考研数学线性代数3-3

1、昆明理工大学数学系昆明理工大学数学系2009.122009.122n 向量组的极大无关组和秩向量组的极大无关组和秩n 定理和示例定理和示例定义定义1. 设有两个设有两个n维向量组维向量组A，B如下如下 1,.,sa A：B：1,.,t称称向量组向量组A可由向量组可由向量组B线性表示线性表示。若若A中每一个向量都可以由向量组中每一个向量都可以由向量组B线性表示，则线性表示，则以由向量组以由向量组A线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组A与与B等价等价。若向量组若向量组A可由向量组可由向量组B线性表示，且向量组线性表示，且向量组B也可也可量组量组B可由向量组可由向量组C线性表示，则向量组线性表示

2、，则向量组A可由向量组可由向量组C不难验证，若向量组不难验证，若向量组A可由向量组可由向量组B线性表示，又向线性表示，又向线性表示。线性表示。例例1. 设设A，B两组向量为两组向量为 A：123(1,0),(1,2),(3, 1)B：12(1,0),(0,1)则有则有1120,2122,2123故故A组可由组可由B组线性表示。组线性表示。又有又有112300,212311022 故故B组也可由组也可由A组线性表示。因此，组线性表示。因此，A组与组与B组等价。组等价。定义定义2.可以是有限个，也可以是无限多个。可以是有限个，也可以是无限多个。) 设设A是是n维向量组。维向量组。(A中所含有的向量

3、个数中所含有的向量个数如果：如果：（1）A中有中有r个向量个向量 1,.,ra 线性无关。线性无关。（2）A中任意中任意r+1个向量（若存在的话）都线性相关。个向量（若存在的话）都线性相关。 大无关组大无关组。 则称则称1,.,ra 为为A中的一个中的一个最大线性无关组最大线性无关组，简称为，简称为最最 数大于数大于r的向量组（若存在的话）都线性相关。的向量组（若存在的话）都线性相关。因为线性相关向量组再增加向量仍是线性相关组。因为线性相关向量组再增加向量仍是线性相关组。所以所以A中任意中任意r+1个向量线性相关，则任意个向量线性相关，则任意r+2个向量个向量（若存在的话）也线性相关，依次类推

4、，可知（若存在的话）也线性相关，依次类推，可知A中任意个中任意个因此，因此，向量个数最大的，因此称之为最大线性无关组。向量个数最大的，因此称之为最大线性无关组。定义定义2中的向量组中的向量组 1,.,ra 是是A的所有线性无关组中所含的所有线性无关组中所含定义定义3.称为向量组称为向量组A的的秩秩。向量组向量组A中最大线性无关组所含向量的个数，中最大线性无关组所含向量的个数，组，规定其秩为组，规定其秩为0。只含零向量的向量组没有最大无关只含零向量的向量组没有最大无关向量组向量组A的秩记为的秩记为R(A)或或秩秩(A)。根据最大无关组及秩的定义，下面的等价式成立：根据最大无关组及秩的定义，下面的

5、等价式成立：1,.,ma 线性无关线性无关1(,.,)mRam 1,.,ma 线性相关线性相关1(,.,)mRam (m为向量组为向量组 1,.,ma 中向量的个数中向量的个数) 必要条件是必要条件是向量向量 可由向量组可由向量组 1,.,ma 线性表示的充分线性表示的充分11(,.,)(,.,)mmRaRa 示的充分必要条件为示的充分必要条件为 向量组向量组1,.,s可由向量组可由向量组1,.,ma 线性表线性表111(,.,.,)(,.,)msmRaRa 必要条件为必要条件为向量组向量组1,.,s与向量组与向量组1,.,ma 等价的充分等价的充分1111(,.,.,)(,.,)(,.,)m

6、smsRaRaR表示，则有表示，则有设向量组设向量组1,.,s可由向量组可由向量组1,.,ma 线性线性11(,.,)(,.,)smRRa 若若1,.,s与与1,.,ma 等价，则等价，则11(,.,)(,.,)msRaR 推论的逆命题不成立。例如，设两组向量为推论的逆命题不成立。例如，设两组向量为 A：12(1,0,0),(0,1,0)B：12(0,1,0),(0,0,1)则则A，B两组都是线性无关组，故两组都是线性无关组，故R(A)=R(B)=2。 但但A中中1 不能由不能由B组线性表示组线性表示（因为（因为12,的任意线性组合的任意线性组合 1122kk 12(0,)(1,0,0)k k

