第5章 滤波器的结构

1、第第5 5章章 时域离散系统的网络结构时域离散系统的网络结构5.1 5.1 引言引言 5.2 5.2 用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构 5.3 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构有限长脉冲响应基本网络结构 5.5 5.5 线性相位结构线性相位结构 5.6 5.6 频率采样结构频率采样结构 时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应，也可以用系统函数进行描述。如果系统冲响应，也可以用系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从输入、输出服从N N阶差分方程：阶差分方程： 01

2、( )()()MNiiiiy nb x nia y ni Ni-iiMiiizazbXYH101) z() z(z则其系统函数则其系统函数HH( (z z) )为为5.1 5.1 引引 言言为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理为了用计算机或专用硬件完成对输入信号的处理 Ni-iiMiiizazbXYH101) z() z(z01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算变换成一种算法，按照这种算法对输入信号进行运算同一个差分方程或系统函数可以有多种算同一个差分方程或系统函数可以有多种算法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算法。

3、不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究速度以及系统的复杂程度和成本等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。实现信号处理的算法是一个很重要的问题。 我们用网络结构表示具体的算法，因此网我们用网络结构表示具体的算法，因此网络结构实际表示的是一种运算结构。络结构实际表示的是一种运算结构。数字信号处理中有三种基本运算，即数字信号处理中有三种基本运算，即乘法、加乘法、加法和单位延迟法和单位延迟。5.2 5.2 用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构图图5.2.1 三种基本运算的流图表示三种基本运算的流图表示方框图表示法方框图表示法信号流图表示法信号流

4、图表示法x(n)y(n)b0a1a2z-1z-1)()2() 1()(021nxbnyanyany)1(ny)2(nya1y(n-1)2(2nya)2()1(21nyanya 几个基本概念：几个基本概念： a a）输入节点或源节点输入节点或源节点，x(n)x(n)所处的节点；所处的节点； b b）输出节点或阱节点，）输出节点或阱节点，y(n)y(n)所处的节点；所处的节点； c c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输）分支节点，一个输入，一个或一个以上输 出的节点；将值分配到每一支路出的节点；将值分配到每一支路; ; d d）相加器（节点）相加器（节点) )或和点，有两个或两个以上输入的节点

5、。或和点，有两个或两个以上输入的节点。 e) e) 节点值：任何一节点值等于所有输入支路的信号值之和。节点值：任何一节点值等于所有输入支路的信号值之和。而输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路而输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数，支路不标传输系数时，就认为其传输系数为上的传输系数，支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1 1。1)(nx)2()1(21nyanya0b23541Z1Z1a2a)()2() 1()(021nxbnyanyany67y(n)和点：和点：1 1，5 5；分支节点：；分支节点：2 2，3 3，4 4；源点：；源点：6 6；阱点

6、：阱点：7 7a1y(n-1)2(2nya例例)()(w2nyn 1ny1nw)(w23n2ny1nw)(w34n 2nya1nyanwanwa)(w2142315n 2nya1nyanxbnwnxb)(w210501nx(n)y(n)b0a1a2z-1z-112354根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法根据信号流图可以求出网络的系统函数，方法是列出各个节点变量方程，形成联立方程组，并进是列出各个节点变量方程，形成联立方程组，并进行求解，求出输出与输入之间的行求解，求出输出与输入之间的z z域关系。域关系。求如下信号流图决定的系统函数求如下信号流图决定的系统函数H H( (z z) )。【

7、例【例5.2.15.2.1】11212221221211202( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )W zW z zW zW z zW zX zaW za W zY zbW zbW zbW z2211221101)()()(zazazbzbbzXzYzH解：信号流图的节点变量方程为解：信号流图的节点变量方程为经过联立求解得到经过联立求解得到一般将网络结构分成两类：一般将网络结构分成两类：u有限长单位脉冲响应网络有限长单位脉冲响应网络，简称，简称FIRFIR（Finite Finite Impulse ResponseImpulse Response）网络；网络

8、； u无限长单位脉冲响应网络，无限长单位脉冲响应网络，简称简称IIRIIR（Infinite Infinite Impulse ResponseImpulse Response）网络。网络。10)()(NnnznhzH系统函数系统函数k 01( )1MkkNkkkb zH za z系统函数系统函数5.3 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构无限长脉冲响应基本网络结构IIRIIR系统的特点系统的特点u单位冲激响应单位冲激响应h(n)h(n)是无限长的。是无限长的。u系统函数系统函数H(zH(z) )在有限在有限z z平面上（平面上（0|z|)0|z|)有极点有极点存在。存在。u结构上是递归型的，即

