线代线性代数矩阵秩学习教案

1、会计学1线代线性代数线代线性代数(xin xn di sh)矩阵秩矩阵秩第一页，共43页。.,),(,数数梯形矩阵中非零行的行梯形矩阵中非零行的行就是行阶就是行阶其中其中三个数完全确定三个数完全确定此标准形由此标准形由化为标准形化为标准形换和列变换换和列变换行变行变总可以经过初等变换总可以经过初等变换矩阵矩阵任何一个任何一个rrnmOOOErFnmnm 所有与所有与A A等价的矩阵组成等价的矩阵组成(z chn)(z chn)的一个集合，称为一的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵F第2页/共43页第二页，共43页。定义定

2、义(dngy)., 2阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所处处不不改改变变它它们们在在个个元元素素行行列列交交叉叉处处的的位位于于这这些些列列行行和和任任取取中中矩矩阵阵在在kAkAkkkAnm 定义定义(dngy).0).(,0)(1,0 并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于记记作作的的秩秩称称为为矩矩阵阵数数的的最最高高阶阶非非零零子子式式称称为为矩矩阵阵那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的话话阶阶子子式式且且所所有有阶阶子子式式的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵ARArADrDrA 第3页/共43页第三页，共4

3、3页。;)(,1rARrA 则则阶子式都为零阶子式都为零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理(dngl);()(,BRARBA 则则若若行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(j zhn)的秩等于非零行的行数的秩等于非零行的行数;)(,rARrA 则则阶子式阶子式中有一个非零的中有一个非零的如果如果第4页/共43页第四页，共43页。. )4(; )3(;)( )2(; )1(EAEAnARAA的的标标准准形形为为单单位位矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为 则则阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为若若,nA第5页/共43页第五页，共43页。定理定理(dngl)定理定理(dngl).)(0 nARx

4、Annm 阵阵的的秩秩充充分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩有有非非零零解解的的元元齐齐次次线线性性方方程程组组.),( 的的秩秩的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵有有解解的的充充元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组bABAbxAnnm 第6页/共43页第六页，共43页。齐次线性方程组：把系数齐次线性方程组：把系数(xsh)矩阵化成行最简形矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别形矩阵，根据有解判别(pnbi)定理判断是否有解，若有定理判断是否有解，若有解

5、，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解第7页/共43页第七页，共43页。定理定理(dngl).,;, 阶阶初初等等矩矩阵阵相相应应的的的的右右边边乘乘以以相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换对对阶阶初初等等矩矩阵阵左左边边乘乘以以相相应应的的相相当当于于在在变变换换施施行行一一次次初初等等行行对对矩矩阵阵是是一一个个设设nAAmAAnmA 定理定理(dngl)., 2121PPPAPPPAll 使使则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵为为可可逆逆矩矩阵阵设设推论推论.,: BPAQQnPmBAnm 使使得得阶阶可可逆逆矩矩

6、阵阵及及阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵第8页/共43页第八页，共43页。一、求矩阵一、求矩阵(j zhn)的秩的秩二、求解二、求解(qi ji)线性方程组线性方程组三、求逆矩阵三、求逆矩阵(j zhn)的初等变换法的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法第9页/共43页第九页，共43页。求矩阵的秩有下列基本求矩阵的秩有下列基本(jbn)方法方法（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始子式开始(kish)，找到不等于零的子式中阶数最大的一，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数

7、就是矩阵的秩个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩第10页/共43页第十页，共43页。（）用初等变换即用矩阵的初等行（或（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变初等变换不改变(gibin)矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵第一种方法当矩阵(j zhn)的行数与列数较高时，计的行数与列数较高时，计算量很大，第二种

8、方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用第11页/共43页第十一页，共43页。例求下列例求下列(xili)矩阵的秩矩阵的秩.34147191166311110426010021 A解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵A第12页/共43页第十二页，共43页。 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021第13页/共43页第十三页，共43页。,00000000005213010021B . 2)()(, BRAR因此因此注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同

9、时以同时(tngsh)兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形第14页/共43页第十四页，共43页。当方程的个数与未知数的个数不相同当方程的个数与未知数的个数不相同(xin tn)时，一时，一般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法性方程组的解，一般都有两种方法(fngf)：初等行变换：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则第15页/共43页第十五页，共43页。例求非齐次线性方程组的通解例求非齐次线性方程组的通解(tngji)1(. 22

