时等比数列实用教案

1、第1页/共50页第一页，共50页。第2页/共50页第二页，共50页。第3页/共50页第三页，共50页。第4页/共50页第四页，共50页。 考察考察(koch)下面几个数列：下面几个数列： (1)4，4,4，4， (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，263，第5页/共50页第五页，共50页。 (3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是

2、5%，那么按照复利(fl)，5年内各年末的本利和依次为10 0001.05,10 0001.052，10 0001.055， 问题：以上数列有何共同特征？ 提示：每一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比值都等于同一个常数第6页/共50页第六页，共50页。定义定义表达式表达式 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第 项起，项起，每一项与它的前一项的比等每一项与它的前一项的比等于于 ，那么这个数列叫做等，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母通常用字母q表示表示(q ) q (q为常数，为常数，q0)同一个常数(chngsh)公比(

3、n b)02第7页/共50页第七页，共50页。第8页/共50页第八页，共50页。问题：若在a与b之间插入一个(y )数G，使a，G，b成等比数列，则G与a，b有何关系？第9页/共50页第九页，共50页。 等比数列(dn b sh li)第10页/共50页第十页，共50页。第11页/共50页第十一页，共50页。 问题：若数列问题：若数列an为等比数列，公比为为等比数列，公比为q，则：，则：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4，由此你可以得出什么结论，由此你可以得出什么结论(jiln)呢？呢？ 提示：提示：ana1qn1.第12页/共50页第十二页，共50页。 等

4、比数列等比数列an的首项为的首项为a1，公比，公比(n b)为为q(q0)，则通，则通项公式为：项公式为：an .a1qn1第13页/共50页第十三页，共50页。 1对等比数列定义的理解对等比数列定义的理解 (1)公比公比q0，这是必然的，也就是说，不存在公比，这是必然的，也就是说，不存在公比q0的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不存在数的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不存在数值为值为0的项的项 (2)每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具有每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具有(jyu)任意性的，但须注意是从任意性的，但须注意是从“第第2项项”起起 (3)每一项与它的前一项的

5、比是同一个常数，强调的每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是是“同一个同一个”第14页/共50页第十四页，共50页。 (4)对于公比对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，次，要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒序不能颠倒 (5)各项不为零的常数数列，既是等差数列，又是等比数各项不为零的常数数列，既是等差数列，又是等比数列列 2对等比中项的理解对等比中项的理解(lji) (1)G是是a与与b的等比中项，则的等比中项，则a与与b的符号相同，符号相反的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项的两个实数不存在等比中项G，即等比中项有两个，且互为相反数，即等比中项有两个，且互为相反

6、数 (2)当当G2ab时，时，G不一定是不一定是a与与b的等比中项例如的等比中项例如0250，但，但0,0,5不是等比数列不是等比数列第15页/共50页第十五页，共50页。 3等比数列的通项公式等比数列的通项公式 (1)已知首项已知首项(shu xin)a1和公比和公比q，可以确定一，可以确定一个等比数列个等比数列 (2)在公式在公式ana1qn1中，有中，有an，a1，q，n四个四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量第16页/共50页第十六页，共50页。第一第一(dy)课时等课时等 比比 数数 列列第17页/共50页第十七页，共50页。第18页/

7、共50页第十八页，共50页。第19页/共50页第十九页，共50页。 例例1设数列设数列an满足满足a11，an2an130(n2)，试判断数列试判断数列an1是否是等比数列，并指出该数列的首项是否是等比数列，并指出该数列的首项 思路点拨思路点拨首先分清首先分清(fn qng)该数列的通项是什么，然该数列的通项是什么，然后根据等比数列的定义进行判断后根据等比数列的定义进行判断第20页/共50页第二十页，共50页。第21页/共50页第二十一页，共50页。第22页/共50页第二十二页，共50页。1在数列在数列(shli)an中，中，a12，且对任意自然数，且对任意自然数n,3an1an0，则，则an

8、_.第23页/共50页第二十三页，共50页。2本例题本例题(lt)条件中条件中“an2an130(n2)”改为改为“an12an1”，其他条件不变，试判断数列，其他条件不变，试判断数列an1是否为等比数是否为等比数列列第24页/共50页第二十四页，共50页。第25页/共50页第二十五页，共50页。第26页/共50页第二十六页，共50页。例例2在等比数列在等比数列an中，中，(1)a42，a78，求，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求，求n.思路点拨思路点拨解答解答(jid)本题可将条件转化为关于基本元本题可将条件转化为关于基本元素素a1与与q的方程组，求出的方程组，求出a1和和

9、q，再表示其他量，再表示其他量第27页/共50页第二十七页，共50页。第28页/共50页第二十八页，共50页。第29页/共50页第二十九页，共50页。第30页/共50页第三十页，共50页。 一点通一点通等比数列基本量的求法等比数列基本量的求法 a1和和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求，再求an，法二是，法二是运用通项公式运用通项公式(gngsh)及方程思想建立方程组求及方程思想建立方程组求a1和和q，这也是，这也是常见的方法常见的方法第31页/共50页

10、第三十一页，共50页。3若等比数列若等比数列(dn b sh li)的前三项分别为的前三项分别为5，15,45，则第则第5项项是是 ()A405B405C135 D135解析解析(ji x)：a5a1q4，而，而a15，q3，a5405.答案答案(d n)：A第32页/共50页第三十二页，共50页。第33页/共50页第三十三页，共50页。答案答案(d n)：C第34页/共50页第三十四页，共50页。第35页/共50页第三十五页，共50页。第36页/共50页第三十六页，共50页。第37页/共50页第三十七页，共50页。第38页/共50页第三十八页，共50页。 例例3(12分分)某工厂某工厂201

11、1年年1月的生产总值为月的生产总值为a万元，万元，计划从计划从2011年年2月起，每月生产总值比上一个月增长月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到那么到2012年年8月底月底(yud)该厂的生产总值为多少万元？该厂的生产总值为多少万元？ 思路点拨思路点拨依题意，该厂自依题意，该厂自2011年年1月起，每月的生月起，每月的生产总值依次构成一个等比数列，求出该数列的通项公式，产总值依次构成一个等比数列，求出该数列的通项公式，利用通项公式得解利用通项公式得解第39页/共50页第三十九页，共50页。第40页/共50页第四十页，共50页。 一点通一点通数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体数

12、列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有： 构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式(gngsh)或或求和公式求和公式(gngsh)解；解； 通过归纳得到结论，再用数列知识求解通过归纳得到结论，再用数列知识求解第41页/共50页第四十一页，共50页。6一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每，然后每3分钟自身复制分钟自身复制(fzh)一次，复制一次，复制(fzh)后

13、所占后所占内存是原来的内存是原来的2倍，那么开机后倍，那么开机后_分钟，该病毒占据分钟，该病毒占据内存内存64 MB(1 MB210 KB)第42页/共50页第四十二页，共50页。解析：由题意可得每解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了时自身复制了n次，即次，即22n64210216，解得，解得n15，从而，从而(cng r)复制的时间为复制的时间为15345分钟分钟答案：答案：45第43页/共50页第四十三页，共50页。7从盛满从盛满a(a1)升纯酒精的容器里倒了升纯酒精的容器里倒了1升然后升然后(rnhu)添满水摇添满水摇匀，再倒出匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当次操作后溶液的浓度是多少？当a2时，至少应倒时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于几次后才能使酒精的浓度低于10%?第44页/共50页第四十四页，共50页。第45页/共50页第四十五页，共50页。第46页/共50页第四十六页，共50页。第47页/共50页第四十七页，共5