数字逻辑设计基础

1、工程学院工程学院 信息技术教研室信息技术教研室FPGA数字数字逻辑逻辑设计设计1.1 数字电路的发展历史及分类数字电路的发展历史及分类1.2 逻辑运算及逻辑门逻辑运算及逻辑门1.3 逻辑代数的基本公式和规则逻辑代数的基本公式和规则1.4 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1.5 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.6 组合逻辑电路设计组合逻辑电路设计1.1.1 数字电路的历史与分类数字电路的历史与分类1.1.2 模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号1.1.3 数字信号的描述方法数字信号的描述方法1.1 数字电路与数字信号数字电路与数字信号1.1 数字电路的历史与分类数字电路的

2、历史与分类数字电路是数字计算机和自动控制系统的基础，它的数字电路是数字计算机和自动控制系统的基础，它的发展是以电子器件的发展为基础的，器件的发展可以发展是以电子器件的发展为基础的，器件的发展可以大致上分为大致上分为3个阶段：个阶段：电子管（电子管（1906年）年）晶体管（晶体管（1947年）年）集成电路（集成电路（Integrated Circuit，简称，简称IC，1958年）年）4数字电路发展特点数字电路发展特点: : 以电子器件的发展为基础以电子器件的发展为基础电子管时代电子管时代1906年，福雷斯特等发明了电子管；电子管年，福雷斯特等发明了电子管；电子管体积大、重量重、耗电大、寿命短。

3、目前在体积大、重量重、耗电大、寿命短。目前在一些大功率发射装置中使用一些大功率发射装置中使用。电压控制器件电压控制器件: : 电真空技术电真空技术p 器件发展的几个阶段：器件发展的几个阶段：5p电子管时代电子管时代1946年年2月由宾州大月由宾州大学研制成功学研制成功ENIAC电子数字积分计算机电子数字积分计算机:重达重达30 t:占地占地250m2:启动功耗启动功耗150000 W:1.8万个电子管万个电子管:保存保存80个字节个字节6晶体管时代晶体管时代电流控制器件电流控制器件 半导体技术半导体技术1947年年12月，月，Bell实验室的实验室的John Bardeen(巴丁巴丁)、Wal

4、ter H. Brattain（布拉顿）及（布拉顿）及William Shockley(肖克利肖克利) 共同发明了共同发明了晶体管，晶体管，1956年获诺贝尔物理学奖。年获诺贝尔物理学奖。世界上第世界上第1只晶体管只晶体管7晶体管时代晶体管时代半导体二极管、三极管半导体二极管、三极管器件器件8半导体集成电路半导体集成电路IC 时代时代集成电路（集成电路（Integrated Circuit, IC）把构成具有一定功能电路）把构成具有一定功能电路所需的晶体管、电阻、电容等元件及它们之间的连接导线全部所需的晶体管、电阻、电容等元件及它们之间的连接导线全部集成在一小块硅片上，然后焊接封装在一个管壳内

5、，其封装外集成在一小块硅片上，然后焊接封装在一个管壳内，其封装外壳有圆壳式、双列直插式、扁平式或球形栅格阵列式等多种形壳有圆壳式、双列直插式、扁平式或球形栅格阵列式等多种形式。式。9半导体集成电路半导体集成电路IC 时代时代1958年美国年美国 TI （Texas Instruments）公司的）公司的Jack Kilby（杰克（杰克基尔比）研制出世界上第一个集成电路基尔比）研制出世界上第一个集成电路（相移振荡和触发器：（相移振荡和触发器： 由由12个器件构成）。个器件构成）。10IC的发展阶段的发展阶段20世纪世纪80年代后：年代后：目前：芯片内部的布线细微到纳米目前：芯片内部的布线细微到纳

6、米(9028 nm)量级量级微处理器的时钟频率高达微处理器的时钟频率高达3GHz（109Hz）20世纪世纪90年代后：年代后： 97年一片集成电路上有年一片集成电路上有40亿个晶体管。亿个晶体管。20世纪世纪6070代：代：IC技术迅速发展：技术迅速发展：SSI、MSI、LSI 、VLSI。10万个晶体管万个晶体管/片。片。将来：将来： 高分子材料或生物材料制成密度更高、三维结构的电路高分子材料或生物材料制成密度更高、三维结构的电路ULSI ， 1 0 亿个晶体管亿个晶体管/片片 、 ASIC 制作制作技术成熟技术成熟11半导体集成电路半导体集成电路IC 时代时代12摩尔定律摩尔定律o 当价格

