粘性流体动力学基础

1、第七章第七章 粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础 71 引言引言 72 粘性流体的运动微分方程粘性流体的运动微分方程 纳维纳维斯托克斯方程斯托克斯方程 73 两同心圆柱间的轴向流动两同心圆柱间的轴向流动 74 两平行平板间的流动两平行平板间的流动 75 绕圆球的小雷诺数流动绕圆球的小雷诺数流动 76 紊流的基本方程紊流的基本方程雷诺方程雷诺方程第七章第七章 粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础7-1 7-1 引言引言 自然界中的真实流体都是具有粘性的，因此研究粘性流体的动力学问题，对于工程实际有着重要的意义。3-4 纳维-斯托克斯方程式在实际流体中，流体微元表面上，既有压应力p的作用，又有切

2、应力的作用，在实际流体中取出边长为dx，dy，dz的六面体微元。)(kvjvivvzyx微元的运动速度为微元运动加速度为kdtdvjdtdvidtdvdtvdazyx六面体微元的质量为dxdydz 应力的第一个下标 表示应力作用面的法线方向；第二个下标 表示应力的方向。当 时 代表法向应力，否则代表切应力 。将它们标注在包含A点在内的三个微元表面上，则如图71所示，这里假定外界对微元这三个表面的法向应力都沿坐标的正向，切向应力都沿坐标的负向。 ijji ijFxMydzoyzdxdpxxzyxzpyyyxyzpzzxyzx三个面上的九个应力构成应力矩阵zzzyzxyzyyyxxzxyxxppp

3、3-4 纳维-斯托克斯方程式微元六面体的质量力为dxdydzkfjfifFzyx)(X方向的应力表示前后面的应力dxxpppxxxxxx,左右面的应力dyyyxyxyx,上下面的应力dzzzxzxzx,xMydzoyzdxdpxxzyxzpyyyxyzpzzxyzx3-4 纳维-斯托克斯方程式由牛顿第二定律amF 微元六面体x向的运动方程为：dxdydzzdxdydxdzdyydxdzdydzdxxppdydzpdxdydzfdxdydzdtdvzxzxzxyxyxyxxxxxxxxx)()()(整理得dtdvzyxpfxzxyxxxx)(13-4 纳维-斯托克斯方程式zvppyvppxvpp

4、zzzyyyxxx222 1 1zpyxfdtdvzypxfdtdvzzzyzxzzyzyyyxyy同样可得根据牛顿广义内摩擦定律：根据牛顿广义内摩擦定律： xvzvyvzvyvxvzxzxxzzyzyyzxyyxxy二、本构方程、本构方程 为建立牛顿流体的本构方程，斯托克斯 提出如下假设：Stokes （1）小变形，即应力与变形速度成线性； （2）各向同性，即应力与变形速度的关系不随坐标变换而变化； （3）当粘性系数 时，应力状态简化为理想流体的应力状态。0如前所述，当粘性流体发生相对运动时dtddydu（72） 确定应力与变形速度关系的方程叫做本构方程。 定义：定义： 根据流体微团运动分析

5、可知，流体微团在xoy平面上的角变形速度为yuxudtddxyz2 将式（72）中 以 代之dtddtddxuzuzuyuyuxuzxyxzzxyzxzyyzxyzyxxy222同理（73）式（73）称为广义牛顿内摩擦定律。 在粘性流体中，与角变形速度产生切应力一样，线变形速度产生附加切应力。根据牛顿内摩擦定律zuyuxuzzzyyyxxx222（74）式（73）、（74）为本构方程。实际流体运动时，一点上的法向应力为5a)(7 222zupppyupppxupppztzztzzytyytyyxtxxtxx式中 为理想流体运动时的动压强。tp由统计平均各向同性压强的定义，得 0 00 00 0

6、 xxyyzzppp由（1-14）（1-15）静止流体不显示粘性，理想流体模型无粘性。根据静止流体和理想流体的性质可知， =xxyyzzpppp流体静力学中的压强3-4 纳维-斯托克斯方程式带入方程后，x方向上可得dtdvvxvxpfxxx212222222zyx式中（拉普拉斯算子）如果流体不可压缩0zvyvxvzyxdtdvvxpfxxx21则方程式简化为dtdvvzpfdtdvvypfdtdvvxpfzxzyyyxxx2221113-4 纳维-斯托克斯方程式同样可以得到 该式为不可压缩实际流体的运动微分方程式，一般称为纳维-斯托克斯方程式或N-S方程式。 N-S方程是表达不可压缩流体运动最

