第八章组合变形(1)

1、1第七章第七章应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论（4）234 1o= b1=b 1o=b/E1=b/E maxmaxo=s/2maxmax=s/2o=(1+)(2s)2/6E(1+)(2s)2/6E5强度理论分为两类：强度理论分为两类：7. 11 四种常用的强度理论四种常用的强度理论1 最大拉应力理论最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论)l 基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要最大拉应力最大拉应力达到材达到材料的某一极限，就发生料的某一极限，就发生脆性断裂脆性断裂。l 失效准则失效准则u 适用于断裂失效情况适用于断裂失效情况u 适用于屈服失效情况适用

2、于屈服失效情况,1bu 单向拉伸失效时单向拉伸失效时, 0203u 复杂应力状态时，令复杂应力状态时，令b161 最大拉应力理论最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论)l 基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要最大拉应力最大拉应力达到材达到材料的某一极限，就发生料的某一极限，就发生脆性断裂脆性断裂。l 失效准则失效准则l 强度条件强度条件bbn1l 相当应力相当应力11r,1bu 单向拉伸失效时单向拉伸失效时, 0203u 复杂应力状态时，令复杂应力状态时，令b17l 相当应力相当应力11rl 适用对象适用对象 脆性材料受拉，塑性材料受三向拉脆性材料受拉，塑性材料受

3、三向拉伸且伸且 1 、 2 、 3 相近。相近。l 缺点缺点 没有考虑没有考虑 2 和和 3 的影响，且无法应用于的影响，且无法应用于没有拉应力的情况。没有拉应力的情况。2 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)l 基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变最大伸长线应变达达到材料的某一极限，就发生到材料的某一极限，就发生脆性断裂脆性断裂。l 强度条件强度条件bbn182 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)l 基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变最大伸长线应变达

4、达到材料的某一极限，就发生到材料的某一极限，就发生脆性断裂脆性断裂。l 失效准则失效准则Eb1)(13211Eb)(321u 单向拉伸失效时单向拉伸失效时u 复杂应力状态时，令复杂应力状态时，令Eb9l 适用对象适用对象脆性材料受压。脆性材料受压。l 失效准则失效准则l 强度条件强度条件l 相当应力相当应力b)(321)(321bbn)(3212rl 缺点缺点对脆性材料受拉与试验符合不好。对脆性材料受拉与试验符合不好。)(13211EEbEb1u 单向拉伸失效时单向拉伸失效时u 复杂应力状态时，令复杂应力状态时，令103 最大剪应力理论最大剪应力理论(第三强度理论第三强度理论)l 基本观点基本

5、观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要最大剪应力最大剪应力达到材达到材料的某一极限，就发生料的某一极限，就发生塑性屈服塑性屈服。l 失效准则失效准则u 单向拉伸失效时单向拉伸失效时2maxs231maxu 复杂应力状态时复杂应力状态时2ss31l 强度条件强度条件31ssn11l 失效准则失效准则s31l 强度条件强度条件31ssnl 适用对象适用对象塑性材料的一般受力状态。塑性材料的一般受力状态。l 相当应力相当应力313rl 缺点缺点偏于安全；没有考虑偏于安全；没有考虑 2 的影响。的影响。4 形状改变比能理论形状改变比能理论(第四强度理论第四强度理论)l 基本观点基本观点不

6、论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要形状改变比能形状改变比能达到达到材料的某一极限，就发生材料的某一极限，就发生塑性屈服塑性屈服。l 失效准则失效准则124 形状改变比能理论形状改变比能理论(第四强度理论第四强度理论)l 基本观点基本观点不论是什么应力状态，只要不论是什么应力状态，只要形状改变比能形状改变比能达到达到材料的某一极限，就发生材料的某一极限，就发生塑性屈服塑性屈服。l 失效准则失效准则u 单向拉伸失效时单向拉伸失效时,1s)()()(61213232221Euf, 0203代入上式得代入上式得)2(612sfEu13l 失效准则失效准则u 单向拉伸失效时单向拉伸失效时,1

