同济六版高等数学第一章第二节课件

1、一、数列极限的定义二、收敛数列的性质1.2 数列的极限上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页1.2 数列的极限 章节重点重点掌握数列极限的精确定义会用数列极限的定义来证明极限（重点之重点）了解数列极限的基本性质。上页下页铃结束返回首页v数列 如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , ,这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项. 下页数列举例:2, 4, 8, , 2n , ; 21, 41, 81, , n21, ; 1, -1, 1, , (-1)n1, . 21, 32, 43, , 1n

2、n; 上页下页铃结束返回首页一、数列极限的定义一、数列极限的定义v引例用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.下页A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , . 显然n越大, An 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 越接近于S. 上页下页铃结束返回首页 例如 当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记为axnnlim. 下页v数列极限的通俗定义11limnnn021limnn1) 1(lim1-nnnn11limnnn,

3、021limnn, 1) 1(lim1-nnnn. 上页下页铃结束返回首页当n无限增大时, xn无限接近于a .当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 .当n无限增大时, |xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.分析 因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常数a. 当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a.下页上页下页铃结束返回首页v数列极限的精确定义 设xn为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正数e,

4、 总存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式|xn-a |e都成立, 则称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为 如果不存在这样的常数a, 就说数列xn没有极限, axnnlim或 xna (n). 下页或说数列xn是发散的, 习惯上也说nnxlim不存在. e 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e . axnnlim极限定义的简记形式上页下页铃结束返回首页aa-eae()v数列极限的几何意义axnnlime 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e . 下页存在 NN, 当nN时, 点xn全都落在邻域(a-e,ae)内任意给定a的e邻域(a-e,ae),上页下页铃结

5、束返回首页分析: 例1例 1. 证明1) 1(lim1-nnnn. 证明 |xn-1|e-nnnn1| 1) 1(|1, 所以1) 1(lim1-nnnn. 下页证明证明 因为e 0, 证明证明 因为e 0, 1eNN, 当 nN 时, 有 N, 当 nN 时, 有 axnnlime 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e . 对于e0,要使|xn-1|e, 只要|xn-1|nnnn1| 1) 1(|1-. e0,要使|xn-1|e, 只要en1, 即e1n. 上页下页铃结束返回首页因为e 0, 例2 例 2. 证明0) 1() 1(lim2-nnn. 分析:|xn-0|e-11) 1(1

6、| 0) 1() 1(|22nnnn, 所以0) 1() 1(lim2-nnn. 证明 下页axnnlime 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e . |xn-0| 0) 1() 1(|2-nn11) 1(12nn. 对于e 0, 要使|xn-0|e, 只要e 0, 要使|xn-0|e, 只要e11n, 即11-en. e 0, 11 -eNN, 当 nN 时, 有 N, 当 nN 时, 有 上页下页铃结束返回首页分析: 例3 设|q|1, 证明等比数列1, q , q2, , qn-1, 的极限是0. 对于e 0, 要使 |xn-0|qn-1-0|q|n-1log|q|e 1就可以了.

7、所以0lim1-nnq. |qn-1-0|q|n-1e,当nN时, 有因为e 0, 证明 下页N log|q|e1N,axnnlime 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e . 上页下页铃结束返回首页 对于某一正数e0, 如果存在正整数N, 使得当nN时, 有|xn-a|e 0. 是否有xna (n). 讨论首页axnnlime 0, NN, 当nN时, 有|xn-a|e . 上页下页铃结束返回首页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛, 那么它的极限唯一. 证明证明 假设同时有axnnlim及bxnnlim,且 a0, 存在充分大的正整数 N, 使当nN时, 同时

8、有 |xn-a|2ab-e及|xn-b| 上页下页铃结束返回首页 1. 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界. 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 2. 数列1, -1, 1, -1, , (-1)N1, 的有界性与收敛如何？讨论 下页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛, 那么它的极限唯一. v定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界. 上页下页铃结束返回首页下页二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛, 那么它的极限唯一. v定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界. v定理

9、3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0), 那么存在正整数N, 当nN时, 有xn0(或xn0).推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0), 且数列xn收敛于a, 那么a0(或a0).上页下页铃结束返回首页注: 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列. v定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a,那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是a.下页 例如, 数列xn 1, -1, 1, -1, , (-1)n1 的一个子数列为x2n -1, -1, -1, , (-1)2n1 . 上页下页铃结束返回首页 1. 数列的子数列如果发散,原数列是否发散?2. 数列的两个子数列收敛,但其极限不同,原数列的收敛性如何?3. 发散的数列的子数列都发散吗？ 4. 如何判断数列1,