2022届高三5月调考试卷（答案及评分细则定稿）

1、武昌区 2022 届高三年级 5 月质量检测数学参考答案及评分细则选择题答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C A C C A A AD AC AC ABD一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合 A =x 1< x < 3，集合 B =x | x > 4或 x < 2，则集合 AI (RB)= BAR B2, 3) C(1, 4 DÆ2复数 z=2 - i1+ i在复平面内对应的点在 DA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3抛物线y =

2、 4x 的准线方程为 C2A y = 1 B y = -1 C1y = - D16y =1164已知正实数 a ， b 满足 2a + b = ab ，则a42- 的最小值为 AbA0 B2 C4 D65南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前 6 项分别为 1，5，11，21，37，61，则该数列的第 8 项为 CA95 B101 C141 D2016已知角a 的始边与 x 轴非负半轴重

3、合，终边上一点 P(sin3，cos3)，若0 £ a £ 2 ，则a = CA3 B25 2- 3 C- 3 D. 3-27通过随机询问某中学 110 名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：高三数学试题参考答案及评分细则 第 1 页 （共 9 页）性别跳绳 合计男 女爱好 40 20 60不爱好 20 30 50合计 60 50 110已知2 n(ad - bc)2K =(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，P(K 2k) 0.05 0.01 0.001k 3.841 6.635 10.828则以下结论正确的是 AA根据小概率值a =0.001 的独立

4、性检验，爱好跳绳与性别无关B根据小概率值a =0.001 的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 0.001C根据小概率值a =0.01 的独立性检验，有99% 以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”D根据小概率值a =0.01 的独立性检验，在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”x y2 28已知双曲线 C： - =1(a > 0)a 42的左，右焦点分别为 F ，点 P 在双曲线右支F ，1 2上运动（不与顶点重合），设PF 与双曲线的左支交于点Q ，DPQF 的内切圆与QF1 2 2相切于点 M .若|QM |= 4 ，则双曲线C 的离心

5、率为 AA 2 B 3 C2 D 5二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。高三数学试题参考答案及评分细则 第 2 页 （共 9 页）9在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1 的中点，则 ADA直线 A1D与直线 EF 垂直B点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等C直线 A1G与平面 AEF 不平行D过 A，E，F 三点的平面截正方体的截面为等腰梯形10一个质地均匀的正四面体 4 个表面上分别标有数字 1，2，3，4

6、，抛掷该正四面体两次，记事件 M 为“第一次向下的数字为 1 或 2”，事 件 N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是 ACA事件 M 发生的概率为12B事件 M 与事件 N 互斥C事件 M 与事件 N 相互独立 D事件 M + N 发生的概率为1211已知函数 f (x) = asin x -cosx(xÎR) 关于x = 对称，则下列结论正确的是 AC6A a= -33 B f (x) 在 3 12- , 上单调递增C f (x) 的最大值为 2 33D把 f (x) 的图象向左平移123个单位长度，得到的图象关于点( ,0)4对称12已知函数 f (x) = 2

7、x -cos x的零点为x ，则 ABD0A1 1x < B x > C0 02 3tan5 1x > D x0 sin x0- <042三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13函数 ( ) 2 1x-f x =x -1的定义域为_ 0，1 )(1，+)14已知向量 a（ -1，2），b（1，2022），向量 m=a+2b，n=2a-kb，若 m/n，则实数 k=_ 4高三数学试题参考答案及评分细则 第 3 页 （共 9 页）15已知(1-ax)(1+ x)6 的展开式中 x3 的系数为 -10，则实数 a的值为_ 216已知异面直线 a，b 的

8、夹角为q ，若过空间中一点 P，作与两异面直线夹角均为3的直线可以作 4 条，则q 的取值范围是_ （3，2四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）T已知正项数列 a 的前 n项 积为T ，且满足 ( )a n= n ÎN .*n nn T -n3 11（1）求证：数列T - 为等比数列；n2（2）求数列T 的前 n 项和nM .n解：（1）因为an=T TT Tn = ³ ，所以- ，且a n (n 2) =n n，n3T 1 T -1 3 -1 T T3T 1 T -1 3 -1n n-1n n1 1 1因为a