7、s)()()(61213232221Euf, 0203代入上式得代入上式得)2(612sfEuu 复杂应力状态时复杂应力状态时令上式在复杂应力状态时成立，得令上式在复杂应力状态时成立，得s)()()(2121323222114l 失效准则失效准则u 复杂应力状态时复杂应力状态时令上式在复杂应力状态时成立，得令上式在复杂应力状态时成立，得s)()()(21213232221l 强度条件强度条件l 相当应力相当应力)()()(2121323222115l 适用对象适用对象塑性材料的一般受力状态。塑性材料的一般受力状态。l 缺点缺点计算计算相当应力相当应力较麻烦。较麻烦。)()()(21213232

8、2214rl 强度条件强度条件l 相当应力相当应力)()()(21213232221l 第三强度理论和第四强度理论的图形第三强度理论和第四强度理论的图形16l 第三强度理论和第四强度理论的图形第三强度理论和第四强度理论的图形在在二向二向应力状态应力状态下，第三强度理论和第四强度下，第三强度理论和第四强度理论的图形为理论的图形为175 小结小结u 强度条件可统一写为强度条件可统一写为11rr)(3212r313r)()()(212132322214ru 第一强度理论和第二强度理论适用于第一强度理论和第二强度理论适用于脆性脆性材料材料.脆性材料受脆性材料受拉拉u 第三强度理论和第四强度理论适用于第

9、三强度理论和第四强度理论适用于塑性塑性材料材料.脆性材料受脆性材料受压压186 几种常见应力状态的相当应力几种常见应力状态的相当应力(1) 单向拉伸单向拉伸 ,1, 020311r)(3212r313r)()()(212132322214r即：在单向拉伸应力状态下，各即：在单向拉伸应力状态下，各相当应力相当应力相同。相同。19(2) 纯剪切纯剪切,1, 02311r)(3212r313r)()()(212132322214r)1 ( 23 )()0()0(21222这就是书例这就是书例8.12的主要内容。的主要内容。20(3) 弯曲时一般位置处的应力状态弯曲时一般位置处的应力状态 221)2(

10、2, 0211r)(3212r223)2(222)2(222)2()1 (2)1 (21313r)()()(212132322214r221)2(2, 02223)2(22242232223其次确定主应力其次确定主应力242526受拉、扭作用的薄壁筒受拉、扭作用的薄壁筒,壁厚壁厚t=2mm,内径内径d=50mm。轴力。轴力F=20KN，力偶，力偶m=600N.m。许用应力。许用应力=180Mpa，试按第三强度理论校核其强度。试按第三强度理论校核其强度。F mdt27表面各点应力单元体如图所示，其中的表面各点应力单元体如图所示，其中的正应力和剪应力可分别按轴向应力和扭正应力和剪应力可分别按轴向应

11、力和扭转应力计算。转应力计算。MpaAF69.6333310501021020Mpatm43.7634210210526002MpaMpar18060.16543.7669.63422223安全28通常，许用切应力由纯扭转试验获得，纯扭转时，材料处于纯切应力状态321, 0,按第三强度理论，有 2313r 5 . 0229也可按第四强度理论，有 3021212222312322214r 6 . 0577. 03工程上，通常取的0.5到0.630第八章第八章组组 合合 变变 形形（1）31本章内容本章内容:1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合3

12、 偏心压缩和截面核心偏心压缩和截面核心 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合5 组合变形的普遍情况组合变形的普遍情况328. 1 组合变形与叠加原理组合变形与叠加原理1 组合变形组合变形l 基本变形基本变形u 拉伸、压缩拉伸、压缩u 剪切剪切u 弯曲弯曲u 扭转扭转l 组合变形组合变形有两种或两种以上的有两种或两种以上的基本变形同时发生。基本变形同时发生。l 求解组合变形的方法求解组合变形的方法将载荷分为几组分别产生将载荷分为几组分别产生基本变形的载荷，然后应基本变形的载荷，然后应用用叠加原理叠加原理。332 叠加原理叠加原理如果内力、应力、变形等与外力成如果内力、应力、变形等与外力成线性关系

13、线性关系，则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、变形等的单独作用下的内力、应力、变形等的叠加叠加而而得到，且与各组载荷的得到，且与各组载荷的加载次序加载次序无关。无关。l 叠加原理成立的叠加原理成立的条件条件(1) 应力应变关系为线性关系，即应力应变关系为线性关系，即满足胡克定满足胡克定律律；(2) 变形是变形是小变形小变形，可以用，可以用原始尺寸原理原始尺寸原理。下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。34图示梁当有

