大学高等数学经典课件9-1

1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(重积分重积分)高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积xyz0z = f(x,y)i(i,i)上的有界闭区域D，侧面是以D的边界为准线而母线平行于z轴的柱面，顶是曲面 z=f(x,y),f(x,y)0,且在D上连续。曲顶柱体曲顶柱体：底是xoy平面高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系如何求曲顶柱体的体积？显然，若高不变，

2、即曲顶柱体为平顶柱体，则 V=底面积高 若高为变高，则可采用类似于求曲边梯形面积的方法来求此曲顶柱体的体积。高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 首先，用一组曲线网将区域 D分成 n个小闭区域， 1，2，n小闭区域的面积也记作 i。以小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分成 n个细曲顶柱体。 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 由于 f(x,y) 连续，因此当小区域 i的直径（即区域中任意两点间距离的最大值）很小时， f(x,y) 在 i 上的变化也非常小，这时的细曲顶柱体可近似看成平顶柱

3、体。在 i 中任取一点(i,i)，以 f(i,i) 为高而底为 i的平顶柱体的体积为 f(i,i) i高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 将区域分割的越细，这个近似值就越接近于曲顶柱体的体积。因此，将区域D无限细分，即令n个小区域的直径中的最大值 则以i为底的细曲顶柱体体积 ViiniiiniifV11),(iiif),( 所以曲顶柱体的体积 V=(i=1,2,n)高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 （记为）趋于 0 时，上述和式的极限就是曲顶柱体的体积，即:niiiifV10),(lim2.平面薄片的质量平面薄片的质量

4、设有一质量非均匀分布的薄片占有 xoy 面上的有界闭区域D,其面密度为 (x,y), (x,y) 0,且在D上连续,现计算它的质量M。高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 若薄片是均匀的，即它的面密度是常数，则它的质量可以用下式计算： 质量面密度面积 现面密度是变量，用类似于求曲顶柱体体积的方法来处理。 将 D分割成 n个小闭区域1,2,n， i也表示第 i个小闭区域i的面积。高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 当 i的直径很小时，由于(x,y)连续，相应的小薄片可近似地看作是均匀的。在 i上任取一点 (i,i)，则小薄片的

5、质量：xyoy),2, 1(),(niMiiii所以，iniiiM1),(于是，iniiiM10),(lim高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 以上两个问题虽然实际意义不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限，于是从上述数量关系我们抽象出二重积分的定义。定义定义 设 f(x,y)是有界闭区域 D上的有界函数，将闭区域 D任意分成 n个小闭区域 1，2，n 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 其中i表示第 i个小闭区域，也表示它的面积。在每个i上任取一点 (i,i) ，作乘积 f(i,i) i，如果当各小闭区域的直径中的最大

6、值 趋于零时，这和的极限总存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域 D上的二重积分。记作Ddyxf),(iniiiDfdyxf10),(lim),(*)高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 这里，称 f(x,y)为被积函数，f(x,y)d为被积表达式， d为面积元素，x,y为积分变量，D为积分区域, 称为积分和。niiiif1),( 因为区域 D的划分是任意的，故可用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D，这时的小闭区域 i为矩形小区域 (i=xi yi)所以在直角坐标系中，面积元素 d 也记作 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院

7、数理系DDdxdyyxfdyxf),(),(注意：注意：当函数 f(x,y)在区域 D上连续时,则(*)式右端的和的极限必存在，即连续函数在有界闭区域上的二重积分必定存在。以后在计算二重积分时，总假定 f(x,y)在 D上连续。几何意义：略。dxdy，于是有高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二二、二重积分的性质二重积分的性质性质性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面 ，即DDdyxfkdyxkf),(),(K为常数)性质性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。即 DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(

8、),(高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系性质性质3 如果闭区域 D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分之和。 即若 D=D1D2 ，则21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf性质性质4 如果在 D上，f(x,y)=1，为 D的面积，则 DDdd1高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系性质性质5 如果在 D上，f(x,y) x,y，则有不等式DDdyxdyxf),(),(特别地，由于),(),(),(yxfyxfyxf又有不等式DDdyxfdyxf),(),(高等数学电

9、子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系性质性质6 设 M，m分别是 f(x,y)在闭区域 D上的最大及最小值，是 D的面积，则有 DMdyxfm),(性质性质7 （二重积分的中值定理） 设函数 f(x,y)在闭区域 D上连续，是 D的面积，则在 D上至少存在一点 (,)，使得下式成立：Dfdyxf),(),(高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1:估计DdyxxyxI)(22其中 D是矩形 0 x1， 0y1。 解：设 f(x,y)=x+xy-x2-y2，令02, 021yxyfxyxf得驻点：(2/3，1/3)，f(2/3,1/3)=1/3,高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系在边界20, 0yx上，有0),(42yyxf在边界20, 1yx上，有41),(22yyyxf在边界10, 2xy上，有243),(42xxyxf在边界10, 0 xy上，有41),(02xxyxf高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系4),(min,31),(max),(),(yxfyxfDyxDyx而2Dd32)(822Ddyxxyx所以： 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系oxyDdyx2)ln( Ddyx)ln