9、 > 0，所以T > 0 ，所以得 T - =T ，则T - = T - ，3 1 ( ) n n n n-1n n-12 3 2因为当n =1时，a1=T 21，得a = ，所以T -3T -113111 1 =2 6ì 1ü所以数列 T -í ýnî þ216是首项为，公比为13的等比数列.5 分 1 1 1 1 1 1（2）由（1）知：T - = × - ，即T = × + . 2 6 3 2 3 2( ) ( )n 1 n n n所以1 1 1 2 1 n 1 1 nSn = + +L+ = +

10、 ( +L+ ( n + = - n + . 10 分T T T ) ) 1 ( ) 1 2 n2 3 3 3 2 4 3 218（12 分）在 ABC 中 ， 设 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且(c - b)sinC = (a - b)(sin A + sin B)（1）求 A；（2）若 D 为 BC 上的点，AD 平分角 A，且 c=32，AD= 3 ，求BDDC解：（1）因为(c -b)sinC = (a -b)(sin A+ sin B)，所以由正弦定理可得：(c -b)c = (a -b)(a +b)，整理得b + c -bc = a

11、.2 2 2高三数学试题参考答案及评分细则 第 4 页 （共 9 页）由余弦定理得： cosb + c - a 12 2 2A = = .2bc 2又因为 0 < A < p 所以A = . 6 分3p（2）由（1）知 A = .3p又因为 AD 平分角 A ， 所以ÐBAD = ÐCAD = .6由1 1 1S ABC S SD = + 得 bc A = c× AD ÐBAD + b×| AD | sinÐCADsin | | sin .DABD DADC2 2 2即 3bc =| AD |×(b + c) .

12、3又因为 c = , AD = 3 ，所以b = 3 .2BD c 1再由角平分线的性质可知： = = .12 分DC b 219（12 分）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有 A，B，C 三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生 A，B，C 三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码 A，就接种 A 种疫苗，以此类推）若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种

13、第一针新冠疫苗（1）记甲，乙，丙，丁四个人中接种疫苗 A 的人数为 X，求随机变量 X 的数学期望；（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种疫苗的种数为 Y，求随机变量 Y 的分布列和数学期望1解：（1）由题意 X B(4, )，所以31 4E(X ) = 4´ = .3 3即随机变量 X 的数学期望为43. 4 分（2）Y 的可能取值为 1，2，3.P(Y =1) =34 =3127P(Y=2)=C (2 - 2)2 43 =341427P(Y=3)=C A2 34 3 =3449Y 的分布列为：Y 1 2 3P 1 14 427 27 9高三数学试题参考答案及评分细则 第 5 页 （共

14、 9 页）1 4 4 65E(Y) =1´ + 2´ + 3´ = . 12 分27 27 9 2720（12 分）如图，在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，AB = 2 ，A1B11，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E 为棱 BC 的中点.（1）求证：D1E / / 平面 ABB1A1；（2）若四边形 ABCD 为正方形， 1 为AA 平面 ABCD，二面角 A - BC - A14，求二面角 A1 - DE - C 的余弦值.解：（1）证明：连接 D1E .因为几何体为四棱台，且AB = 2A B ，1 11所以 A1D AD/BE ./ 12所以四

15、边形 A1D EB 为平行四边形.1所以 D1E / A B .1又因为 D1E Ë 平面 ABB1A1 ， A1B Ì 平面 ABB1A1 ，所以 D1E / 平面ABB1A . 6 分1（2）因为四边形 ABCD 为正方形， AA 平面 ABCD ，1所以 A1 A BC ， BA BC .所以 BC 面 A1AB .连接 A1B ，则 BC A1B .所以ÐA1BA 为二面角 A1 - BC - A的平面角p由已知得ÐA BA = .所以 A1 A = AB = 2 .14以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AA 为 z1轴，建

16、立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,2), (0,2,0), ( 2,1,0)A1 D E .设面 A1DE 的法向量为 n = (x, y, z) .高三数学试题参考答案及评分细则 第 6 页 （共 9 页）因为 (0, 2,2), ( 2,1,0)D A1 = - ED = - .ì × =DA n 0, -2y + 2z = 0, ï ì由 1uuur r 得 í í-2x + y = 0, ïED ×n = 0, îîì x =1,ï令 x =1，得 y = 2