14、轴图示梁当有轴向力作用时，向力作用时，则该力也要产生则该力也要产生弯矩。当梁变形弯矩。当梁变形较小时，可认为较小时，可认为作用是独立的互作用是独立的互不影响。不影响。xyzFABCD图图acb图图qabxyzwF图图分析图分析图2所示结构所示结构:AB部分属弯曲变形部分属弯曲变形(有弯矩有弯矩M(x);BC部分属弯曲部分属弯曲+扭转组合变形扭转组合变形(有有弯矩弯矩(y)和扭矩和扭矩T);DC部分属弯曲部分属弯曲+弯曲弯曲+拉伸组合变形拉伸组合变形(有弯矩有弯矩(x)、M(y)和轴力和轴力FN);分析图分析图3所示结构所示结构:BC部分属弯曲部分属弯曲+弯曲组合变形弯曲组合变形(有弯矩有弯矩M

15、(x)和和M(z);AB部分属弯曲部分属弯曲+弯曲弯曲+扭转拉伸组合变形。扭转拉伸组合变形。35组合变形分析基本方组合变形分析基本方法法外力分析和简化外力分析和简化内力图内力图危险截面危险截面找出危险点找出危险点(各内力分量独立作用产生的应力各内力分量独立作用产生的应力)危险点应力危险点应力同向应力叠加得到危险点应力单元体同向应力叠加得到危险点应力单元体三个主应力三个主应力相当应力相当应力r r强度计算强度计算r r (1)弯曲拉（压）组合弯曲拉（压）组合MFNWMAFNmax下表面各点是危险点（单向力），下表面各点是危险点（单向力），弯矩和轴力独立作用下产生的应力弯矩和轴力独立作用下产生的应

16、力进行叠加。进行叠加。任意点应力：任意点应力：ZNMFIMyAFN危险点应力：危险点应力：NFMmax36(2)弯曲弯曲+弯曲组合弯曲组合(只考虑弯只考虑弯矩作用在两对称轴上矩作用在两对称轴上)xyzMyMzy和和Mz独立作用产生的应力：独立作用产生的应力：(a)一般情况一般情况;yyMIZMyZZMIYMZzyMM属单向应力，同向应力叠加得到：属单向应力，同向应力叠加得到：zzyyIYMIZM讨论讨论0zzyyIYMIZM可令上式为得到中性轴方程可令上式为得到中性轴方程将离中性轴最远点坐标值代入前将离中性轴最远点坐标值代入前式即为最大应力。式即为最大应力。这部分内容在下册章中讨论这部分内容在

17、下册章中讨论37(b)圆截面圆截面yz前式的中性轴方程变为：前式的中性轴方程变为：MzMy0YMZMzy0zzyyIYMIZM中性轴与合成总弯矩失量重合中性轴与合成总弯矩失量重合危险点在危险点在A、B两点，所以有：两点，所以有：最大拉应力点最大拉应力点A最大压应力点最大压应力点BWMMWMzy22max(C)矩形、矩形、I字型等有突出角点的截面字型等有突出角点的截面中性轴中性轴MxyzMzxyzMy在在y和和Mz作用时在相同作用时在相同点达到最大应力，所以：点达到最大应力，所以：zzyyWMWMmax38(3)弯曲弯曲+弯曲组合弯曲组合+拉伸拉伸(只考虑弯矩作用在两对称轴上只考虑弯矩作用在两对

18、称轴上)xyz该情况类似前面问题的讨论该情况类似前面问题的讨论MyMzFN属单向应力，同向应力叠加得到：属单向应力，同向应力叠加得到：y和和Mz及及FN独立作用产生的应力：独立作用产生的应力：;yyMIZMy;ZZMIYMZAFNFNNzyFMMAFIYMIZMNzzyy讨论讨论0AFIYMIZMNzzyy可令上式为得到中性轴方程可令上式为得到中性轴方程:(a)一般情况一般情况将离中性轴最远点坐标值代入前将离中性轴最远点坐标值代入前式即为最大应力。式即为最大应力。39(b)圆截面圆截面yzMzMy中性轴中性轴M最大拉应力点最大拉应力点A最大压应力点最大压应力点BWMMWMzy22由弯曲产生的正