7、即不等于即不等于1 ）。）。B中的中的2 不能由不能由A组线性表示，故组线性表示，故A，B两组不等价。两组不等价。组的充分必要条件是下面组的充分必要条件是下面(i)、(ii)两条件成立：两条件成立： 向量组向量组1,.,ra 是向量组是向量组A的最大线性无关的最大线性无关(i) 1,.,ra 是是A中的线性无关组；中的线性无关组；(ii) A中任意向量中任意向量 都可由都可由1,.,ra 线性表示。线性表示。例例2.中下面的中下面的n个单位向量：个单位向量：考察考察nR1(1,0,0,.,0) 2(0,1,0,.,0) .(0,0,0,.,1)n 在在2例例2中我们已经证明过，中我们已经证明过

8、，12,.,n 是线性无关的，是线性无关的， 并且并且nR中任意一个向量都可以它们由线性表出。中任意一个向量都可以它们由线性表出。 由定由定理理4，12,.,n 是是nR中的一个最大无关组，中的一个最大无关组，nR的秩为的秩为n，其中任意其中任意n个线性无关的向量组都是它的最大无关组，个线性无关的向量组都是它的最大无关组， 而而nR中任意中任意n+1个向量都是线性相关的。个向量都是线性相关的。111212122212.nnmmmnaaaaaaAaaa 列分块成列分块成 12(,.,)n 设设()ijm nAa 是是mn 矩阵，将矩阵，将按行、按按行、按 A其中其中 12,.m 是由是由 的各行

9、组成的行向量组的各行组成的行向量组 。A12,.m 是由是由 的各列组成的列向量组的各列组成的列向量组 。A的行向量组的行向量组 A1,.,m的秩的秩 1(,.,)mR称为矩阵称为矩阵 的的行秩行秩 A的列向量组的列向量组 A的秩的秩 称为矩阵称为矩阵 的的列秩列秩 A1,.,n1(,.,)nR12.m 明一个引理。明一个引理。为了讨论矩阵的行秩、列秩及矩阵秩的关系，先证为了讨论矩阵的行秩、列秩及矩阵秩的关系，先证设设mn 矩阵矩阵A经过经过行行初等变换化为初等变换化为B，即，即 1212(,.,)(,.,)nnAB 行行其中其中1,.,n是是A的列向量组，的列向量组， 1,.,n是是B的列向

10、量组，的列向量组， 列向量列向量则则A中任意中任意r个个()0rn1,.,rii与与B中中相同列号相同列号的的r个列向量个列向量 1,.,rii有以下关系：有以下关系：(i)1,.,n线性相关线性相关 1,.,n线性相关线性相关 相同的相关式的系数。相同的相关式的系数。，并且有，并且有(ii)1,.,n线性无关线性无关 1,.,n线性无关线性无关 (iii) 1,.,n为为A的列向量组的列向量组1,.,n的最大无关组的最大无关组1,.,rii为为B的列向量组的列向量组1,.,n的最大无关组的最大无关组设矩阵设矩阵A经过初等变换化成经过初等变换化成B，则，则 A的行秩的行秩=B的行秩，的行秩，A

11、的列秩的列秩=B的列秩的列秩 换句话说，矩阵经初等变换后，行秩和列秩都不变。换句话说，矩阵经初等变换后，行秩和列秩都不变。矩阵矩阵A的行秩的行秩=A的列秩的列秩=A的秩的秩R(A)。向量组的线性相关与线性无关。向量组的线性相关与线性无关。定理定理6建立了向量组的秩与矩阵秩的联系，一方面建立了向量组的秩与矩阵秩的联系，一方面使我们可以利用向量组秩的性质得到矩阵秩的性质，另使我们可以利用向量组秩的性质得到矩阵秩的性质，另一方面通过计算矩阵的秩，可以计算向量组的秩，判别一方面通过计算矩阵的秩，可以计算向量组的秩，判别写成定理的形式：写成定理的形式：首先，补充证明上章提过的矩阵秩的性质，将它们首先，补

