统计预测方法及预测模型

1、中南大学数学科学与计算技术学院中南大学数学科学与计算技术学院第十章第十章 统计预测方法及预测模型统计预测方法及预测模型 统计预测的基本问题统计预测的基本问题1趋势外推预测趋势外推预测2 时间序列的确定性因素分析时间序列的确定性因素分析3回归预测法回归预测法41多元线性回归模型及其假定条件多元线性回归模型及其假定条件510.1 10.1 统计预测的基本问题统计预测的基本问题 10.1.2 10.1.2 统计预测方法的分类及其选择统计预测方法的分类及其选择 10.1.3 10.1.3 统计预测的原则和步骤统计预测的原则和步骤 10.1.1 10.1.1 统计预测的概念和作用统计预测的概念和作用 1

2、0.1.1 10.1.1 统计预测的概念和作用统计预测的概念和作用 ( (一一) )统计预测的概念统计预测的概念 概念概念: : 预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测方法对事物的未来发展进行定量推测. . 例例1 1 下表是我国下表是我国19521952年到年到19831983年社会商品零售总额年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额 。110

3、6.7221973604.01119622849.43219831023.3211972607.71019612570.0311982929.2201971696.9919602350.0301981858.0191970638.0819592140.0291980801.5181969548.0719581800.0281979737.3171968474.2619571558.6271978770.5161967461.0519561432.8261977732.8151966392.2419551339.4251976670.3141965381.1319541271.124197563

4、8.2131964348.0219531163.6231974604.5121963276.811952总额总额（ yt ）时序时序（t）年份年份总额总额 （ yt ）时序时序（t）年份年份总额总额 （ yt ）时序时序（t）年份年份v 实际资料是预测的依据；实际资料是预测的依据；v 理论是预测的基础；理论是预测的基础；v 数学模型是预测的手段。数学模型是预测的手段。统计预测的三个要素：统计预测的三个要素：统计预测方法是一种具有通用性的方法。统计预测方法是一种具有通用性的方法。( (二二) )统计预测的作用统计预测的作用 在市场经济条件下，预测的作用是通过各个企业或在市场经济条件下，预测的作用

5、是通过各个企业或行业内部的行动计划和决策来实现的行业内部的行动计划和决策来实现的; ; 统计预测作用的大小取决于预测结果所产生的效益的统计预测作用的大小取决于预测结果所产生的效益的多少。多少。 影响预测作用大小的因素主要有：影响预测作用大小的因素主要有：预测费用的高低；预测费用的高低；预测方法的难易程度；预测方法的难易程度；预测结果的精确程度。预测结果的精确程度。10.1.2 10.1.2 统计预测方法的分类和选择统计预测方法的分类和选择 统计预测方法可归纳分为定性预测方法和定量预统计预测方法可归纳分为定性预测方法和定量预测方法两类，其中定量预测法又可大致分为趋势测方法两类，其中定量预测法又可

6、大致分为趋势外推预测法、时间序列预测法和回归预测法外推预测法、时间序列预测法和回归预测法,;,; 按预测时间长短分为近期预测、短期预测、中期按预测时间长短分为近期预测、短期预测、中期预测和长期预测预测和长期预测; ; 按预测是否重复分为一次性预测和反复预测。按预测是否重复分为一次性预测和反复预测。 ( (一一) )统计预测方法的分类统计预测方法的分类( (三三) )定量预测定量预测 定量预测的概念定量预测的概念: : 定量预测也称统计预测，它是根据已掌握的比较完备定量预测也称统计预测，它是根据已掌握的比较完备的历史统计数据，运用一定的数学方法进行科学的加工整的历史统计数据，运用一定的数学方法进

7、行科学的加工整理，借以揭示有关变量之间的规律性联系，用于预测和推理，借以揭示有关变量之间的规律性联系，用于预测和推测未来发展变化情况的一类预测方法测未来发展变化情况的一类预测方法 ( (二二) )统计预测方法的选择统计预测方法的选择 统计预测方法时，主要考虑下列三个问题：统计预测方法时，主要考虑下列三个问题：v 合适性合适性v 费用费用v 精确性精确性只需要因变量的历只需要因变量的历史资料，但用趋势史资料，但用趋势图做试探时很费时图做试探时很费时必须收集历史数据，必须收集历史数据，并用几个非线性模并用几个非线性模型试验型试验为所有变量收集历为所有变量收集历史数据是此预测中史数据是此预测中最费时

