顺序定积分的积分法PPT学习教案

1、会计学1顺序定积分的积分法顺序定积分的积分法【定理定理】【注意】【注意】（1 1）可可 2、定积分的第二类换元法、定积分的第二类换元法-变量代换法变量代换法(2)(2)三换三换(3)不不必必回回代代第2页/共29页【例例2】计算计算.sincos205 xdxx【解解1 1】250cos(cos )xdx 6201cos6x 11(0 1)66第一组例题：定积分的第一类换元法第一组例题：定积分的第一类换元法-凑微分法凑微分法【解解2 2】令令,cosxt :10t:0,2x 015dtt1066t .61 150t dt 【例例2】 【例例3】250cos(cos )xdx 原式第3页/共29

2、页【例例3】计算计算【解解】.sinsin053 dxxx35sinsinxx 原原式式= = 320cossinxxdx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 32sin(1 sin)xx 32sincosxx第4页/共29页【例例1 1】计算计算).0(d022axxaa令令,sintax 则则,dcosdttax 原式原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS【解解】第二组例题：定积分的第二

3、类换元法第二组例题：定积分的第二类换元法-变量代换变量代换三角代换、三角代换、根式代换、根式代换、倒代换、倒代换、指数代换指数代换:02t :0,xa【例例1】【例例4】第5页/共29页【例例4】计算计算.d12240 xxx解解: 令令, 12 xt则则,dd,212ttxtx原式原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322:13t:04,x第6页/共29页第三组例题：定积分的证明题第三组例题：定积分的证明题（学方法（学方法,记结论）记结论）【例例5】【例例6】【例例7】 2200)(cos)(sin )1( dxxfdxxf【例例6】 00)(sin

4、2)(sin)2(dxxfdxxxf【例例7】f (x)是以是以T为周期为周期, ,则对任意则对任意a，0(1)( )( ).a TTaf x dxf x dx 0(2)( )( )a nTTaf x dxnf x dx 第7页/共29页【证证】,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf0()aft dt )(xf偶函偶函, ,则则 ( )() 2 ( ),f xfxf x )(xf奇函奇函, ,则则 0(),afx dx 00( )()( )aaaaf x dxfx dxf x dx 0( )(),af xf

5、x dx 0( )2( )aaaf x dxf x dx ( )() 0,f xfx ( )0aaf x dx 第8页/共29页上连续，证明上连续，证明 【证证1 1】)(xf 1 , 0 2200)(cos)(sin )1( dxxfdxxf【例例6】若若在在sincos()2xx 20= cos()2fx dx 左左20cos() ()22fx dx 20cos fu du 20cos fx dx sin()cos2xx sin x sin x sin()cos2tt cos xcoscosux【分析分析】【再分析再分析】类似第一类换元法类似第一类换元法-凑微分法凑微分法积分限变化积分限变

6、化第9页/共29页上连续，证明上连续，证明 【证证2 2】设设tx 2,dxdt )(xf 1 , 0 2200)(cos)(sin )1( dxxfdxxf【例例6】若若在在. 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf:02t :0,2x sin x sin()cos2xx cos x【再分析再分析】类似第二类换元法类似第二类换元法-变量代换法变量代换法积分限积分限变化变化tt第10页/共29页设设tx ,dxdt 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft0() (sin )t ft dt 上连续，证明上连续，证明 )(xf1

7、, 0 00)(sin2)(sin)2(dxxfdxxxf【例例6】若若在在 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf【再分析再分析】:0t :0,x 类似变量代换法类似变量代换法sin x sin()sinxx tt【证证2 2】结结论论成成立立积分限积分限变化变化第11页/共29页原原式式= =20sin21cosxdxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 【例例6】 02cos1sindxxxx利用例利用例6结论，计结论，计算算第12页/共29页【例例7】设设f (x)是以是以T为周期的连

8、续函数为周期的连续函数, ,则对任意则对任意a， 0(1)( )( ).a TTaf x dxf x dx 【证证】 TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00对第三个积分，对第三个积分，xtT 设设 TaTdxxf)( adtTtf0)( adttf0)(0( )af x dx (1)成成立立xTt 总结总结 定积分的证明题考虑：定积分的证明题考虑：积分区间的分割性、积分区间的分割性、 换元法换元法( (变量置换变量置换) )、定积分与积分变量无关。、定积分与积分变量无关。 第13页/共29页【证证(2)(2)】 0a nTnTa 【例例7】设设f (x)是以是以T

9、为周期的连续函数为周期的连续函数, ,则对任意则对任意a， 0(1)( )( ).a TTaf x dxf x dx 0(2)( )( )a nTTaf x dxnf x dx 0Tn ()nN 01sin2nxdx 计计算算()nN 01 sin2nxdx 20(sincos )nxx dx 0sincosnxx dx 02sin()4nxdx 5442sinnt dt 02sinnt dt 第14页/共29页【例例9】设函数设函数 01cos110)(2xxxxexfxdxxf)2( 41 计计算算【解解】换元换元, ,令令tx 2,dxdt dxxf)2( 41 21)( dttf 20

10、012cos1dttetdtt先求先求f( (x-2) )较麻烦较麻烦 2022102122cos2tdtedtt 202011tan22tte 4111tan222e : 12t :14,x第15页/共29页【练习练习1 1】.)ln1(ln43 eexxxdx【练习练习2 2】.11cos21122 dxxxxx第16页/共29页【练习练习1 1】.)ln1(ln43 eexxxdx 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 34(ln)22ln1lneedxxx 第17页/共29页 11211cosdxxxx奇函数奇

11、函数【练习练习2 2】【解解】.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积第18页/共29页定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式udvuvvdu不定积分的分部积分不定积分的分部积分第19页/共29页【例例10】 计算计算.arcsin210 xdx【解解】 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 12201x . 12312 arcsin x

12、dx arcsinxx 21xdxx 不定积不定积分分定积分的分部积分定积分的分部积分:第20页/共29页【例例11】 计算计算10.xedx【解解】 令令,xt2,2,xtdxtdt10 xe dx 11002()tttee dt则则102tte dt 102( )ttd e102( )tee2(1)2ee做过不定积分，做过不定积分， 根式代换，根式代换，:01t:01,x第21页/共29页【例例12】 证明定积分公式证明定积分公式( (华里士（华里士（Wallis）公式）公式) ) 2200cossinxdxxdxInnn n为正偶数为正偶数n n为大于为大于1 1的正奇数的正奇数 201

13、0sin xdx如如： 207cos xdx6 4 27 5 3221436587109 133 124 2 2nnnn 134 225 3nnnn 第22页/共29页【补例补例】设设【解解】 21,sin)(xdtttxf.)( 10 dxxxf求求 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 1122001( )( )2x f xx df x 1201(1)( )2fx fx dx 【分析分析】 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 212201sin22xxx dxx 第23页/共29页【练习练习3 3】.2cos140 xx

14、dx课下练习：课下练习：【练习练习4 4】.)2()1ln(102 dxxx【练习练习5 5】第24页/共29页【练习练习3 3】.2cos140 xxdx42012cosxdxx 401tan2xdx 44001tantan2xxxdx 401ln2ln182 .42ln8 401ln sec24x 第25页/共29页【练习练习4 4】【解解】.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 32ln 101112dxxx 第26页/共29页设设)(xf 在在 1 , 0上连续 ，且上连续 ，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx. 【解解】 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 11001(2 )(2 )2xfxfx dx 1011(2)(2 )2