7、全面的一个二阶非方程是表达不可压缩流体运动最全面的一个二阶非线性非齐次的偏微分方程组，用数值计算方法在工程计算线性非齐次的偏微分方程组，用数值计算方法在工程计算中的应用具有非常重要的意义。中的应用具有非常重要的意义。7-3 7-3 两同心圆柱间的轴向流动两同心圆柱间的轴向流动 如图72所示，半径为 的圆管内有一半径为 的同轴圆柱体。设圆管固定，圆柱体以匀速 运动，流体沿轴向流动。1r2rzr1r2r图77两同心圆柱体间的轴向流动 采用柱坐标系，使 z 轴与管轴重合，由于对称性和流体沿轴向流动，则有 。据此代入连续性微分方程式（315）得 ，即 ，对于定常流动 ，若不计质量力，则NS方程式（77

8、）成为0, 0uur0zuz ruuzz0t0110122rurruvzprpzz（79） 由式（78）中的第一式分析可知 ，考虑到 ，则第二式可改写为 zPP ruuzzdzdpdrdurdrdrdzdpdrdurdrudzzz111122或 上式左端是 r 的函数，右端是 z 的函数，要使等式成立，必有 ，积分上式得常数dzdp212ln41CrCrdzdpuz（710） 利用边界条件 可得Uuurrzrrz210和11221222212121221221lnln41lnlnln41rrrrrrdzdprrrUCrrrrdzdpUC将其代入式（710）得这就是两同心圆柱体间的定常层流流动的

9、速度分布规律。1122122221112lnln41lnlnrrrrrrrrdzdprrrrUuz（711） 当 时，式（711）可化简为02r22141rrdzdpuz（712）油缸柱塞LFPed图 73 例题 71 图例题例题71已知图73所示的油缸内油的相对压强 油的动力粘性系数 ，柱塞的直径 d=50mm，套筒的长度 。套筒与柱塞间隙 设以力F推着柱塞使其保持不动，试求油的漏损流量Q。,10418.294PaPesPa1 . 0mml300mm,05. 0 解解 在式（711）中令 的速度分布为01122122221lnln41rrrrrrrrdzdpuz（713）则流过环形缝隙的漏损

10、流量为12241224241ln8212rrrrrrdzdprdruQrrz（714）式中;252,05.2505. 025221mmdrmmdr柱塞与套筒间隙中的压强梯度mKPaLpdzdpe/6 .9803 . 010418.29004将已知数据代入式（713），得scmsmQ33822244016. 01060. 102505. 0025. 0ln02505. 0025. 0025. 002505. 09806001 . 087-4 7-4 两平行平板间的流动两平行平板间的流动 如图74所示，设平板尺寸无限大，且下板固定，上板以匀速U运动，流体沿 y 方向流动。Uxoyz图74两平行平板

11、间的流动 由于流动定常， ，又因平板在 x 方向尺度为无穷大，且流体仅沿 z 方向流动， 故据此由连续微分方程式（314）得 。若质量力仅有重力， ，则NS方程式（76）成为0t, 0, 0 xuuzx zuuyuyyy即, 0gfffzyx, 0010122zuvypdzdpgy（715） 由式（715）中第一式分析可知，y方向的压强梯度 考虑到 ，则第二等式改写成无关，与zyp zuuyyypdzudy122将上式对 z 两次积分，得21221CzCzypuy 利用边界条件 可以确定出积分常数Uuuzyzy和000,2121CypUC于是得速度分布为zzypzUuy21（716） 例题例题

12、72试用本节所述方法求解例71。 解解 将柱塞与套筒间的同心环形缝隙在平面上展开，则转化成宽度为 的平面缝隙。 dyyzpuz21则通过缝隙的漏损流量为300122zpdydyyzpddyduQz其中kPa/m6 .9803 . 010418.29004Lpzpe 将已知数据代入前式得 ，与按同心环形缝隙流动计算结果相同。scmQ2016. 00U 因柱塞保持不动，故知为压差流动问题，由式（716）令 得速度分布为7-5 7-5 绕流圆球的小雷诺数流动绕流圆球的小雷诺数流动 在工程实际中，我们经常要研究固体微粒和液体细滴在流体中的缓慢运动，这里，圆球是经常遇到的几何形状。如炉膛空气流中的煤粉颗