19、应力是由弯曲产生的正应力是:中性轴与合成总弯矩失量重合中性轴与合成总弯矩失量重合危险点在危险点在A两点，所以最大拉应力：两点，所以最大拉应力：AFWMMWMNzy22max(C)矩形、矩形、I字型等有突出角点的截面字型等有突出角点的截面xyzMzxyzMy所以，最大拉所以，最大拉应力应力：应力应力：AFWMWMNzzyymaxxyzFN以上三种情况均为单向应力状以上三种情况均为单向应力状,四个强度理论表达式相同。四个强度理论表达式相同。40(4) 拉伸拉伸(压压)与扭转组合与扭转组合(只考虑圆截面只考虑圆截面)FNTNFT内力分量独立的应力为：内力分量独立的应力为：;AFNFNtTWTmaxP

20、TIT外表面外表面第三强度理论：第三强度理论：属二向应力状态属二向应力状态第四强度理论：第四强度理论：22223)( 4)(4tNrWTAF22223)( 3)(3tNrWTAF(5) 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合(只考虑圆截面只考虑圆截面)TM内力分量独立的应力为：内力分量独立的应力为：PTITZMIMy二向应力状态二向应力状态41危险点应力危险点应力A、B两点：两点：MT;maxtWTzMWM第三强度理论：第三强度理论：22223)( 4)(4tzrWTWM第四强度理论：第四强度理论：22223)( 3)(3tzrWTWMzWTM22zWTM2275.0(6) 弯曲弯曲+弯曲与扭转组合弯曲

21、与扭转组合(只考虑圆截面只考虑圆截面)zy T TMMAB与上述情况类似，弯曲正应力为：与上述情况类似，弯曲正应力为：zzyMWMM22即，弯曲正应力用合成总弯矩计算即，弯曲正应力用合成总弯矩计算TMyz42弯曲正应力用合成总弯矩计算弯曲正应力用合成总弯矩计算TMzyzMyzzyMWMM22第三强度理论：第三强度理论：22223)( 4)(4tzrWTWM第四强度理论：第四强度理论：22223)( 3)(3tzrWTWM() 拉弯曲拉弯曲+弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合(只考虑圆截面只考虑圆截面)ZzyWTMM222zzyWTMM22275.0TMzyzMy zyNMMF43TMzyzMy危险点

22、应力危险点应力正应力由三个部分正应力由三个部分zyNFFNzyTT T zyNMMFzyMMzMy危险点危险点zzyNWMMAF22第三强度理论：第三强度理论：2234r第四强度理论：第四强度理论：22223)( 3)(3tzrWTWM2222)(4)(tzzyNWTWMMAF2222)(3)(tzzyNWTWMMAF448. 2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合例例 1 (书例书例8.1)已知已知：P = 8kN,AB为工字钢，为工字钢，材料为材料为A3钢，钢， = 100MPa。解解：求求: 工字钢型号工字钢型号。AB受力如图受力如图这是组合变形问这是组合变形问题题 压弯组合。

23、压弯组合。WWFRAxFRAyFyFx45WFRAxFRAyFyFxFN取取AB, 受力如图受力如图这是组合变形问题这是组合变形问题 压弯组合。压弯组合。l 求约束反力求约束反力0)(FAMkN42FkN,40 xFkN8 .12yFl 内力图内力图l 危险截面危险截面C 截面截面W46kN,40 xFkN8 .12yFl 内力图内力图l 危险截面危险截面C 截面截面kNm,12CMkN40NFl 设计截面的一般步骤设计截面的一般步骤u 先根据先根据弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号；选择工字钢型号；u 再按组合变形的再按组合变形的最大正应力最大正应力校核强度，必要校核强度，必要时选择大一号或

24、大二号的工字钢；时选择大一号或大二号的工字钢；u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。若剪力较大时，还需校核剪切强度。FN47kNm,12CMkN40NFl 设计截面的一般步骤设计截面的一般步骤u 先按先按弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号；选择工字钢型号；u 再按组合变形的再按组合变形的最大正应力最大正应力校核强度，必要校核强度，必要时选择大一号或大二号的工字钢；时选择大一号或大二号的工字钢；u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。若剪力较大时，还需校核剪切强度。l 按按弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号选择工字钢型号WMC3cm120CMW 选选16号工字钢号工字钢,cm1413W2cm13.26