7、不变时，当价格不变时，集成电路集成电路上可容纳的元器件上可容纳的元器件的数目，约每隔的数目，约每隔18-24个月便会增加一倍，性个月便会增加一倍，性能也将提升一倍。能也将提升一倍。摩尔定律的三个版本：摩尔定律的三个版本：1. 集成电路芯片上所集成的电路集成电路芯片上所集成的电路的的 数目，每隔数目，每隔18个月就翻一倍。个月就翻一倍。2.微处理器的性能每隔微处理器的性能每隔18个月提高一倍，或价格下降一半。个月提高一倍，或价格下降一半。3.用一个美元所能买到的计算机性能，每隔用一个美元所能买到的计算机性能，每隔18个月翻两倍。个月翻两倍。13p 电路设计方法伴随器件变化电路设计方法伴随器件变化

8、 从传统走向现代从传统走向现代(a)(a)传统的设计方法：传统的设计方法：(b)(b)现代的设计方法：现代的设计方法：采用自下而上的设计方法；由人工组装采用自下而上的设计方法；由人工组装, ,经反复调经反复调试、验证、修改完成。所用的元器件较多，电路可试、验证、修改完成。所用的元器件较多，电路可靠性差靠性差, ,设计周期长。设计周期长。现代现代EDA技术实现硬件设计软件化。采用从上到技术实现硬件设计软件化。采用从上到下设计方法，电路设计、分析、仿真、修订等全部下设计方法，电路设计、分析、仿真、修订等全部通过计算机完成。通过计算机完成。14 EDA技术以计算机为基本工具、借助于软件设计平台，自技

9、术以计算机为基本工具、借助于软件设计平台，自动完成数字系统的仿真、逻辑综合、布局布线等工作。最后下动完成数字系统的仿真、逻辑综合、布局布线等工作。最后下载到芯片，实现系统功能。使硬件设计软件化。载到芯片，实现系统功能。使硬件设计软件化。 1. 设计设计在计算机上利用软件平台进行设计在计算机上利用软件平台进行设计原理图设计原理图设计Verilog HDL设计设计状态机设计状态机设计设计方法设计方法EDA（Electronics Design Automation)技术技术153.3.下载下载2.2.仿真仿真4.4.验证结果验证结果实验板实验板下载线下载线16根据芯片内部集成的根据芯片内部集成的逻

10、辑门数目（集成度）逻辑门数目（集成度） 早期把数字集成电路分为大、中、小三类。随着技术的早期把数字集成电路分为大、中、小三类。随着技术的进步，后来出现的规模更大的集成电路称为超大规模集成、进步，后来出现的规模更大的集成电路称为超大规模集成、甚大规模五类。甚大规模五类。 实际上，实际上，LSI与与VLSI之间的界限有些模糊不清，并且后之间的界限有些模糊不清，并且后来趋向于以晶体管的个数而不是以逻辑门的个数来界定来趋向于以晶体管的个数而不是以逻辑门的个数来界定IC，凡是超过凡是超过100万个晶体管的万个晶体管的IC就是就是VLSI 。从器件类型不同从器件类型不同 将使用将使用BJT的芯片称为双极型

11、集成电路。的芯片称为双极型集成电路。 将使用将使用MOSFET的芯片称为单极型集成电路。的芯片称为单极型集成电路。p 数字集成电路的分类数字集成电路的分类17p 数字集成电路的分类数字集成电路的分类分类分类门的个数门的个数典型集成电路典型集成电路小规模小规模最多最多12个个逻辑门、触发器逻辑门、触发器中规模中规模1299计数器、加法器计数器、加法器大规模大规模1009 999小型存储器、门阵列小型存储器、门阵列超大规模超大规模10 000以上以上大型存储器、微处理器、可编大型存储器、微处理器、可编程逻辑器件等程逻辑器件等表表1.1.1 数字集成电路的集成度分类数字集成电路的集成度分类 18从器

12、件类型不同从器件类型不同 将使用将使用BJT的芯片称为双极型集成电路，典型代表是基于的芯片称为双极型集成电路，典型代表是基于TTL（Transistor-Transistor Logic）技术的）技术的7400系列。系列。 将使用将使用MOSFET的芯片称为单极型集成电路，典型代表的芯片称为单极型集成电路，典型代表是基于是基于CMOS（Complementary Metal-Oxide-Semiconductor Field Effect Transistor）技术的）技术的4000系列。系列。p 数字集成电路的分类数字集成电路的分类 TTL是是1964年由年由TI 公司作为标准产品推出的，公