12、充证明上章提过的矩阵秩的性质，将它们矩阵的秩具有以下性质：矩阵的秩具有以下性质：（1） max( ),( )( ,)( )( )R A R BR A BR AR B（2）()( )( )R ABR AR B（3）()min ( ),( )R ABR A R B 设向量组设向量组1,.,ka 线性无关，且线性无关，且11111221221122221122.kkkkkkkkkkccccccccc 则向量组则向量组12,.,k 线性无关的充分必要条件为上述关线性无关的充分必要条件为上述关系式的系数矩阵系式的系数矩阵()ijk kCc 的行列式的行列式0C ，即，即C 11211.kccc12222

13、.kccc.12.kkkkccc0 （4）例例3. 设有向量组设有向量组1(1, 1,2,4), 2(0,3,1,2), 组的秩，并求它的一个最大无关组。组的秩，并求它的一个最大无关组。3(3,0,7,14), 4(1, 2,2,0), 5(2,1,5,10), 求向量求向量例例4.，(填空填空)已知向量组已知向量组 11,2, 1,1 22,0,t,0 ， 30, 4,5, 2 的秩为的秩为2，则，则t=。例例5.（选择）已知向量组（选择）已知向量组1234, 线性无关，则线性无关，则向量组向量组(A)12233441, 线性无关线性无关(B)12231441, 线性无关线性无关(C)122

14、33441, 线性无关线性无关(D)12233441, 线性无关线性无关例例6. 已知向量组已知向量组(I) 123,; (II)1234,; (III) 1235, 如果各向量组的秩分别为如果各向量组的秩分别为R(I)=R(II)=3R(III)=4，证明：，证明：12354, 的秩为的秩为4。必要性，必要性， 若若1(,.,)0mRa 零向量，零向量， ，则，则 1,.,ma 都是都是因为因为 可由向量组可由向量组 1,.,ma 线性表示线性表示, 所以也有所以也有 0 ，因而，因而1(,.,)0mRa ，要证的等式成立。，要证的等式成立。现设现设1(,.,)0mRar ，因为，因为1(,

15、.,)1marrR （1）若若1(,.,)1marR ，则，则1,.,ma的最大无关组含的最大无关组含有有r+1个向量，且这个向量，且这r+1个向量中必含有个向量中必含有 ，不妨设最大，不妨设最大无关组为无关组为 1,.,ra，则，则1,.,ra 线性无关线性无关,中任意一个向量中任意一个向量(1,2,.,)iim 1,.,ri 是向量组是向量组1,.,ma 中中r+1个向量，必定线性相关，个向量，必定线性相关， 因此，因此，且对且对1,.,ma 根据根据2性质（性质（2），）， i 可由可由1,.,ra 线性表示，即向量线性表示，即向量组组1,.,ma 可由向量组可由向量组1,.,ra 线性

16、表示，线性表示，又又 可由可由 1,.,ma 线性表示，故线性表示，故 可由可由 1,.,ma 线性表示，线性表示， 于是于是1,.,ra线性相关，与假设矛盾。线性相关，与假设矛盾。因此等式因此等式1(,.,)1marR 不成立，不成立，由（由（1）式可知有）式可知有1(,.,),maRr 故故11(,.,)(,.,)mmRaRa 充分性，充分性，设设11(,.,)(,.,)mmRaRar，若，若0r ，则，则1,.,ma都是零向量，故有都是零向量，故有10.0m 可由向量组可由向量组 1,.,ma 线性表示。线性表示。即即，不妨设，不妨设 若若0r 1,.,ra 是是1,.,ma 的最大无关

