数学物理方法第一章第二讲

1、复变函数的分类复数数列整式分式有理函数无理函数代数函数超越函数初等函数幂级数傅立叶级数级数无穷乘积无限次运算无限次复合非初等函数复变函数（狭义）复变函数（广义）-10-50510-10-50510-100-50050100-10-50510-10-50510-10-50510-200-1000100200-10-50510-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-50510-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-50510-2-1012-5-2.502.55-5-2.502.55-2-1012-2-1012-5-

2、2.502.55-4-2024-2-1012123451234500.511.5212345-2-1012-2-1012-101-2-1012-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.55-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.55一、基本概念一、基本概念.内点外点界点Z2Z1区域不包括边界点。区域不包括边界点。（开集性）（连通性）0Re z例：指出下列各式，哪些是区域，哪些不是？那些是有界区域？2Imz1Rz21 zMz 设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限)()(lim00zfzfzz存在，则称函数f(z)在z0

3、点处连续，如果w=f(z)在区域B上各点都连续，则称在区域B上连续。1.3 导数三、导数的定义三、导数的定义设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限000)()(limlim0zzzfzfzzzz存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为zzfzzfzfzzd)(dd)(d),(000或说明说明形式上类似于实变函数的一元函数的导数定义。形式上类似于实变函数的一元函数的导数定义。因此实变函数中一元函数的求导法则及初等函数因此实变函数中一元函数的求导法则及初等函数的求导公式都可以照搬过来，只不过将实变量的求导公式都可以照搬过

4、来，只不过将实变量x改改写成复数写成复数z而已。而已。zzzdddddd2121zzzdddddd12212122212121ddzdd1ddzzzFzFddddd)(d说明说明但是，从复变函数可导的定义来看，极限存在要求于z0的方式无关。这一限制，使得复变函数的可导要比实变函数限制严得多。为什么？两个例子：1. dzn/dz=nzn-1 2. w=z*在z平面上处处连续，但处处不可导。可导必连续，连续未必可导可导必连续，连续未必可导.因为这实质上是一个二重极限。与实变函数中二元函数极限相似。几何意义几何意义导数f (z0)的幅角Argf (z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的转动角.

5、zwzzzzezwzwArgArglim00ddw=f(z)Argf (z0)导数f (z0)的模|f (z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率。n四、Cauchy-Riemann条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在区域B内的函数，如果f(z)在任一点z=x+iy可导，则一定有下式成立yuxvyvxu,称之为Cauchy-Riemann条件（方程）可导的必要条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导，那么有条件点处满足在点处存在；在RiemannCauchy),(. 2),(,. 1yxyxyvxvyuxuyuxvy

6、vxu,逆命题不成立0, |0,ImRe)(xyxyixyxyzzzf虽然满足C-R条件，但f(z)在z=0处不可导可导的充分必要条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处满足：条件点处满足在点处存在且连续；在RiemannCauchy),(. 2),(,. 1yxyxyvxvyuxu那么f(z)在z=x+iy处可导。证明过程yuyvxvxuyixyixxviyixxuyixyyvixxviyyuxxuyixviuzfdzzdfzzzzii)()()(limlimlimlim0000导数的计算公式极坐标下的Cauchy-Riemann条件设 f(

7、z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么yuyvxvxudzzdfii)(urrvvrru1,1举例zzedzdezdzzd1Lnzdzzdcossinzdzzdsincoszdzzdcoshsinhzdzzdsinhcosh1.4 解析函数解析函数一、定义一、定义设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0及其邻每一点都是可导的，则称函数f(z)在z0点处解析。若w=f(z) 在区域B上每一点都解析，则称函数 f(z) 在区域B内解析。或称函数w=f(z) 为区域B内的一个解析函数。说明说明2. 称函数的不解析点为奇点奇点。1. 解析与可导的关系 函数在某点

8、解析，则必在该点可导；反之不然。 在区域B内的解析函数在B内可导。 2)(zzf)2()()(222yxyixyxzf例如：函数在复平面内处处不解析。二、二、 解析函数的充分条件解析函数的充分条件设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足条件内每一点满足在；内的偏导数存在且连续在和RiemannCauchy)2(),(),() 1 (BByxvyxu那么f(z)在B内解析。n三、解析函数的主要性质三、解析函数的主要性质性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两族正交曲线举例红红:实部实部兰兰:虚部虚部zezf)(2)(zzf性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数，即02 u02 vn三、解析函数的主要性质三、解析函数的主要性质u(x,y)和和v(x,y)又称为又称为共轭调和函数共轭调和函数。性质3：保角性C)(zfw 、0wCCyxZ平面0z0z1C1Cuvw平面0w0)(0zf)(argj0000e)(lim)(zfzzzfzwzfargarglimarglim)(arg000zwzwzfzzzz0argarglimargli