13、司作为标准产品推出的，TI 公司公司称之为称之为54/74逻辑系列。逻辑系列。 54系列为军用型产品，而系列为军用型产品，而74系列为商用型产品。两个系系列为商用型产品。两个系列相应型号的功能一样，但性能不同。列相应型号的功能一样，但性能不同。19从器件类型不同从器件类型不同 将使用将使用BJT的芯片称为双极型集成电路，典型代表是基于的芯片称为双极型集成电路，典型代表是基于TTL（Transistor-Transistor Logic）技术的）技术的7400系列。系列。 将使用将使用MOSFET的芯片称为单极型集成电路，典型代表的芯片称为单极型集成电路，典型代表是基于是基于CMOS（Compl

14、ementary Metal-Oxide-Semiconductor Field Effect Transistor）技术的）技术的4000系列。系列。p 数字集成电路的分类数字集成电路的分类 第一个第一个CMOS集成电路在集成电路在1968年就被研发出来，功耗低，年就被研发出来，功耗低，但速度较慢，其应用范围受到一定的限制。但速度较慢，其应用范围受到一定的限制。经过长期研究与改良，经过长期研究与改良，CMOS IC 性能大大提高。性能大大提高。到到20世纪世纪90年代后期，年代后期，CMOS电路便逐渐取代电路便逐渐取代TTL电路电路而成为当前数字集成电路的主流产品。而成为当前数字集成电路的主

15、流产品。20p 数字集成电路的分类数字集成电路的分类TTL系列系列说说 明明缩写字母注释缩写字母注释7474L74S74LS74AS74ALS74F74H74LV标准标准TTL （出现得最早）（出现得最早）低功耗型低功耗型肖特基型肖特基型低功耗肖特基型（应用广泛低功耗肖特基型（应用广泛）增强型肖特基型增强型肖特基型增强型低功耗肖特基型增强型低功耗肖特基型快速型快速型高速型高速型低电源电压型低电源电压型Low-powerSchottkyLow-power SchottkyAdvanced SchottkyAdvanced low-power SchottkyFastHigh-speedLow-v

16、oltage21p 数字集成电路的分类数字集成电路的分类CMOS系列系列说说 明明400074HC74HCT74AC74ACT74AHC74AHCT74FCT74LVC最早出现的最早出现的CMOS，供电电源为，供电电源为318V与与TTL芯片的引脚兼容、编号相同的高速芯片的引脚兼容、编号相同的高速CMOS ，供电电源为，供电电源为26V类似于类似于74HC，并能与，并能与TTL直接相连，供电电源为直接相连，供电电源为4.55.5V增强型增强型CMOS，供电电源为，供电电源为3.05.5V类似于类似于74AC，并能与，并能与TTL直接相连，供电电源为直接相连，供电电源为4.55.5V增强型高速增

17、强型高速CMOS，供电电源为，供电电源为2.05.5V类似于类似于74AHC，并能与，并能与TTL直接相连，供电电源为直接相连，供电电源为4.55.5V具有具有TTL输入电平的快速输入电平的快速CMOS，供电电源为，供电电源为4.755.25V低电源电压型，供电电源为低电源电压型，供电电源为2.03.6V早期早期CMOS IC典型代表是典型代表是4000系列，其供电电源在系列，其供电电源在318 V之间，后来为了之间，后来为了能与能与TTL芯片兼容，多数芯片兼容，多数CMOS芯片使用芯片使用5V或者更低的电源。现在，或者更低的电源。现在，CMOS有有4000、74HC、74AC、74HCT等系

18、列。等系列。 221.2 逻辑运算及逻辑门逻辑运算及逻辑门逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数o 逻辑逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的事物的因果因果关系。关系。o 逻辑代数中的变量称为逻辑代数中的变量称为逻辑变量逻辑变量，一般用大写字，一般用大写字母母A、B、C表示。逻辑变量的取值只有两种，表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑即逻辑0和逻辑和逻辑1。 0和和1称为逻辑常量。称

19、为逻辑常量。这里这里0和和1本身并没有数值意义，它仅仅是本身并没有数值意义，它仅仅是一种符号一种符号，代表，代表事物矛盾双方的事物矛盾双方的两种状态两种状态。231.2 逻辑运算及逻辑门逻辑运算及逻辑门逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数o 数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系，数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系， 因因此它可以用此它可以用逻辑函数逻辑函数来描述，并称为来描述，并称为逻辑电路逻辑电路。o 对于任何一个电路，若输入逻辑变量对于任何一个电路，若输入逻辑变量A、 B、 C 的取的取值确定后，其输出逻辑变量值确定后，其输出逻辑变量L的值也被唯一地确定了，则的值也被唯一

