2.1.2《椭圆的简单几何性质(一)》解析

1、2.1.2椭圆的简单椭圆的简单几何性质几何性质(一一)复习引入复习引入1. 椭圆的定义是什么？椭圆的定义是什么？复习引入复习引入1. 椭圆的定义是什么？椭圆的定义是什么？2. 椭圆的标准方程是什么？椭圆的标准方程是什么？利用利用椭圆的标准方程椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质研究椭圆的几何性质以焦点在以焦点在x轴上的椭圆为例轴上的椭圆为例(ab0)12222 byax讲授新课讲授新课A1讲授新课讲授新课(ab0)12222 byax1范围范围, 122 by, 122 ax椭圆上点的坐标椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式都适合不等式B2byOF1F2xB1A2-aa-bA1讲授新课讲授新课(

2、ab0)12222 byax椭圆位于直线椭圆位于直线xa和和yb围成的矩形里围成的矩形里|x|a，|y|b1范围范围, 122 by, 122 ax即即x2a2，y2b2，椭圆上点的坐标椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式都适合不等式B2byOF1F2xB1A2-aa-b22(1)1259xy22(2)416xy练习练习1：分别说出下列椭圆方程中：分别说出下列椭圆方程中x，y的取值范围的取值范围-5x 5-3y 3-2x 2-4y 4221416xy(ab0)12222 byax2对称性对称性讲授新课讲授新课yOF1xF2 在椭圆的标准方程里，把在椭圆的标准方程里，把x换成换成x，或，或把把

3、y换成换成y，或把，或把x、y同时换成同时换成x、y时，时，方程有变化吗？这说明什么？方程有变化吗？这说明什么？(ab0)12222 byax2对称性对称性讲授新课讲授新课yOF1F2xYXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称图形的对称实质是图形上点的对称图形的对称实质是图形上点的对称22221(0)xyabab新课探究新课探究二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性22221(0)xyabab 把把x换成换成-x,方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把y换成换成-y,方程不

4、变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于( )轴对称；轴对称； 把把x换成换成-x, y换成换成-y,方程还是不变方程还是不变, 说明椭圆关于说明椭圆关于( )对称；对称；中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。结论：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。结论：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。y x 原点原点oxy( , )P x y椭圆关于椭圆关于y轴轴、x轴轴、原点原点都是对称的都是对称的原点原点是椭圆的对称中心是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的中心 在椭圆的标准方程里，把在椭圆的标准方程里，把x换成换成x，或

5、，或把把y换成换成y，或把，或把x、y同时换成同时换成x、y时，时，方程有变化吗？这说明什么？方程有变化吗？这说明什么？(ab0)12222 byax2对称性对称性讲授新课讲授新课yOF1F2x坐标轴坐标轴是椭圆的对称轴是椭圆的对称轴A1讲授新课讲授新课3顶点顶点 只须只须令令x0，得，得yb，点点B1(0,b)、B2(0, b)是椭圆和是椭圆和y轴的两个交点；轴的两个交点；令令y0，得得xa，点点A1(a,0)、A2(a,0)是椭圆和是椭圆和x轴的两个交点轴的两个交点yOF1F2xB2B1A2(ab0).12222 byax2、椭圆的顶点、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令令 x

6、=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点（轴的交点（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 说明椭圆与说明椭圆与 x轴的交点（轴的交点（ ）。）。*顶点顶点：椭圆与它的对称椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0, ba, 0*长轴长轴、短轴短轴： 线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴和短轴。长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半长半轴长轴长和和短半轴长短半轴长。焦点总在长轴上焦点总在长轴上!A1讲授新课讲授新课3顶点顶点 只须令只须令x0，得，得

7、yb，点，点B1(0,b)、B2(0, b)是椭圆和是椭圆和y轴的两个交点；令轴的两个交点；令y0，得得xa，点，点A1(a,0)、A2(a,0)是椭圆和是椭圆和x轴的两个交点轴的两个交点yOF1F2xB2B1A2(ab0).12222 byaxA1讲授新课讲授新课3顶点顶点椭圆有四个顶点：椭圆有四个顶点：A1(a, 0)、 A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b)椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点椭圆的顶点 只须令只须令x0，得，得yb，点，点B1(0,b)、B2(0, b)是椭圆和是椭圆和y轴的两个交点；令轴的两个交点；令y0，得得xa，点，点A

8、1(a,0)、A2(a,0)是椭圆和是椭圆和x轴的两个交点轴的两个交点yOF1F2xB2B1A2线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴长轴和和短轴短轴. 长轴长轴的长等于的长等于2a. 短轴短轴的长等于的长等于2b.A1讲授新课讲授新课3顶点顶点yOF1F2xB2B1A2cb线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴长轴和和短轴短轴. 长轴长轴的长等于的长等于2a. 短轴短轴的长等于的长等于2b.A1讲授新课讲授新课3顶点顶点yOF1F2xB2B1A2cba叫做椭圆的叫做椭圆的长半轴长长半轴长b叫做椭圆的叫做椭圆的短半轴长短半轴长线段线段A1A2、B1B2分