10、55, 1222, 132, 123, 1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使进行初等行变换，使其成为行最简单形其成为行最简单形B第16页/共43页第十六页，共43页。 2025511222111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00000000001113202011001012213214rrrrr第17页/共43页第十七页，共43页。 00

11、000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr第18页/共43页第十八页，共43页。.,16567650616161 )1(,43214取任意常数取任意常数的通解是的通解是可得方程组可得方程组令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx 由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知量的个数是，故有一个自由未知量量的个数是，故有一个自由未知量.3)()( BRAR4 n第19页/共43页第十九页，共43页。 . 0323, 0, 022, 043214321432

12、14321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解a解法一解法一系数矩阵的行列式为系数矩阵的行列式为A第20页/共43页第二十页，共43页。aaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa第21页/共43页第二十一页，共43页。., 0,21方程组有非零解方程组有非零解时时或者或者当当 Aaa:,1化成最简形化成最简形把系数矩阵把系数矩阵时时当当Aa 1000000000100101132311112

13、1211111.,01014321为任意常数为任意常数kkxxxxx 从而从而(cng r)得到方得到方程组的通解程组的通解第22页/共43页第二十二页，共43页。 00000300101011112323121121211111,2化为化为之变换可把之变换可把由计算由计算时时当当AAa 0000010010100001第23页/共43页第二十三页，共43页。.,1010 4321为为任任意意常常数数为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解kkxxxxx 第24页/共43页第二十四页，共43页。 aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行变

14、换把系数矩阵化为阶梯形用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形A第25页/共43页第二十五页，共43页。., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 ARaa 2000010010101111aa第26页/共43页第二十六页，共43页。.,)(,1AEEAEAA 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵.,1AEEAEA 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵第27

15、页/共43页第二十七页，共43页。例求下述矩阵例求下述矩阵(j zhn)的逆矩阵的逆矩阵(j zhn) 111211120A解解.),(施行初等行变换施行初等行变换作分块矩阵作分块矩阵EA 100111010211001120 10011100112001021121rr第28页/共43页第二十八页，共43页。 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r第29页/共43页第二十九页，共43页。 1101002121210102523210012

16、1)1(rr.1102121212523211 A注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终(shzhng)用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终初等列变换求逆矩阵时，必须始终(shzhng)用列变换，其用列变换，其间不能作任何行变换间不能作任何行变换第30页/共43页第三十页，共43页。BAX )1()(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换BAX1 BABXA )2( ABE1初初等等列列变变换换BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行变变换换ABX1 BAXTTT)(1 或者

17、或者(huzh)第31页/共43页第三十一页，共43页。例例.,2,410011103 XXAAXA求矩阵求矩阵且且设设 解解,2XAAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 第32页/共43页第三十二页，共43页。 1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 初等行变换初等行变换.322234225 X第33页/共43页第三十三页，共43页。一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共2424分分) )1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵若元线性方程组有解，且其系数矩阵(j zhn)(j zhn)的秩为的秩为，则当时

18、，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解程组有无穷多解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组 0302032321321xkxxxxxkxx只有只有(zhyu)(zhyu)零解，则应满足的条件是零解，则应满足的条件是nrk第34页/共43页第三十四页，共43页。的通解为的通解为则则设设0,111111111 . 3 AXA4 4线性方程组线性方程组 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要条件是有解的充要条件是第35页/共43页第三十五页，共43页。的秩是的秩是矩阵矩阵 0011102210111000. 6A二、计算题二、计算题 A

19、RARA则则且秩且秩阶方阵阶方阵为为设设, 3,4. 5.,. 1确定矩阵的秩确定矩阵的秩值的范围值的范围讨论讨论 ( (第第1 1题每小题题每小题(xio t)8(xio t)8分，共分，共1616分；第分；第2 2题每题每小题小题(xio t)9(xio t)9分，共分，共1818分；第分；第3 3题题1212分分) )第36页/共43页第三十六页，共43页。 06865035322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解求解(qi ji)(qi ji)下列线性方程组下列线性方程组 342231771110441132161015122111 第37页/共43页第三十七页，共43页。 4423321321321bxxxxaxxxaxx有唯一有唯一(wi y)(wi y)解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解求其通解线性方程组线性方程组取何值时取何值时,. 3ba 554931232362323325432154321432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx第38页/共43页第三十八页，共43页。三、利用矩阵的初等变换，求下列三、利用矩阵的初等变换，求下列(xili)(xili)方阵的逆