8、的最费时的为两个变量收集历史为两个变量收集历史数据，此项工作是此数据，此项工作是此预测中最费时的预测中最费时的需做大量的调查研需做大量的调查研究工作究工作应做工作应做工作与非线性回归与非线性回归预测法相同预测法相同在两个变量情况在两个变量情况下可用计算器，下可用计算器，多于两个变量的多于两个变量的情况下用计算机情况下用计算机在两个自变量情况在两个自变量情况下可用计算器，多下可用计算器，多于两个自变量的情于两个自变量的情况下用计算机况下用计算机计算器计算器计算器计算器计算机硬件计算机硬件最低要求最低要求当被预测项目的有当被预测项目的有关变量用时间表示关变量用时间表示时，用非线性回归时，用非线性回

9、归因变量与一个自变因变量与一个自变量或多个其它自变量或多个其它自变量之间存在某种非量之间存在某种非线性关系线性关系因变量与两个或两因变量与两个或两个以上自变量之间个以上自变量之间存在线性关系存在线性关系自变量与因变量之自变量与因变量之间存在线性关系间存在线性关系对缺乏历史统计资料对缺乏历史统计资料或趋势面临转折的事或趋势面临转折的事件进行预测件进行预测 适用情况适用情况中期到长中期到长期期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中、短、中、长期长期时间范围时间范围趋势外推法趋势外推法非线性回非线性回归预测法归预测法多元线性回多元线性回归预测法归预测法一元线性回一元线性回归预测法归预

10、测法定性预测法定性预测法方法方法 只需要序列的历史只需要序列的历史资料资料计算器计算器适用于一次性的短适用于一次性的短期预测或在使用其期预测或在使用其他预测方法前消除他预测方法前消除季节变动的因素季节变动的因素短期短期分解分析法分解分析法计算过程复杂、繁琐计算过程复杂、繁琐只需要因变量的历史只需要因变量的历史资料，但制定并检查资料，但制定并检查模型规格很费时间模型规格很费时间只需要因变量的历史资只需要因变量的历史资料，是一切反复预测中料，是一切反复预测中最简易的方法，但建立最简易的方法，但建立模型所费的时间与自适模型所费的时间与自适应过滤法不相上下应过滤法不相上下只需要因变量的历史资只需要因变

11、量的历史资料，但初次选择权数时料，但初次选择权数时很费时间很费时间应做工作应做工作计算机计算机计算机计算机在用计算机在用计算机建立模型后建立模型后进行预测时，进行预测时，只需计算器只需计算器就行了就行了计算器计算器计算机硬件计算机硬件最低要求最低要求适用于任何序列的适用于任何序列的发展型态的一种高发展型态的一种高级预测方法级预测方法适用于趋势型态的适用于趋势型态的性质随时间而变化，性质随时间而变化，而且没有季节变动而且没有季节变动的反复预测的反复预测具有或不具有季具有或不具有季节变动的反复预节变动的反复预测测不带季节变动的不带季节变动的反复预测反复预测 适用情况适用情况短期短期短期短期短期短期

12、短期短期时间范围时间范围平稳时间序列平稳时间序列预测法预测法自适应过滤法自适应过滤法指数平滑法指数平滑法移动平均法移动平均法方法方法方法方法时间范围时间范围 适用情况适用情况计算机硬件最计算机硬件最低要求低要求应做工作应做工作干预分析模干预分析模型预测法型预测法短期短期适用于当时间序列适用于当时间序列受到政策干预或突受到政策干预或突发事件影响的预测发事件影响的预测计算机计算机 收集历史收集历史数据及影响数据及影响时间时间景气预测法景气预测法短、中期短、中期适用于时间趋势延适用于时间趋势延续及转折预测续及转折预测计算机计算机收集大量历收集大量历史资料和数史资料和数据并需大量据并需大量计算计算灰色

13、预测法灰色预测法短、中期短、中期适用于时间序列的适用于时间序列的发展呈指数型趋势发展呈指数型趋势计算机计算机收集对象的收集对象的历史数据历史数据状态空间模状态空间模型和卡尔曼型和卡尔曼滤波滤波短、中期短、中期适用于各类时间序适用于各类时间序列的预测列的预测计算机计算机收集对象的收集对象的历史数据并历史数据并建立状态空建立状态空间模型间模型 在统计预测中的定量预测要使用模型外推法，使用这种方法在统计预测中的定量预测要使用模型外推法，使用这种方法有以下有以下两条重要的原则两条重要的原则：连贯原则，是指事物的发展是按一定规律进行的，在其发展过程连贯原则，是指事物的发展是按一定规律进行的，在其发展过程

14、中，这种规律贯彻始终，不应受到破坏，它的未来发展与其过去中，这种规律贯彻始终，不应受到破坏，它的未来发展与其过去和现在的发展没有什么根本的不同；和现在的发展没有什么根本的不同；类推原则，是指事物必须有某种结构，其升降起伏变动不是杂乱类推原则，是指事物必须有某种结构，其升降起伏变动不是杂乱无章的，而是有章可循的。事物变动的这种结构性可用数学方法无章的，而是有章可循的。事物变动的这种结构性可用数学方法加以模拟，根据所测定的模型，类比现在，预测未来。加以模拟，根据所测定的模型，类比现在，预测未来。10.1.3 10.1.3 统计预测的原则和步骤统计预测的原则和步骤 ( (一一) )统计预测的原则统计