20、地确定了，则可以称可以称L是是A、 B、 C 的逻辑函数，的逻辑函数， 并记为并记为 ),( CBAfLp逻辑运算逻辑运算: :当当0和和1表示表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某逻辑状态时，两个二进制数码按照某种特定的种特定的因果因果关系进行的运算。关系进行的运算。241.2 .1 基本逻辑运算及对应的逻辑门基本逻辑运算及对应的逻辑门p 逻辑运算的描述方式逻辑运算的描述方式:逻辑代数表达式、真值表、逻辑代数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语言（逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语言（HDL) 等。等。p 在逻辑代数中，有在逻辑代数中，有与与、或或、非非三种基本的逻辑运三种基本的

21、逻辑运算。还有算。还有 与非与非、或非或非、同或同或、异或异或等常用的复合逻等常用的复合逻辑运算。辑运算。25 电路状态表电路状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮与与运算运算(1)与与逻辑逻辑:只有当决定某一事件的条件全部具备时，只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。与逻辑举例与逻辑举例26 逻辑真值表逻辑真值表ABL001010110001 与与逻辑举例状态表逻辑举例状态表开关开关S S1 1开关开关S S2 2灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合

22、合亮亮逻辑表达式逻辑表达式与与逻辑：逻辑：L = A = AB 与与逻辑符号逻辑符号ABL& &ABL. 与与运算运算灭灭-0亮亮-1断断-0合合-1S1 -AS2-B灯灯-L27与与门电路门电路 A 逻辑 0 逻辑 1 B t1 L 实现实现与与逻辑运算逻辑运算（即（即满足满足与与逻辑真值表）的逻辑真值表）的电子电路称为电子电路称为与与门电路门电路（简称（简称与与门门） 28 电路状态表电路状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合亮亮合合合合断断亮亮合合亮亮. 或或运算运算只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或

23、几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或或逻辑关系。逻辑关系。S1灯灯电源电源S2 或逻辑举例或逻辑举例29 逻辑真值表逻辑真值表ABL001010110111 或逻辑举例状态表或逻辑举例状态表开关开关S S1 1开关开关S S2 2灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮逻辑表达式逻辑表达式或逻辑：或逻辑：L = A + . 或运算或运算灭灭-0亮亮-1断断-0合合-1S1 -AS2-B灯灯-L或逻辑符号或逻辑符号 L A B L 1 A B 30或或门电路门电路 实现实现或或逻辑运算逻辑运算（即（即满足满足或或逻辑真值表）的逻

24、辑真值表）的电子电路称为电子电路称为或或门电路门电路（简称（简称或或门门）。）。 A 逻辑 0 逻辑 1 B L t1 31非非逻辑举例状态表逻辑举例状态表A灯灯不通电不通电亮亮通电通电灭灭3.非非运算运算事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为不具备时，事件发生。这种因果关系称为非非逻辑关系。逻辑关系。 A VNC 非非逻辑举例逻辑举例32 非逻辑真值表非逻辑真值表AL0110非非逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式L = A 非非逻辑举例状态表逻辑举例状态表A灯灯不通电不通电亮亮通电通电灭灭3.

25、非非运算运算线圈线圈(A) 通电通电- 1 不通电不通电- 0灯灯(L) 灭灭-0 亮亮 -1333.非非运算运算图图1.4.11 三极管实现的非门电路图三极管实现的非门电路图 1.4.12 非门的输入、输出波形图非门的输入、输出波形图341.2.2 常用复合逻辑运算及对应的逻辑门常用复合逻辑运算及对应的逻辑门p 逻辑运算的描述方式逻辑运算的描述方式:逻辑代数表达式、真值表、逻辑代数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语言（逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语言（HDL) 等。等。p 在逻辑代数中，有在逻辑代数中，有与与、或或、非非三种基本的逻辑运三种基本的逻辑运算。还有算。还有 与

26、非与非、或非或非、同或同或、异或异或等常用的复合逻等常用的复合逻辑运算。辑运算。35 两输入变量与非两输入变量与非逻辑真值表逻辑真值表ABL001010111110ABLAB&L与非与非逻辑符号逻辑符号1. 与非运算与非运算与非与非逻辑表达式逻辑表达式L = A B36 两输入变量两输入变量或非或非逻辑真值表逻辑真值表ABL0010101110002. 或非或非运算运算L = A+B或非或非逻辑表达式逻辑表达式或非或非逻辑符号逻辑符号 B A B A LAB LAB 1 373. 异或异或逻辑逻辑若两个输入变量的值相异，输出为若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为，否则为0。 异或异