17、,íï =z 2.î即 n = (1,2,2) .易知平面 DEC 的法向量为 m = (0,0,1) .m×n 2 2因为cos < m,n >= = = ， 1´3 3| m | n |所以二面角 A1 - DE - C 的余弦值为2- .12 分321（12 分）已知椭圆C :x y2 22 2 1( 0)+ = a > b > 的短轴长为2 2 ，离心率为a b22（1）求椭圆C 的方程；（2）点 P 为直线 x = 4上的动点，过点 P 的动直线 l 与椭圆 C 相交于不同的 A，B 两点，在线段 AB 上取点

18、 Q，满足| AP | × | QB |=| AQ | × | PB |，证明：点 Q 的轨迹过定点.解：（1）由题意可知ì =2b 2 2ïíc 2ï=îa 2，解得 a = 2,b = 2 .所以，所求椭圆的方程为2 2x y+ =1. 4 分4 2（2）设 A(x1, y1),B(x2, y2) ，Q(x, y) ，P(4,t) ，直线 AB 的斜率显然存在，设为 k ，则 AB的方程为 y = k(x - 4) + t .因为 A, P, B,Q 四点共线，不妨设 x2 < x < x1 < 4，则

19、| AP |= 1+ k2 (4 - x ) ， | AQ |= 1+ k2 (x - x) ，1 1|QB |= 1+ k2 (x - x )， 2| PB |= 1+ k (4 - x ) ， 2 2高三数学试题参考答案及评分细则 第 7 页 （共 9 页）由| AP |× |QB |=| AQ |× | PB |，可得(4 - x )(x - x ) = (x - x)(4 - x ) ，1 2 1 2化简得 2x x - (x + x )(4 + x) +8x = 0 .（*）1 2 1 2联立直线 y = k(x - 4) + t 和椭圆的方程，ì 2

20、2x yï + =1í 4 2ï = - +y k(x 4) tî，消去 y ，得(2k2 +1)x2 + 4k(t - 4k)x + 2(t - 4k)2 - 4 = 0 .4k(t -4k)由韦达定理，得 1 2 2x + x = -2k +1，22(t - 4k) - 4x x =1 2 22k +1.代入（*）化简得 x4kt + 2 - t 6 + t2 2= = 4 -kt + 2 kt + 2，即6 +t22kt += 4 -x.又 k=y - tx - 4，代入上式，得6+4y - tx-t2t +2= 4 -x，化简得 2x + ty

21、- 2 = 0 .所以点Q 总在一条动直线 2x + ty - 2 = 0 上，且恒过定点(1, 0) . 12 分22.（12 分）已知函数 f (x) = x - ln x .（1）求证：当 x > 1 时，ln2(x -1)x > ；x +1（2）当方程 f (x) = m 有两个不等实数根x ，1x 时，求证： x 1.1 + x > m +2 22(x -1)解：（1）证明：令 g(x) = ln x - (x >1)，x +11 4 (x -1)2因为 g¢( ) = 2 = > 0 ，x -x (x +1) x(x +1)2所以 g(x)

22、在 (1,+¥) 上单调递增，所以 g(x) > g(1) = 0，即当 x > 1时， ln2(x -1)x > .4 分x +1（2）由 f (x) = x - ln x ，得 f (x) 1 1¢ = - ，易知 f (x) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,+¥) 单调递增，x所以f (x) =1.min高三数学试题参考答案及评分细则 第 8 页 （共 9 页）因为方程 f (x) = m 有两个不等实根，所以 m > 1.不妨设0 < x1 <1< x .2由（1）知，当 x > 1时， ln2(x -1

23、)x > ；当 0 < x < 1时， ln x +12(x -1)x < .x +1方程 f (x) = m 可化为 x - m = ln x .所以2(x -1)x - m = ln x ，整理得 2 - (m +1)x + 2 - m > 0> x . 2 22 +2 2x 12同理由2(x -1)x - m = ln x ，整理得 12 ( 1) 1 2 0< -x + m + x - + m > . 11 +1x 11由，得(x - x )(x + x ) - (m +1) > 0 .2 1 1 2又因为x2 > x 所以 1 + x &g