17、组，的最大无关组，因为因为1(,.,)mRar ，而，而1,.,ra是是1,.,ma中的中的r+1个向量，必线性相关，个向量，必线性相关， 2性质（性质（2），）， 又又1,.,ra 线性无关，线性无关，根据根据 可由向量组可由向量组 1,.,ra 线性表示。线性表示。设设11.rrkk于是于是111.0.0rrrmkk 可由向量组可由向量组 1,.,ma 线性表示。线性表示。故故证毕。证毕。必要性，必要性，设设1,.,s可由可由1,.,ma 线性表示，线性表示，则则1 可由可由1,.,ma 线性表示，线性表示，由定理由定理1，111(,.,)(,.,)mmRaRa 又又2 可由可由1,.,m

18、a 线性表示，线性表示，因而可由因而可由11,.,ma线性线性表示，表示，再由定理再由定理1，有，有11211(,.,)(,.,)mmRaRa 于是有于是有 1121(,.,)(,.,)mmRaRa 依此类推，得依此类推，得111(,.,.,)(,.,)msmRaRa 充分性，充分性，设设111(,.,.,)(,.,)msmRaRar若若r=0，则，则11,.,.,msa都是都是0向量，向量，显然显然1,.,s可由可由1,.,ma 线性表示。线性表示。现设现设0r ，不妨设，不妨设1,.,ra 是是1,.,ma 的最大无关组，的最大无关组，因为因为11(,.,.,)msRar ，故，故1,.,

19、ra 也是也是的最大无关组，的最大无关组，11,.,.,msa故故1,.,s可由可由1,.,ra 线性表示。线性表示。 因而因而1,.,s可由可由1,.,ma 线性表示。线性表示。证毕。证毕。首先有首先有111(,.,)(,.,.,)smsRRa 因为向量组因为向量组1,.,s可由可由1,.,ma 线性表示，线性表示， 由定理由定理2有有111(,.,.,)(,.,)msmRaRa 故有故有11(,.,)(,.,)smRRa 证毕。证毕。分必要条件是条件分必要条件是条件(i)、(ii)成立。成立。就是要证明定义就是要证明定义2中的条件中的条件(1)、(2)成立的充成立的充必要性：必要性： (1

20、)，故成立。，故成立。设定义设定义2中的条件中的条件(1)、(2)成立，则成立，则(i)就是就是设设 是是A中任意向量，中任意向量， r+1个向量，个向量， 则则1,.,ra是是A中中由定义由定义2的条件的条件(2)，1,.,ra线性相关，线性相关，由由2性质（性质（2），）， 可由可由1,.,ra 线性表示。线性表示。也成立，必要性得证。也成立，必要性得证。故条件故条件(ii)充分性：充分性： 设设(i)、(ii)成立。则定义成立。则定义2中的中的(1)成立，成立， 设设11,.,r 是是A中任意中任意r+1个向量，由个向量，由(ii)，11,.,r 可由可由1,.,ra 线性表示。线性表示

21、。由定理由定理3，有，有111(,.,)(,.,)1rrRRarr 分性得证。分性得证。 故故11,.,r 线性相关，即定义线性相关，即定义2中的条件中的条件(2)成立，充成立，充由由AB 行行可知存在初等矩阵可知存在初等矩阵 1,.,kpp，使，使1.kppAB 记记1.kppP ，则，则P可逆，且可逆，且PA=B， 由分块矩阵乘法，有由分块矩阵乘法，有 12(,.,)nPAP 12(,.,)nPPP 12(,.,)nB 比较等式各列，得比较等式各列，得11,P 22,P .,nnP (1)(i) 若若1,.,rii线性相关，则存在线性相关，则存在不全为不全为0，1,.,rkk使使11,P

22、22,P .,nnP (1)11.0ririkk(2)等式两边左乘等式两边左乘P，得，得 11.0ririk Pk P，由，由(1)式得式得11.0ririkk(3)故故1,.,rii线性相关，且线性相关，且(3)与与(2)有相同的相关式系数有相同的相关式系数1,.,rkk反之，若反之，若1,.,rii线性相关，则存在线性相关，则存在1,.,rkk不全为不全为0，使，使(3)式成立，两边左乘式成立，两边左乘1P ，由，由(1)式得式得(2)式，因此式，因此 1,.,rii线性相关，且线性相关，且(2)与与(3)有相同的相关式系数有相同的相关式系数(4)。(4)由由(i)可得可得(ii)，由，由