27、或逻辑真值表逻辑真值表ABL000101011110异或异或逻辑符号逻辑符号异或异或逻辑表达式逻辑表达式L=A B +AB=AB B A B A = 1 BALBAL384.同或同或运算运算若两个输入变量的值相同，输出为若两个输入变量的值相同，输出为1 1，否则为，否则为0 0。同或同或逻辑真值表逻辑真值表ABL001010111001同或逻辑逻辑符号同或逻辑逻辑符号同或同或逻辑表达式逻辑表达式L=AB+BA=AB B A B A = L=AB L=AB 391.2.3 集成逻辑门电路简介集成逻辑门电路简介 逻辑运算都可以用集成电路实现逻辑运算都可以用集成电路实现 。40111高阻高阻 0 输

28、出输出L输入输入A使能使能EN001高电平有效的同相三态门高电平有效的同相三态门1.2.4 三态门三态门三态输出门电路逻辑符号三态输出门电路逻辑符号ENALEN A L 三态输出门的真值表三态输出门的真值表高阻高阻 1010100 LAEN低电平使能的三态输出非门电路低电平使能的三态输出非门电路41IC1 A 1 总线 EN2 A 2 EN3 ： EN1 ICn IC1 (1) (1) 构成总线传输结构构成总线传输结构1.2.4 三态门三态门应用举例应用举例为了减少复杂的系统中各个单元电路为了减少复杂的系统中各个单元电路之间的连线，数字系统中信号的传输之间的连线，数字系统中信号的传输常常采取一

29、种称为常常采取一种称为“总线总线”（BusBus）的结构形式，以达到在同一导线上分的结构形式，以达到在同一导线上分时传递若干路信号的目的时传递若干路信号的目的。工作时只要控制各个工作时只要控制各个EN 端的逻辑电端的逻辑电平，保证在任何时刻仅有一个三态平，保证在任何时刻仅有一个三态输出门电路被使能，就可以把各个输出门电路被使能，就可以把各个输出信号按要求顺序送到总线上，输出信号按要求顺序送到总线上，而互不干扰。而互不干扰。42 G1 总线 G2 DO/I DIR 1.2.4 三态门三态门应用举例应用举例(2) (2) 实现信号的双向传输实现信号的双向传输当当DIR=1时时G1工作，工作，G2为

30、高阻态，为高阻态，数据线数据线DO/I上的数据经上的数据经G1送到总线送到总线 上上DIR为传送控制信号。为传送控制信号。当当DIR=0时，时，G2工作而工作而G1为为高阻态，来自总线的数据经高阻态，来自总线的数据经G2送到的送到的DO/I线上。线上。43 1.3.1 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式1.3 逻辑代数的基本公式和规则逻辑代数的基本公式和规则1.3.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则1 1、基本公式基本公式1.3.1逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式451.基本公式基本公式1.3.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式交换律：交换律： A + B =

31、 B + AA B = B A结合律：结合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C 分配律：分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A ( B + C ) = AB + AC A 1 = AA 0 = 0A + 0 = AA + 1 = 10 0、1 1律：律：A A = 0A + A = 1互补律：互补律：46重叠律重叠律：A + A = AA A = A反演律：反演律：AB = A + B A + B = A BAA BAB() ()ABACABCABAAAABA()吸收律吸收律 其他常用恒等式其他常用恒等式 ABACBCAB

32、ACBCDAB + ACAB + AC472.常用公式常用公式ABAAAA BABAABA()A B + A B = A A 0 = AA 1 = A+ A 0 = AA 1 = AAB = A + B A + B = A B482.常用公式常用公式493.例题例题例例1.3.1 证明证明ABA BABA B，列出等式、右边的函数值的真值表列出等式、右边的函数值的真值表( (用真值表证明基本公式用真值表证明基本公式) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+ BA+BA B A

33、 BABA B可见上面每个等式两边的真值表相同，故等式成立。可见上面每个等式两边的真值表相同，故等式成立。50 1.3.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 1.1.代入规则代入规则 在包含变量在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。为代入规则。用用BC 代替代替B B，得得代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围A BAB CBABCABCA)(51对于任意一个逻辑表达式对于任意一个逻辑表达式L，若将其中