13、粒，油滴，烟道烟气中的灰尘，水蒸气中的水滴以及水中沉降的泥砂等，都可以近似看作小圆球。对这些小圆球的研究，通常根据力学上的相对运动原理，将圆球视作不动，而把圆球和流体的相对速度作为来流速度 将原来的非定常问题转化为定常问题来处理。,u 研究圆球绕流问题，采用球坐标系较为方便。如图89所示，取球心为坐标原点，使 为流动方向。在小雷诺数的缓慢流动（又称蠕流）情况下，有流体对球体起控制作用的粘性力，惯性力与之比较要小得多，因此研究中可以略去非线性的惯性项不计，根据定常及轴对称条件：若不计质量力，则NS方程式（78）及连续性方程式（315a）可简化为0, 0, 0, 0ut0cot212sin1cot

14、212cot221cot2222222222222222222urruurruurruururrurrurururruururrurrurrrrrrrrrrr（717） 考虑粘性流体绕圆球流动时球面上和无穷远处的边界条件ppuuuuruurrrr,sin,cos0,00时时cos2341431sin21231cos033003300urrpprrrruurrrruur（718）可得解 利用上式可以确定圆球表面上的应力，由于圆球为轴对称，其合力必沿 z 方向，可解得duurFD360（719） 这就是小雷诺数绕圆球流动阻力的斯托克斯公式，式中d为圆球直径。式（719）也可改写成：22uACFDD

15、（720） 式中，A为迎流面积，对圆球而言， ； 为无量纲阻力系数24dADCRe2422uAFCDD （721） 式中 ，实验证明，只有当雷诺数 时，上式才正确。duRe1Re 颗粒在流体中的等速沉降速度一般公式为：gdCuD34流体密度。颗粒密度，式中： 7-6 7-6 紊流的基本方程紊流的基本方程雷诺方程雷诺方程,zyxuuu 液体质点在运动过程中彼此互相混掺，某一空间点处的流速及压强随时间而变化，设某一空间点处的瞬时流速为瞬时压强为 ，工程上常采用时均化的处理方法。p 设紊流流动要素瞬时值 ，这里 分别为相应的时均值和脉动值。由时间平均定义可证明：iiiaaaiiaa和TTadtTdt

16、aTaaaaaaaaaaaaaaaaaaccaaaaa002121221121212121211101、2、3、4、5、6、（722）（723）（724）（725）（726）（727） 紊流的基本特征：紊流的基本特征：。或或或可为式中tzyxzuuyuuxuutuzuyuxuvzpfzxyxxxxxxxx2222221对上式进行时间平均，根据时均运算法则，并且时均化后的连续性微分方程0zuyuxuzyx（728)下面我们利用上述时均运算法则，导出紊流时均匀运动的雷诺方程。以x轴为例，将连续方程式（3 14)各项乘以后叠加在式（77）中第一式的右端得xu可得zuuyuuxuutuzzuuyuux

17、uuzuyuxuxpfzuuyuuxuutuzuuyuuxuuzuyuxuypfzuuyuuxuutuzuuyuuxuuyuyuxuxpfzzzyzxzzyzxzzzzzyzyyyxyzyyyxyyyyyxzxyxxxyxyxyxxxxx222222222222222222(729)式（728）即为紊流的基本方程，它是1894年由雷诺首先提出的，故又称雷诺方程。 将雷诺方程与适用于层流或紊流瞬时运动的方程相比较，可以看出雷诺方程多出了)(),(),(,zxxzyzzyxyyxzzyyxxuuuuuuuuuuuuuuuuuu六项，其中前、后三项分别表示紊流脉动而产生的附加法向应力和附加切应力，统

18、称为雷诺应力。雷诺方程加上时均连续性微分方程共有四个方程式，而未知量却有十个，故方程组不封闭，因此仅用这四个基本方程无法求解，紊流问题还需补充新的方程式。 第七章第七章 习习 题题 71 求粘性压应力和切应力 xx,yy 和 xy ,已知流速分量为： （1）ux = 2ax , uy =2ay （2） ux = , uy =22yxy22yxx72 试求二维固定平行壁之间不可压缩定常粘性流动（略去质量力）的下列参数： （1）速度 u 的表达式和最大流速 umax ; （2） 一段长度 L 上的压强降 的表达式； （3） 求断面平均流速 ； （4）壁面切应力 ； （5）总摩擦力 T。pu0 xoyh2 72 题 附 图解：2 , 0 , 0 , y )2)(1 0 SN 0 , )( )(1 )(1 SN 0 12212122222222222hCCuhCyCyxpuxpypxpyuvyuuyvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuuyvxu积分二次：轴方向变化。仅沿说明方程变为：因为方程列连续性方程）（力。用于克服壁面的摩擦阻由此可知，压力降全部压力降比较与两侧壁面总摩擦力壁面摩擦力单位宽度）（）（）（）（抛物线分布， 4) 12( 4)(22 ) 1( 5