23、(i)(ii)可得可得(iii)。 （证毕）（证毕）先考虑行初等变换情形。先考虑行初等变换情形。设设1(,.,),nA 其中其中1,.,n是是A的列向量组。并且的列向量组。并且 11(,.,)(,.,)nnAB 行行设设A的列秩的列秩 1(,.,)0nrR（r=0情形结论显然成立情形结论显然成立 ）。）。则则1,.,n中有中有r个列向量个列向量 1,.,rii是它的最大无关组。是它的最大无关组。由引理，由引理，1,.,rii是是B的列向量组的列向量组1,.,n的最大无关组。的最大无关组。因此，因此，B的列秩的列秩1(,.,)nRr ，故，故A的列秩的列秩=B的列秩。的列秩。 再设再设1.mA

24、，其中，其中1,.,m是是A的行向量组，且的行向量组，且11.mmAB 行行存在初等矩阵存在初等矩阵1,.,kpp使使1.kppAB ，设，设1.,kppP 则则PA=B，P可逆。设可逆。设 1112112.mmmmmpppPppp 则有则有11121121222212.mmmmmmmppppppPAppp 由分块矩阵乘法，得由分块矩阵乘法，得 1 2 .m 1212.miiiimppp ,1,2,.,im 这表示这表示B的行向量组的行向量组1,.,m可由可由A的行向量组的行向量组1,.,m线性表示。线性表示。再由再由1,P BA B的行向量组线性表示。的行向量组线性表示。同理可证同理可证A的

25、行向量组可由的行向量组可由向量组等价，向量组等价，因此，因此，A的行向量组与的行向量组与B的行的行故有故有11(,.,)(,.,),mmRR 即即A的行秩的行秩=B的行秩。的行秩。不变。不变。以上证明了当经行初等变换后，以上证明了当经行初等变换后，A的行秩和列秩都的行秩和列秩都AB 列列现设现设，则，则,TTAB 行行由已证的部分，得由已证的部分，得TATB的行秩的行秩=的行秩的行秩TATB的列秩的列秩=的列秩的列秩因而有因而有AB的行秩的行秩=的行秩的行秩AB的列秩的列秩=的列秩的列秩证毕。证毕。若若A=0，结论显然成立。，结论显然成立。 若若0A ，设，设R(A)=r。由第二章由第二章3定

26、理定理1，A经过初等变换可化为标准形经过初等变换可化为标准形 000rEB 即即000rEAB1.00.0.0.10.00.00.0.0.00.0 第第r行行第第r列列1.00.0.0.10.00.00.0.0.00.0B 必含有零行，因而必线性相关，必含有零行，因而必线性相关， 容易看出，标准形容易看出，标准形B的前的前r行线性无关，而任意行线性无关，而任意r+1行行矩阵矩阵B的秩也是的秩也是r，故知故知B的行秩的行秩=r，同理可，同理可知知B的列秩的列秩=r，不变，因此，不变，因此，A的行秩、列秩及的行秩、列秩及A的秩都等于的秩都等于r。由第二章由第二章4的定理及的定理及本节的定理本节的定

27、理5，矩阵经过初等变换后，行秩、列秩及秩都，矩阵经过初等变换后，行秩、列秩及秩都证毕。证毕。（1）不等于零的子式，故有不等于零的子式，故有因为因为A中不等于零的子式也是中不等于零的子式也是( ,)A B中中( )( ,)R AR A B 同理有同理有( )( ,)R BR A B ，因此，因此 max( ),( )( ,)R A R BR A B 将将A，B按列分块，设按列分块，设1211(,.,),(,.,)nnAaB，则，则1211(,.,.,)( ,)nnaA B ( ,)A B设设的列向量组的最大无关组为的列向量组的最大无关组为11,.,.,stiijj则则1,.,sii是是A的列向量