34、所有的与（，若将其中所有的与（ ）换成）换成或（或（+），或（），或（+）换成与（）换成与（）；原变量换为反变量，反变）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将量换为原变量；将1换成换成0，0换成换成1；则得到的结果就是原；则得到的结果就是原函数的反函数。函数的反函数。2. 反演规则反演规则 522. 反演规则反演规则)(1)(DCBADCB)(AL 0 CDBAL例例1.3.2 试求试求 的非函数。的非函数。解：按照反演规则，得解：按照反演规则，得 保留反变量以外的保留反变量以外的非非号不变。号不变。解：由反演规则，可得解：由反演规则，可得EDCBAL 例例 1.3.3 试求试求L。的的非非

35、函数函数 ED)CB(AL 53LABAC 对于任何逻辑函数式，若将其中的与（对于任何逻辑函数式，若将其中的与（ ）换成或（）换成或（+），或（），或（+）换成与（换成与（）；并将）；并将1换成换成0，0换成换成1；那么，所得的新的函数式就；那么，所得的新的函数式就是是L的对偶式，记作的对偶式，记作 。 L()()LABAC例例2.1.6 逻辑函数逻辑函数 的对偶式为的对偶式为3. 对偶规则：对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的这就是对偶规则。利用对偶规则，可

36、从已知公式中得到更多的运算公式。运算公式。54例例1.3.4 用基本公式证明下列等式成立。用基本公式证明下列等式成立。基本公式的应用基本公式的应用ABBABABA BABABABA证明：证明：8a )()(反演律BABA反演律反演律8b8b5b 4a 0 07a 交换律互补律分配律ABBABAABBBBAABAA1.3.355例题例题CAABBCCAABCAABBCAABCCAABCAABBCCAABBCDBCCAABCAABBCDCAAB左式求证求证BCAACAAB)( 左式左式求证求证56“或或- -与与”表达式表达式“与非与非- -与非与非”表达式表达式 “与与- -或或- -非非”表达

37、式表达式“或非或非- -或非或非” 表达式表达式“与与- -或或” 表达式表达式2、逻辑函数逻辑函数不同形式的转换不同形式的转换 DCACL DC A C = )DC)(CA( )C+D()CA( DCCA 1.逻辑函数的常见表达形式逻辑函数的常见表达形式p“与与- -或或”表达式表达式:也称为也称为 “积之和积之和 (Sum of Products，SOP)”表达式；表达式；p“或或- -与与”表达式表达式:也称为也称为 “和之积和之积(Products of Sum， POS)”表达式。表达式。57o 逻辑函数的化简就是要消去逻辑函数的化简就是要消去与与-或或表达式中表达式中多余的乘积项和

38、每个乘积项中多余的变量，多余的乘积项和每个乘积项中多余的变量，以得到逻辑函数的最简以得到逻辑函数的最简与与-或或表达式。表达式。o 有了最简有了最简与与-或或表达式以后，再用公式变换表达式以后，再用公式变换就可以得到其他的函数形式，从而可以找到就可以得到其他的函数形式，从而可以找到实现成本最低的电路。实现成本最低的电路。3、逻辑函数逻辑函数的化简的化简581.4.1 逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式1.4 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简1.4.2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 1.4.1 逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式1化简逻辑函数的意义化简逻辑函数的意义 LA

39、BABA Bp两个电路的逻辑功能完全相两个电路的逻辑功能完全相同。但简化电路使用的逻辑门同。但简化电路使用的逻辑门较少，体积小且成本低。较少，体积小且成本低。p化简的意义：根据化简后的化简的意义：根据化简后的表达式构成的逻辑电路简单，表达式构成的逻辑电路简单，可节省器可节省器 件，降低成本，提高件，降低成本，提高工作的可靠性。工作的可靠性。 () 1 AA BA BBA BBA 60 1.4.1 逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式 简化标准简化标准(最简的最简的与与-或或表达式表达式) 乘积项的个数最少乘积项的个数最少( (与与门的个数少）门的个数少）; ; 每个乘积项中包含的变量数最少每个

40、乘积项中包含的变量数最少（与与门的输入端个数少）门的输入端个数少）。化简的主要方法化简的主要方法：公式法（代数法）公式法（代数法） 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）611.4.2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1AA并项法并项法: : CBA CBAL BA)CC(BA 方法：方法：1 AAABBA 吸收法：吸收法： A + AB = A 消去法消去法： BABAA CABAB CAB 配项法配项法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+