15、预测的原则 ( (二二) )统计预测的步骤统计预测的步骤确定预测目的确定预测目的搜索和审核资料搜索和审核资料分析预测误差，改进预测模型分析预测误差，改进预测模型选择预测模型和方法选择预测模型和方法提出预测报告提出预测报告10.2 10.2 趋势外推法趋势外推法10.2.1 10.2.1 趋势外推法概述趋势外推法概述10.2.2 10.2.2 多项式曲线趋势外推法多项式曲线趋势外推法10.2.3 10.2.3 指数曲线趋势外推法指数曲线趋势外推法10.2.4 10.2.4 生长曲线趋势外推法生长曲线趋势外推法10.2.5 10.2.5 曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析统统 计计 预预 测测中南大

16、学中南大学趋势外推法的基本思想趋势外推法的基本思想( )yf t 某些客观事物的发展变化相对于时间推移，常表现出一定的规律性：某些客观事物的发展变化相对于时间推移，常表现出一定的规律性：如：经济现象（指标）随着时间的推移呈现某种上升或下降趋势，这如：经济现象（指标）随着时间的推移呈现某种上升或下降趋势，这时，若作为预测对象的该经济现象（指标）变化又没有明显的季节性波动时，若作为预测对象的该经济现象（指标）变化又没有明显的季节性波动迹象，理论上就可以找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势。迹象，理论上就可以找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势。 可建其变化趋势模型（曲线方程）：可建其变化趋势模型（

17、曲线方程）： 当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来时点的某个当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来时点的某个 值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势模型（直线方程）给出。值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势模型（直线方程）给出。这就是趋势外推的基本思想。这就是趋势外推的基本思想。 趋势外推的条件有：变化趋势的时间稳定性、趋势外推的条件有：变化趋势的时间稳定性、 曲线方程存在。曲线方程存在。统统 计计 预预 测测中南大学中南大学某家用电器厂某家用电器厂1998199820082008年利润额数据年利润额数据年份1993199419951996199719981999200

18、0200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020yabx统统 计计 预预 测测中南大学中南大学某商场某种商品过去9个月的销量数据某商场过去9年市场需求量统计数据051015202530354045012345678910销售量（万件）051015202530354045012345678910销售量（万件）010002000300040005000600070008000900010000012345678910总需求量（件）2yabxcxbtyae10.2.1 10.2.1 趋势外推法概述趋势外推法概述 一一、趋势外推法概念和假定条件、

19、趋势外推法概念和假定条件 趋势外推法概念：趋势外推法概念： 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。可以用趋势外推法进行预测。 运用趋势外推法进行预测是基于两个基本假设：运用趋势外推法进行预测是基于两个基本假设： 一是一是决定过去预测对象发展的因素，在很大程度上仍将决定其未决定过去预测对象发展的因素，在很大程度上仍将决定其未来的发展；来的发展； 二是二是预测对象发展过程一般是渐进变化，而

20、不是跳跃式变化。预测对象发展过程一般是渐进变化，而不是跳跃式变化。 趋势外推法的突出特点是选用一定的数学模型来拟合预测变量的变趋势外推法的突出特点是选用一定的数学模型来拟合预测变量的变动趋势，并进而用模型进行预测。动趋势，并进而用模型进行预测。 二二 、趋势外推法经常选用的数学模型、趋势外推法经常选用的数学模型根据预测变量变动趋势是否为线性，又分为线性趋势外推法根据预测变量变动趋势是否为线性，又分为线性趋势外推法和曲线趋势外推法。和曲线趋势外推法。 （一）（一）线性模型线性模型（二）曲线模型（二）曲线模型 1.多项式曲线模型多项式曲线模型 2.简单指数曲线模型简单指数曲线模型 3.修正指数曲线

21、模型修正指数曲线模型 4.生长曲线模型生长曲线模型 （龚珀资龚珀资曲线模型）曲线模型） 一般形式：一般形式：01tybb t2012ktkybb tb tb t 统统 计计 预预 测测中南大学中南大学(一一) 直线趋势外推法直线趋势外推法 适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线上升或适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线上升或下降的情形。下降的情形。该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计描述，通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计其预测值。其预测值。两种处理方式两种处理方式： 拟合直线方程与加权拟合直线方程统

22、统 计计 预预 测测中南大学中南大学例例3.13.1 某家用电器厂某家用电器厂1993199320032003年利润额数据资料如表年利润额数据资料如表3.13.1所示。试预测所示。试预测20042004、20052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份1993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利润额利润额y yt t20020030030035035040040050050063063070070075075085085095095010201020 ？