9、存在着输出到输入的反馈。结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。IIRIIR网络的网络的基本网络结构基本网络结构直直接接型型级级联联型型并并联联型型01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni01( )1MiiiNiiib zH za z1直接型直接型差分方程差分方程系统函数系统函数以下我们讨论以下我们讨论M=NM0|z|0处收敛，有限处收敛，有限z z平面只有零平面只有零点，极点全部在点，极点全部在z=0z=0处（因果系统）处（因果系统）。u结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率采样结构）也包含有反但

10、有些结构中（例如频率采样结构）也包含有反馈的递归部分。馈的递归部分。 FIR FIR的系统函数及差分方程的系统函数及差分方程10)( )NnnH zh n z（长度为长度为N N的单位冲激响应的单位冲激响应h(n)h(n)的系统函数为：的系统函数为：10( )( ) ()Nmy nh m x n m00( )1MiiiNiiib zHza z它实际上为它实际上为一般一般a ai i=0=0，即无反馈情况，其差分方程为，即无反馈情况，其差分方程为FIRFIR网络的网络的基本网络结构基本网络结构直直接接型型级级联联型型线线性性相相位位型型频频率率采采样样型型1 1直接型直接型y(n)倒下倒下 h(

11、0) h(1)h(N-2)h(N-1)z-1z-1z-1z-1y(n)x(n)FIR滤波器的直接型结构滤波器的直接型结构FIR滤波器的直接型结构滤波器的直接型结构h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)z-1z-1z-1z-1x(n)2 2级联型级联型 当需要控制滤波器的传输零点时，可将当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)H(z)系统函系统函数分解成一阶和二阶实系数因子的形式：数分解成一阶和二阶实系数因子的形式： 211201201( )()NNniiiniH zh n zzz 即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用直接即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用直接型结构实现。型

12、结构实现。x(n)11z-1z-12112z-1z-1221(N/2)z-1z-12(N/2)y(n).01020(N/2）图图5.4.2 例例5.4.1图图解：解： 将将HH( (z z) )进行因式分解，得到：进行因式分解，得到：3215 . 18 . 20 . 296. 0)(zzzzH)326 . 1)(5 . 06 . 0()(211zzzzH【例【例5.4.1】设设FIR网络系统函数网络系统函数H(z)如下式：如下式：画出画出HH( (z z) )的直接型结构和级联型结构。的直接型结构和级联型结构。u由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘

13、法运算也比直接型多，很少用。运算也比直接型多，很少用。u由于这种结构的每一节控制一对零点，因而在需由于这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时用。要控制传输零点时用。级联型结构特点级联型结构特点5.5 5.5 线性相位结构线性相位结构 所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号的频率成线性关系。信号的频率成线性关系。 1 线性相位的定义线性相位的定义FIRFIR的线性相位是非常重要的，因为数据传输以的线性相位是非常重要的，因为数据传输以及图像处理都要求系统具有线性相位，而及图像处理都要求系统具有线性相位，而FIRFIR滤波滤波器由于它的冲

14、激响应是有限长的器由于它的冲激响应是有限长的, ,因而有可能做成因而有可能做成严格线性相位的。严格线性相位的。 若若FIR DFFIR DF的的h(n)h(n)是实数，且满足对称性。即满是实数，且满足对称性。即满足约束条件：足约束条件： 偶对称偶对称 h(n)=h(N-1-n);h(n)=h(N-1-n); 奇对称奇对称 h(n)=-h(N-1-n);h(n)=-h(N-1-n); 也就是说也就是说h(n)h(n)的对称中心在（的对称中心在（N-1N-1）/2/2，则这，则这种种FIRFIR滤波器就具有滤波器就具有严格线性相位严格线性相位。 下面我们针对下面我们针对h(n)h(n)的奇、偶进行

15、讨论。的奇、偶进行讨论。第一类线第一类线性相位滤性相位滤波器波器第二类线第二类线性相位滤性相位滤波器波器1122(1)00( )(1)NNnNnnnh n zh Nn z 1112002( )( )( )NNNnnnNnnnH zh n zh n zh n z令令n=N-1-nn=N-1-n代入代入用用n=nn=n并应用线性并应用线性FIRFIR特性：特性：h(n)=h(N-1-n)h(n)=h(N-1-n)（1 1）N=N=偶数时偶数时FIRFIR的线性相位的特性的线性相位的特性102(1)012( )(1)NnNnNnnh n zh Nn z 121)0( )NnNnnh n zz （2