28、组中的的列向量组中的s个线性无关向量，故个线性无关向量，故sA 的列秩的列秩=R(A)1,.,tjj是是B的列向量组中的的列向量组中的t个线性无关向量，故个线性无关向量，故tB 的列秩的列秩=R(B)于是有于是有( ,)( ,)R A BA B 的列秩的列秩=s+t( )( )R AR B只含只含B的列向量，则的列向量，则 若若(A,B)的列向量组的最大无关组只含的列向量组的最大无关组只含A的列向量或的列向量或( ,)( )R A BR A 或或( ,)( )R A BR B 都有都有( ,)( )( )R A BR AR B（2）设设A，B为为mn 矩阵，将其按列分块，设矩阵，将其按列分块，

29、设11(,.,),(,.,)nnAaB则则111(,)(,.,.,),nnnAB B对它做列对它做列初等变换初等变换1122, .,nnnn ncccccc，得，得111(,)(,.,.,)nnnAB B 列列11(,.,)nn, . . . , . . . ,( ,)A B 因为列初等变换不改变矩阵的秩，因为列初等变换不改变矩阵的秩，故有故有(,)( ,)R AB BR A B于是由（于是由（1）得到）得到()(,)( ,)( )( )R ABR AB BR A BR AR B同理可证同理可证()( )( )R ABR AR B（3） 设设11111.(,.,),.ssmmsaaAaa111

30、11.nssnsbbBbb 其中其中1,.,s是是A的列向量组，的列向量组，根据分块矩阵的乘法，就有根据分块矩阵的乘法，就有1,.,s是是B的行向量组。的行向量组。11111.(,.,) .nsssnbbABbb () 1111.,ssbb.,11.nsnsbb等式说明等式说明AB的列向量组是的列向量组是A的列向量组的线性组合，的列向量组的线性组合，根据定理根据定理3，AB的列秩的列秩A 的列秩。的列秩。由定理由定理6，得，得()( )R ABR A 又有又有11111.smmssaaABaa 1111.ssaa.11.mmssaa这一等式说明这一等式说明AB的行向量组是的行向量组是B的行向量

31、组的线性组合，的行向量组的线性组合， 由定理由定理3，AB的行秩的行秩B 的行秩。的行秩。由定理由定理6，得，得()( )R ABR B 因此因此()min ( ),( )R ABR A R B 证毕。证毕。向量，向量，不妨设不妨设1,.,k为行向量，则为行向量，则1,.,k也是行也是行(4)式可写成矩阵等式式可写成矩阵等式12.k 11121121222212.kkkkkkkccccccccc ，简记为，简记为B=CAR(A)=R(B)， 若若0C ，则，则C可逆，由第二章可逆，由第二章4矩阵秩的性质矩阵秩的性质(7)，有，有因为因为1,.,k线性无关，故线性无关，故1(,.,),kRk 于

32、是有于是有11(,.,)( )( )(,.,)kkRR BR ARk故故1,.,k线性无关。线性无关。若若0C ，则，则( )R Ck ，由定理，由定理7(3)，知，知( )()( )R BR CAR C因而有因而有1(,.,)( )( )kRR BR Ck故故1,.,k线性相关，线性相关， 因此，若因此，若1,.,k线性无关，则线性无关，则0C 证毕。证毕。以这组向量作为列，作成矩阵以这组向量作为列，作成矩阵A，即，即12345(,)TTTTTA 1031213021217254214010 对对A作作行初等变换行初等变换，将，将A化为阶梯形矩阵，过程如下：化为阶梯形矩阵，过程如下：21rr

33、 A312rr 414rr 103120331 3011010224 210312011010331302242 2r3r10312011010331302242 323rr 422rr 00001 00004 1031201101434rr 10312011010001000000 12345(,)B B为阶梯形矩阵，含有三个非零行，故为阶梯形矩阵，含有三个非零行，故R(B)=3。因而有。因而有1234512345(,)(,)TTTTTRR ( )( )3R AR B1031213021217254214010A 10312011010001000000B 无关组。无关组。B中任何三个线性无关的列都是中任何三个线性无关的列都是12345, 的最大的最大考察第考察第1，2，4列作成的矩阵列作成的矩阵 1124(,)B 101010001000 它有一个三阶子式不为它有一个三阶子式不为0，如上所示。，如上所示。10101010001 因而因而1241(,)()3RR B ，故，故124, 线性无关，线性无关，因而因而124, 是是12345, 的最大无关组，由引理，