41、BCBCAABL CBAACAAB)( CBACABCA=AB )()(BCACACABAB 62例例1.4.1 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为要求：（要求：（1）最简的）最简的与与-或或逻辑函数表达式，并画出逻辑图；逻辑函数表达式，并画出逻辑图； （2）仅用）仅用与非与非门画出最简表达式的逻辑图。门画出最简表达式的逻辑图。 LABDA B DABDA B CDA BCD()()LAB DDABDAB CC D= ABABDABD()ABAB DDABABABABAB AB解：解：(与与-或或表达式表达式)(与非与非-与非与非表达式表达式)63CBACBA CBACBA CBACBA

42、 CBACBAL 例例1.4.2 试对逻辑函数表达式试对逻辑函数表达式进行变换，仅用进行变换，仅用或非或非门画出该表达式的逻辑图。门画出该表达式的逻辑图。解：解： CBACBAL 641.5 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.5.4 用卡诺图化简用卡诺图化简含无关项的逻辑函数含无关项的逻辑函数1.5.3 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数1.5.2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1.5.1 最小项与最小项表达式最小项与最小项表达式 n个变量个变量X1X2Xn的最小项是的最小项是n个因子的乘积，每个变量个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现

43、，且仅出都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。一般现一次。一般n个变量的最小项应有个变量的最小项应有2n个。个。 BAACBA、 、A(B+C) 等则不是最小项。等则不是最小项。 例如，例如，A、B、C 三个逻辑变量的最小项有（三个逻辑变量的最小项有（23）8个，个，CBACBACBABCACBACBACABABC。、1. 最小项的定义最小项的定义1.5.1 最小项与最小项表达式最小项与最小项表达式即即 66对于变量的任一组取值，全体最小项之和为对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1 1。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为对于任意一个最小项，只有一组变量取值

44、使得它的值为1 1； 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0 0；三个变量的所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 2.最小项的性质最小项的性质 673. 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 ( ,)()()L A B CAB CCA BB Cl 为为“与与- -或或”逻辑表达式；逻辑表达式； l 在在“与与- -或或”式中的每个乘积项都是最小项。式中的每个乘积项都是最小项。例例1.5.1 将将( , ,)L A B CABAC化成最小项表达式。化成最小项表达式。ABCABCABCABC= m7m6m3m1 (7, 6 3

45、1)m, ,()L ABCABCABCABCABC逻辑函数的最小项表达式：逻辑函数的最小项表达式：68( , ,)()L A B CABABC AB 例例1.5.1 将将 化成最小项表达式。化成最小项表达式。 a.去掉去掉非非号号()()L A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb.去括号去括号ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm691.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可

46、循，它依赖于人的经验代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：代数法化简在使用中遇到的困难：701.5.1 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图的引出卡诺图的引出卡诺图：将卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有变量的全部最小项都用小方块

47、表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样, ,所得到的图形叫所得到的图形叫n变量的卡诺图。变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项如最小项m6=ABC与与m7 =ABC 在逻辑上相在逻辑上相邻。邻。m7m671AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m1100011

48、11000011110ABCD三变量卡诺图三变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺图BABABAAB两变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCCBABCACBABCACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB2. 卡诺图的特点卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。 723. 已知逻辑函数真值表，画卡诺图已知逻辑函数真值表，

49、画卡诺图A B CA B C0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 1L L1 10 00 01 11 11 10 01 1m0m1m2m3m4m5m6m7逻辑函数真值表逻辑函数真值表13457LABCABCABCABCABCmmmmm逻辑函数的卡诺图逻辑函数的卡诺图0 01 10000010111111010CBABCBCA ACBABCACBACBACBAABCCAB m m0 0 m m1 1 m m2 2 m m3 3 m m4 4 m m5 5 m m6 6 m m7

50、 7BCA0 01 10000010111111010CBACBABCACBACBACBAABCCAB 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 173已知逻辑函数画卡诺图已知逻辑函数画卡诺图 当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上，其余的小方格填上0（有时也可（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。的方格所对应的最

51、小项之和。例例1.5.1 画出下列逻辑函数的卡诺图。画出下列逻辑函数的卡诺图。( , , , ) ( , , , , , , , , , )L A B C Dm0 1 2 3 4 8 10 11 14 15 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 74( ,)()()()L A B C DABCDABCDABCD()()ABCDABCDLABCDABCDABCDABCDABCD例例1.5.2 画出下式的卡诺图画出下式的卡诺图 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 0 00 00 0