16、h(n)h(n)为偶对称为偶对称其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)(1) h(n)(1) h(n)为偶，为偶，N=N=偶数时偶数时, ,线性相位线性相位FIRFIR的结构流图的结构流图共有（共有（N/2-1N/2-1）项）项Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0) h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1).z-1z-1z-1z-1z-1z-1 121)0( )NnNnnH zh n zz （当当N=N=奇数时，有一中间项奇数时，有一中间项h(N-1)/2)h(N-1)/2)无法无法合并，需提出来：合并，需提出来：10312

17、()1)20)( )1()( )2NnnNNnNnnH zh n zNhzh n zz （2 2）h(n)h(n)为偶，为偶，N=N=奇数时奇数时FIRFIR的线性相位的特性的线性相位的特性其中其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2）(2) h(n)为偶，为偶，N=奇数时奇数时,线性相位线性相位FIR的结构流图的结构流图h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0) h(1) h(2) h(3).)21(Nh)23(Nhz-1z-1z-1z-1312()1)201)()( )2NNnNnnNH zhzh n zz （共

18、有（共有（N-3N-3）/2/2项项当当h(n)=h(n)=偶对称时，即偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),h(n)=h(N-1-n),可求出可求出: :312()1)201)()( )2NNnNnnNH zhzh n zz （121)0)( )NnNnnH zh nzz （N=N=奇数时奇数时总结：总结：h(n)为偶对称，为偶对称，N=奇、偶数时奇、偶数时FIR的线性的线性相位的特性相位的特性N=N=偶偶数时数时当当h(n)=h(n)=奇对称时，即奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),h(n)=-h(N-1-n),可求出可求出: :312()1)201)()( )2NNnNnnNH

19、zhzh n zz （121)0)( )NnNnnH zh nzz （N=奇数时奇数时N=N=奇、偶数时奇、偶数时FIRFIR的线性相位的特性的线性相位的特性N=偶偶数时数时3 h(n)3 h(n)为奇对称为奇对称Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0) h(1)h(2)h(3) h(N/2-2)h(N/2-1).z-1z-1z-1z-1-1-1-1-1-1-1h(n)为奇对称，为奇对称，N=偶数时偶数时,线性相位线性相位FIR的结构流图的结构流图h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0) h(1) h(2) h(3).)2

20、1(Nh)23(Nh-1-1-1-1-1h(n)为奇对称，为奇对称，N=奇数时奇数时,线性相位线性相位FIR的结构流图的结构流图z-1z-1z-1z-1设设FIR DF FIR DF 的脉冲响应为的脉冲响应为N N点有限长序列点有限长序列h(n),h(n),则有：则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)(kHDFT取主值序列取主值序列N等分抽样等分抽样单位园上频单位园上频率响应率响应z变换变换内插内插在满足频域采样定理的情况下，可以由在满足频域采样定理的情况下，可以由H(k)H(k)通过内插通过内插公式得到公式得到H(z)H(z)：1101( )( )(1)1NNkkNH kH zzNWz5

21、.6 5.6 频率采样结构频率采样结构1101()( )(1)1NNkkNHkHzzNWz由：由：得到得到FIRFIR滤波器的频率采样型结构。它由两部分级联滤波器的频率采样型结构。它由两部分级联而成。而成。101( )( )( )NckkH zHzHzN 其中：其中：第一部分为梳状滤波器第一部分为梳状滤波器 第二部分由第二部分由N N个谐振器组成的谐振柜个谐振器组成的谐振柜)1 ()(NczzH11)()(zWkHzHkNk频率采样型滤波器结构频率采样型滤波器结构 它是一个由它是一个由N N节延时单元所组成的梳状滤波器。节延时单元所组成的梳状滤波器。)1 ()(NczzH由由看出：看出：10N

22、jzz e（1）梳状滤波器）梳状滤波器令令零、极点特性零、极点特性1()01jNj NeeN22iiN02N201jiNizeiN而等间隔角度之间为而等间隔角度之间为所以所以即即在单位圆上有在单位圆上有N N个等间隔角度的零点。个等间隔角度的零点。( )cH z() 11 cossinjjNcH eeNjN 的频率响应为：的频率响应为：22()(1 cos)sinjcH eNN2(1 cos)2 sin2NN幅频特性及流图幅频特性及流图( )cH zw|H(ejw)|N20.1x(n)y(n)-z-N幅频曲线幅频曲线梳状滤波器信号流图梳状滤波器信号流图一阶网络在频率一阶网络在频率 处响应为无穷