9、别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴长轴和和短轴短轴. 长轴长轴的长等于的长等于2a. 短轴短轴的长等于的长等于2b.A1讲授新课讲授新课3顶点顶点yOF1F2xB2B1A2cba叫做椭圆的叫做椭圆的长半轴长长半轴长b叫做椭圆的叫做椭圆的短半轴长短半轴长|B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴长轴和和短轴短轴. 长轴长轴的长等于的长等于2a. 短轴短轴的长等于的长等于2b.A1讲授新课讲授新课3顶点顶点yOF1F2xB2B1A2cba叫做椭圆的叫做椭圆的长半轴长长半轴长b叫做椭圆的叫做椭圆的短半轴长短半轴长|B1F1|B1F2|B2F1|

10、B2F2|aa线段线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴长轴和和短轴短轴. 长轴长轴的长等于的长等于2a. 短轴短轴的长等于的长等于2b.A1讲授新课讲授新课3顶点顶点yOF1F2xB2B1A2cba叫做椭圆的叫做椭圆的长半轴长长半轴长b叫做椭圆的叫做椭圆的短半轴长短半轴长|B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a在在RtOB2F2中，中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即，即c2a2b2讲授新课讲授新课 由椭圆的范围、对称性和顶点，由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形点，就可以得到较正确的

11、图形.小小 结结 ：123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 讲授新课讲授新课yOx椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做讲授新课讲授新课yOx椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做讲授新课讲

12、授新课yOx椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做讲授新课讲授新课yOx椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做讲授新课讲授新课yOx椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做讲授新课讲授新课yOx椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做讲授新课讲授新课yOx椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的

13、焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做讲授新课讲授新课椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做yOx越小，因此椭圆越扁；越小，因此椭圆越扁；，从而，从而越接近越接近时，时，越接近越接近当当221)1(cabace 讲授新课讲授新课因此椭圆越接近于圆；因此椭圆越接近于圆；，越接近越接近，从而，从而越接近越接近时，时，越接近越接近当当abce00)2(椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做越

14、小，因此椭圆越扁；越小，因此椭圆越扁；，从而，从而越接近越接近时，时，越接近越接近当当221)1(cabace 讲授新课讲授新课. 0)3(222ayxcba 图图形形变变为为圆圆，方方程程成成为为，两两焦焦点点重重合合，时时，当当且且仅仅当当因此椭圆越接近于圆；因此椭圆越接近于圆；，越接近越接近，从而，从而越接近越接近时，时，越接近越接近当当abce00)2(椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比ace 椭圆的离心率椭圆的离心率ac0， 0e14离心率离心率，叫做，叫做越小，因此椭圆越扁；越小，因此椭圆越扁；，从而，从而越接近越接近时，时，越接近越接近当当221)1(cabace 尝试

15、成功尝试成功比较下面两个椭圆的扁平程度比较下面两个椭圆的扁平程度2222(1)3412 (2)159xyxy12e 23e 定定 义义图图 形形方方 程程范范 围围对称性对称性焦焦 点点顶顶 点点离心率离心率 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)( a,0)、(0, b)|x| a |y| b|x| b |y| a关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称( b,0)、(0, a)ace 讲授新课讲授新课例例1 求椭圆求椭圆16x225y24

16、00的长轴和短轴的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标的长、离心率、焦点和顶点的坐标例例1 1、已知椭圆方程为、已知椭圆方程为16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400，则，则它的长轴长是它的长轴长是： ；短轴长是短轴长是： ；焦距是焦距是： ；离心率等于离心率等于： ；焦点坐标是焦点坐标是： ；顶点坐标是顶点坐标是： ； 外切矩形的面积等于外切矩形的面积等于： ； 108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80解题步骤：解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：1162522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位

17、置. 2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1) a=6, e= , (1) a=6, e= , 焦点在焦点在x x轴上轴上(2) (2) 离心率离心率 e=0.8, e=0.8, 焦距为焦距为8 8(3) (3) 长轴是短轴的长轴是短轴的2 2倍倍, , 且过点且过点P(2,-6)P(2,-6)求椭圆的标准方程时求椭圆的标准方程时, 应应: 先定位先定位(焦点焦点), 再定量（再定量（a、b）当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！311323622yx192519252222xyyx或11352y137y1482222x

18、x或讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程.讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程.，轴上，设椭圆方程为轴上，设椭圆方程为若焦点在若焦点在)0( 1:2222 babyaxx解：解：讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程. 1116222baba，轴上，设椭圆方程为轴上，设椭圆方程为若焦点在若焦点在)0(

19、 1:2222 babyaxx依题意有：依题意有：解：解：讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程. 552ba得：得： 1116222baba，轴上，设椭圆方程为轴上，设椭圆方程为若焦点在若焦点在)0( 1:2222 babyaxx依题意有：依题意有：解：解：讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程. 552ba得：得： 1116222baba，轴上，设椭圆方程为轴上，设椭圆方程为若焦点在若焦点在)0(

20、 1:2222 babyaxx依题意有：依题意有：解：解：. 1520:22 yx故椭圆方程为故椭圆方程为讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程.解：解：轴上，轴上，若焦点在若焦点在y讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程.解：解：轴上，轴上，若焦点在若焦点在y同理求得椭圆方程为：同理求得椭圆方程为：讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程.解：解：轴上，轴上，若焦点在若焦点在y同理求得椭圆方程为：同理求得椭圆方程为：. 16546522 xy讲授新课讲授新课练习练习 求求经过点经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2倍的倍的椭圆的标准方程椭圆的标准方程.解：解：轴上，轴上，若焦点在若焦点