25、Al 按按最大正应力最大正应力校核强度校核强度48l 按按弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号选择工字钢型号WMC3cm120CMW 选选16号工字钢号工字钢,cm1413W2cm13.26Al 按按最大正应力最大正应力校核强度校核强度maxcWMANCMPa5 .100可以使用可以使用l 本题不需要校核剪切强度本题不需要校核剪切强度拉拉(压压)弯组合变形时，危险点的弯组合变形时，危险点的应力状态应力状态是是单向单向应力状态应力状态。49FF例例 2 (书例书例9.2)已知已知： 铸铁框架铸铁框架，t=30MPa, c=160MPa。解解：求求：许可载荷：许可载荷F (kN)。这是组合变形问题这

26、是组合变形问题 拉弯组合。拉弯组合。l 求内力求内力(作用于截面形心作用于截面形心)l 几何参数几何参数,m101523Acm,5 . 7oz4cm5310yI50l 几何参数几何参数,m101523Acm,5 . 7oz4cm5310yIl 危险截面危险截面各截面相同各截面相同l 应力分布应力分布l 求内力求内力(作用于截面形心作用于截面形心)kN,FFNkNm105 .422FMy取研究对象如图取研究对象如图FFN51l FN引起的应力引起的应力AFNMPa15Fl My引起的应力引起的应力yoytIzM maxMPa53105 . 7425FyycIzM1max MPa53105 .12

27、425Fl 危险截面危险截面各截面相同各截面相同l 应力分布应力分布52yycIzM1max MPa53105 .12425Fl 最大拉应力最大拉应力maxmaxtt 15FMPa53105 . 7425Fl 最大压应力最大压应力maxmaxcc 15FMPa53105 .12425F53l 最大压应力最大压应力maxmaxcc 15FMPa53105 .12425Fl 最大拉应力最大拉应力15maxFtMPa53105 . 7425Fl 由抗拉强度条件由抗拉强度条件MPa30maxttkN1 .45Fl 由抗压强度条件由抗压强度条件MPa160maxcckN3 .171Fl 结论结论kN1

28、.45F548. 3 偏心压缩和截面核心偏心压缩和截面核心l偏心压缩偏心压缩设设O为形心，为形心，y轴和轴和z轴均轴均为形心主惯为形心主惯性轴。性轴。力作用点力作用点A的的坐标：坐标：yp, zp .弯矩：弯矩：pzPyMpyPzM55弯矩：弯矩：pzPyMpyPzM坐标为坐标为 y, z 的的B点的应力：点的应力：APzzIyM yyIzM zpIyPy ypIzPz l 应力应力56APzzIyM yyIzM zpIyPy ypIzPz 惯性矩可表为惯性矩可表为：,2yyAiI 2zzAiI )1 (22ypzpizziyyAPl 中性轴位置中性轴位置设中性轴上的点的坐标为设中性轴上的点的

29、坐标为 y0, z0。57)1 (22ypzpizziyyAPl 中性轴位置中性轴位置设中性轴上的点的坐标设中性轴上的点的坐标为为 y0, z0。在上式中令在上式中令为零，得：为零，得：0)1 (2020ypzpizziyyAP12020ypzpizziyy 中性轴中性轴方程方程5812020ypzpizziyy 中性轴中性轴方程方程设中性轴在设中性轴在y轴和轴和z轴上的轴上的截距为截距为ay, az ，则有：，则有：,2pzyyiapyzzia2由上可知：由上可知：1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压，中

30、性轴将横截面分为两部分，一部分受压，一部分受拉；一部分受拉；59由上可知：由上可知：1) 压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；压力作用点与中性轴分别位于形心的两侧；2) 中性轴将横截面分为两部分，一部分受压，中性轴将横截面分为两部分，一部分受压，一部分受拉；一部分受拉；3) 在截面的周边上，切在截面的周边上，切线与中性轴平行的点线与中性轴平行的点的应力为极值。的应力为极值。l 截面核心截面核心在土木工程中，对于受在土木工程中，对于受偏心压缩的混凝土、大偏心压缩的混凝土、大理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。60l 截面核心截面核心在土木工程中，对于受在土木工程中，对于受偏心压缩的混凝土、大偏心压缩的混凝土、大理石等柱子，要求在横理石等柱子，要求在横截面上不出现拉应力。截面上不出现拉应力。使横截面上不出现拉应力使横截面上不出现拉应