23、大，此时处响应为无穷大，此时HHk k(z) (z) 谐振器：是一阶网络。谐振器：是一阶网络。11)()(zWkHzHkNkz-1W-kH(k)Hk(z)谐振器的零极点：谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：此为一阶网络，有一极点：（2）谐振器）谐振器2jkkNNzWe2kN 这个谐振器的极点正好与梳状滤波器的这个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点（一个零点（i=k)i=k)相抵消相抵消)()()()()()(22kHezkHezzHzHNkjkNkjkkc从而使这个频率（从而使这个频率（w=2k/N)w=2k/N)上的频率响应等上的频率响应等于于H(k).H(k). 谐振柜：它是由谐振

24、柜：它是由N N个谐振器并联而成的。个谐振器并联而成的。101101)()(NkkNNkkzWkHzH这个谐振柜的这个谐振柜的N N极点正好与梳状滤波器的极点正好与梳状滤波器的N N个零点相个零点相抵消，从而在抵消，从而在N N个抽样点的频率响应就分别等于个抽样点的频率响应就分别等于N N个个H(k)H(k)值。值。(3)(3)谐振柜谐振柜z-1W-kH(0)z-1W-kH(1)z-1W-kH(2)z-1W-kH(N-1)N1-z-Nx(n)y(n)（4 4）频率采样型结构流图）频率采样型结构流图将两部分级联起来，得到频率采样结构流图。将两部分级联起来，得到频率采样结构流图。频率域采样结构有两

25、个突出优点：频率域采样结构有两个突出优点：u 在频率采样点在频率采样点 k k处，处， , , 只要调整只要调整HH( (k k) )（即一阶网络（即一阶网络HHk k( (z z) )中乘法器的系数中乘法器的系数H H( (k k) )），就可），就可以有效地调整频响特性，使实践中的调整方便，可以以有效地调整频响特性，使实践中的调整方便，可以实现任意形状的频响曲线。实现任意形状的频响曲线。u只要只要h h( (n n) )长度长度N N相同，对于任何频响形状，其梳状相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和滤波器部分和N N个一阶网络部分结构完全相同，只是个一阶网络部分结构完全相同，只是各支

26、路增益各支路增益HH( (k k) )不同。这样，相同部分便可以标准化、不同。这样，相同部分便可以标准化、模块化。各支路增益可做成可编程单元，生产可编程模块化。各支路增益可做成可编程单元，生产可编程FIRFIR滤波器。滤波器。)()e(jkHHk(5)频率采样型结构特点频率采样型结构特点u系统稳定是靠位于单位圆上的系统稳定是靠位于单位圆上的N N个零极点相互对消个零极点相互对消保证的。实际上，因为寄存器字长都是有限的，对网保证的。实际上，因为寄存器字长都是有限的，对网络中支路增益络中支路增益 量化时产生量化误差，可能使量化时产生量化误差，可能使零极点不能完全对消，从而影响系统稳定性。零极点不能

27、完全对消，从而影响系统稳定性。u结构中，结构中，HH( (k k) )和和 一般为复数，要求乘法器完一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。kNWkNW频率采样结构亦有两个缺点：频率采样结构亦有两个缺点：首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为径为r r的圆上，取的圆上，取r r11且且r r11。 此时此时HH( (z z) )为为 式中，式中，H Hr r( (k k) )是在是在r r圆上对圆上对HH( (z z) )的的N N点等间隔采样之值。由于点等间隔采样

28、之值。由于r r11，因此可近似取因此可近似取H Hr r( (k k)HH( (k k) )。这样，零极点均为。这样，零极点均为 如果由于实际量化误差，零极点不能抵消时，极点位置仍处在如果由于实际量化误差，零极点不能抵消时，极点位置仍处在单位圆内，保持系统稳定。单位圆内，保持系统稳定。1011)(1)1 ()(NkkNrNNzrWkHNzrzH1,2, 1 ,0,e2jNkrkN（6 6）为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正）为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正另外，由另外，由DFTDFT的共轭对称性知道，如果的共轭对称性知道，如果h h( (n n) )是实数是实数序列，则其离散傅里叶变换序列，则其离散傅里叶变换HH( (k k) )关于关于N N/2/2点共轭对称，点共轭对称，即即HH( (k k)=)=HH* *( (N Nk k) )。而且。