52、0 00 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解：解：1. 1. 将逻辑函数化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项表达式2. 2. 填写卡诺图填写卡诺图 ),(m1513106075例例1.5.3 已知已知LABCDB 0 0 0 0 1 1 11 1 1 1 1 0 0 0 00001111000011110ABCD解：解：容易发现利用吸收律容易发现利用吸收律LB即即B B等于等于1 1的方格填的方格填1 1其他方格填其他方格填0 0。，画出卡诺图。，画出卡诺图。76 1.5.2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 1. 化简的依据化简的依据DABDADBA DBACDBAD

53、CBA BDABCDADCBA m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ADABDDBA DADDA 772. 化简的步骤化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：(4) 将所有包围圈对应的乘积项相加。将所有包围圈对应的乘积项相加。(1) 将逻辑函数写成最小项表达式；将逻辑函数写成最小项表达式；(2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填其对应方格填1，其余方格填，其余

54、方格填0；(3) 合并最小项，即将相邻的合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组方格圈成一组(包围圈包围圈)，每，每一组含一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项；个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项；78画包围圈时应遵循的原则：画包围圈时应遵循的原则： （1 1）包围圈内的方格数一定是）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形；个，且包围圈必须呈矩形；（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻；循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻；（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有

55、包围圈未曾包围的方格；的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格；（4） 一个包围圈的方格数要尽可能多一个包围圈的方格数要尽可能多, ,包围圈的数目要可能少。包围圈的数目要可能少。 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 79DBBDL BD 例例1.5.4 用卡诺图法化简下列逻辑函数用卡诺图法化简下列

56、逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简）画包围圈合并最小项，得最简与与-或或表达式表达式 解：解：(1) 由由L 画出卡诺图。画出卡诺图。 m)D,C,B,A(L(0，2，5，7，8，10，13，15) L C 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 D A B DB 80 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 011 1111111111110( , , ,)(0 3,5 7,811,1315)L A B C DmLDCBB例例1.5.4 用卡诺图化简用卡诺图化简 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11

57、00 00 01 10 011 1111111111110CD圈圈0LBCDLDCB圈圈1811.5.3 用卡诺图用卡诺图化简含无关项的逻辑函数化简含无关项的逻辑函数1.1.什么叫无关项：什么叫无关项：在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。小项称为无关项或任意项。在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取0 0或取或取1 1，具体取什么值

58、，可以根据使函数尽量得到简化而定。具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。82例例1.5.5 要求设计一个逻辑电路，能够判断要求设计一个逻辑电路，能够判断1位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，当十进制数为偶数时，电路输出为电路输出为0。 1111 1110 1101 1100 1011 101011001010001011100110101010010010011000101000100000LABCD解解:(1)列出真值表列出真值表(2)画出卡诺图画出卡诺图 0 1 1 0 0 1 1

59、0 0 1 L C D A B (3) 卡诺图化简卡诺图化简 D DL 831.逻辑抽象：根据实际逻辑问题的因果关系确定输入、逻辑抽象：根据实际逻辑问题的因果关系确定输入、输出变量，并定义逻辑状态的含义；输出变量，并定义逻辑状态的含义；2.根据逻辑描述列出真值表；根据逻辑描述列出真值表；3.由真值表写出逻辑表达式。根据所用器件，简化和变由真值表写出逻辑表达式。根据所用器件，简化和变换逻辑表达式。换逻辑表达式。4.根据根据逻辑表达式画出逻辑图。逻辑表达式画出逻辑图。二、组合逻辑电路的设计步骤二、组合逻辑电路的设计步骤 一、组合逻辑电路的设计：根据实际逻辑问题，求出所要求一、组合逻辑电路的设计：根

60、据实际逻辑问题，求出所要求逻辑功能的最简单逻辑电路。逻辑功能的最简单逻辑电路。1.6 组合逻辑电路的设计组合逻辑电路的设计84例例1.6.1 某雷达站有某雷达站有A、B、C三部雷达，其中三部雷达，其中A和和B消耗功率相等，消耗功率相等，C的消的消耗功率是耗功率是A的两倍。这些雷达由两台发电机的两倍。这些雷达由两台发电机X和和Y供电，发电机供电，发电机X的最大输的最大输出功率等于雷达出功率等于雷达A的功率消耗，发电机的功率消耗，发电机Y的最大输出功率是的最大输出功率是X的的3倍。要求倍。要求用用与、或、非与、或、非门设计一个逻辑电路，利用各雷达的起动和关闭信号，以最门设计一个逻辑电路，利用各雷达的起动和关闭信号，以最