内内解解析析在在若若 利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.内内 容容 简简 介介0)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在则则的的一一条条闭闭曲曲线线内内围围绕绕是是内内解解析析在在单单连连通通设设 CdzzzzfzzzzfzDCBzDzfD 100)()(CCdzzzzfdzzzzf

23、的的内内部部曲曲线线在在内内部部的的任任意意包包含含由由复复合合闭闭路路定定理理得得CCz 10,DCz0C1)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )()(,0)(,)(0zfzfzfCzf 时时当当上上的的函函数数值值在在的的连连续续性性 DCz0C1猜想积分猜想积分100Czzz特别取（可充分小）内内任任意意一一点点为为它它的的内内部部完完全全含含于于曲曲线线内内任任意意一一条条正正向向简简单单闭闭是是内内处处处处解解析析在在设设CzDDCDzf0)3,)2,)()1 Cdzzzzfizf00)(21)( ).(2)(lim:,)()(.00

24、0000zifdzzzzfRKdzzzzfdzzzzfCRzzzKKRCK 只只须须证证明明无无关关的的半半径径与与的的内内部部设设 )(2)( ,0, 0:000zifdzzzzfRzzK即即要要证证 kkkdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf000001)()()(2)( 2)()(00 KKdsRdszzzfzf )()(0, 0)()(lim0000zfzfRzzzfzfzz kdzzzzfzf00)()()(2)(lim000zifdzzzzfKR Cdzzzzfizf00)(21)( 积积分分公公式式仍仍成成立立. .上上连连续续及及在在内内解解析析, ,所所围围区区域域在在

25、( (1 1) )若若定定理理条条件件改改为为CauchyBBCBCzf,)( A . . , , f f( (z z) ) . .C C积积分分公公式式 ( (2 2) )定定了了内内部部任任一一处处的的值值也也就就确确则则它它在在区区域域确确定定在在区区域域边边界界上上的的值值一一经经即即若若值值来来表表示示的的值值可可以以用用它它在在边边界界的的内内部部任任一一点点表表明明函函数数在在Cauchy CidzzzzfizfzzC000)(21)(Re:)3( 则则若若A 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。圆周上的平均值。 200Re)Re(21

26、dRiezfiiii 200)Re(21dzfi 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求： 0sinsin21)104 zzzdzzzi iiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解.1122线线在在内内的的任任意意简简单单正正向向曲曲为为包包含含求求 zCdzzzzC例例2 21222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzzzzdzzzziizzizzzzC 4 212211210 积积分分公公式式由由).1( ,173)(, 3222ifdzzfyxCC

27、求求表表圆圆周周设设 例例3解解 )613(27)1(62)1( 3)76(230)( 3)173(230173)(173222 iiiifzzizzfzzzizdzzfzzC 故故又又在全平面上处处解析，在全平面上处处解析，内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。一点与实变函

28、数有本质区别。求求导导得得两两边边在在积积分分号号下下对对对对积积分分公公式式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)( Cdzzzzfizf300)()(2!2)( ), 2 , 1()()(2!)(100)( ndzzzzfinzfCnn 形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。以下将对这些公式的正确性加以证明。.,)(), 2 , 1()()(2!)(,)(000)(1DzDzfCndzzzzfinzfnzfCnn 而而且且它它的的内内部部任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在其其中中

29、阶阶导导数数为为它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 用数学归纳法和导数定义。用数学归纳法和导数定义。zzfzzfzfDznz )()(lim)( .100000的的情情形形先先证证 Cdzzzzzfizzf 00)(21)( Cdzzzzfizf00)(21)( 由由柯柯西西积积分分公公式式 CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(21)()(21)()(000000 令为令为I CCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 CCdszzzzzzfzdzzzzzzzzfI200200)(21)()(21

30、 则则有有取取则则上上连连续续在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000 ）（*)()(21)()(lim)( 200000 Czdzzzzfizzfzzfzf 从从而而有有显显然然，的的长长度度）,0lim(03 ICLdMLzIz .2)()(的情形的情形的方法可证的方法可证式及推导式及推导再利用再利用 n Czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)( )( lim)( 依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得 Cnndzzzzfinzf100)()()(

31、2!)( .,)()(无无穷穷次次可可导导内内解解析析即即在在具具有有各各阶阶导导数数内内在在内内解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 DDzfDzzf一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn 可可计计算算积积分分用用途途 CzCdzzedzzzrzC225)1()2)1(cos)11: 求求下下列列积积分分值值例例1iizidzzzzzC12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面处处解析在全平面处处解析解解的的内内部部不不相相交交且且在在取取处处不不解解析析在在CCCi

32、zCizCizizez21221122,:.)()2 21222222)()()1(CzCzCzdzziedzziedzze 212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeiizei 22)()!12(2)()!12(2 )41sin(2)1sin1(cos)1(2)(1(22 iiieeiii CnzdzzerzC, 1:,)3 求求下下列列积积分分值值 423)1(cos,)4zdzzzz 求求下下列列积积分分值值i )12( )!1(2, 1;2, 1 ninin 原原式式原原式式 在在3.63.6我们证明了在区域我们证明了在区域D内的解析函数内的解析

33、函数,其导数仍为解析函数其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。函数之间的关系。内内 容容 简简 介介.),()00:),(2222内内的的调调和和函函数数为为则则称称即即（方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数DyxyxLaplaceDyx 内的调和函数。内的调和函数。是是，内解析内解析在区域在区域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在

34、区域在区域D内解析，则内解析，则 uvuvCRxyyx 由方程222222uvuvxy xyx y 从而有22( , ), ( , ).u x y v x yvvx yy x 由解析函数高阶导数定理具有任意阶的连续导数2222 0,uuxyD故在 内有2222 0vvxy同理有,0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D内满足内满足拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程方程:内的调和函数。内的调和函数。是是，Dyxvvyxuu),(),( .),(),(D,),(的的共共轭轭调调和和函函数数为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在称称使使得得内内的的调调和和函函数

35、数为为设设yxuyxvivuDyxu 上面定理说明：上面定理说明：.部部的的共共轭轭调调和和函函数数内内解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实D.),(),(),(),()(,的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为内内在在内内解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为调调和和函函数数的的两两个个方方程程内内满满足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析内内就就不不在在则则内内的的两两个个调调和和函函数数区区域域是是任任意意选选取取的的在在若若DivuDvu 现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：.的的共共轭轭调调和和函函数数不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 处处处处不不解解析析平平面面上上在在（由由此此，的的共共轭轭调调和和函函数数必必须须是是方方程程，即即还还必必须须满满足足及及内内解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 从从而而构构成成解解析析函函数数程程可可求求得得它它的的虚虚部部方方利利用用部部已已知知一一个个解解析析函函数数的的实实),(yxv虚虚部部),(yxu实部实部0,),(,2222 yuxuDyxuD则则函函数数内内的的调调和和是是区区域域一一单单连