23、 ？统统 计计 预预 测测中南大学中南大学02004006008001000120019921993 19941995 19961997 19981999 20002001 20022003 20042005利润额yt系列2线性(利润额yt)?A 拟合直线方程法拟合直线方程法22yab x 11yab x 33yab x 11y a bx 使用最小二乘法拟合直线统统 计计 预预 测测中南大学中南大学 概念：离差与离差平方eettteyy离差：11()nnttttteyy离差和：2211()nnitttteyy离差平方和最小拟合程度最好6y6 y最小二乘法原理统统 计计 预预 测测中南大学中南大

24、学最小二乘法原理本 质:使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而求得模型参数的方法。演 进：法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但直至1809年才正式发表。应 用：最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。运算过程：统统 计计 预预 测测中南大学中南大学2211()nnttttteyy离差平方和2211()()( , )nnttttttyyyabxQ a b11111122211111()()()()()()nnttttnnnnttttttttttnnnttttttaybxy

25、bxnnnx yxyxxyybnxxxx0QQab112()02()0ntttnttttQybxaaQx ybxab 统统 计计 预预 测测中南大学中南大学 x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13代入相应的x，得出预测值y yabx统统 计计 预预 测测中南大学中南大学解例解例3.13.1 某家用电器厂某家用电器厂1993200319932003年利润额数据资料如表年利润额数据资料如表3.13.1所示。试预所示。试预测测20042004、20052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份19931993199419941995199519961996199719

26、97199819981999199920002000200120012002200220032003利润额利润额20020030030035035040040050050063063070070075075085085095095010201020统统 计计 预预 测测中南大学中南大学年份年份利润额利润额yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020 xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780

27、490060007650950011220预测值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.310186650665064900011111221111()()()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnx yxybnxx108.3a 82.7b 108.382.7yx200412,1100.7xy年，200513,1183.4xy年，统统 计计 预预 测测中南大学中南大学111111nnnttttttaybxyynnn1111222111()()()nnnnttttttttttnnnttttttnx yxyx ybnxxx

28、对于时间序列，xt 的取值为1到 n , 即自变量 xt 的取值等于其下标 t。采用正负对称编号法可简化计算。特别，当n为奇数时，取其中位数的编号为0，可使 10nttx统统 计计 预预 测测中南大学中南大学拟合直线方程法的特点n 拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数） ty 1tybty n 只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。n 对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。n 用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使趋势值都落在拟合的直线上。n基本过程如下图:2211()nnttttteyy统统 计计 预预 测测中南大学中南大学根 据 模 型预 测求 解 模

29、型参 数 ， 确定 模 型模 型 检 验根 据 观 察的 历 史 数据 画 出 散点 图根 据 曲 线 形状 选 择 模 型(模 型 识 别）拟合直线方程法预测步骤图开 始统统 计计 预预 测测中南大学中南大学在拟合直线方程时，按照时间先后，本着重今轻远的原则，对离差平方在拟合直线方程时，按照时间先后，本着重今轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。权拟合直线方程。由近及远的离差平方和的权重分别为其中由近及远的离差平方和的权重分别为其中 ，说明对最近期数据赋予最大权重为，说

30、明对最近期数据赋予最大权重为 1 ，而后有近及远，按，而后有近及远，按 比比例递减。例递减。各期权重衰减的速度取决于各期权重衰减的速度取决于 的取值。的取值。B：加权拟合直线方程法基本思想：加权拟合直线方程法基本思想0121,n 001,11取值越大（越接近于 ）衰减速度越慢衰减速度越慢0取值越小（越接近于 ）衰减速度越快衰减速度越快1？统统 计计 预预 测测中南大学中南大学加权拟合直线方程法的过程与模型加权拟合直线方程法的过程与模型ttyabx设加权拟合直线方程为：0121,n 由近及远的离差平方和的权重分别为：20211122222111)()()()(nnnnnnyyyyyyyy ntt

31、ttnnttttnbxayyyQ1212)()( 统统 计计 预预 测测中南大学中南大学 nttttnnttttnbxayyyQ1212)()( 求导求导和和对对ba0111 ntttnnttnntttnxbayaQ 01211 ntttntnttnnttttnxbxayxbQ ba？加权拟合直线方程法的过程与模型加权拟合直线方程法的过程与模型统统 计计 预预 测测中南大学中南大学使用加权拟合直线方程法解前例使用加权拟合直线方程法解前例3.1 3.1 某家用电器厂某家用电器厂1993200319932003年利润额数据资料如下表所示。试预测年利润额数据资料如下表所示。试预测20042004、2

32、0052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份1993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利润额利润额200200300300350350400400500500630630700700750750850850950950102010200.8统统 计计 预预 测测中南大学中南大学年份年份x xt t利润额利润额y yt tn-tn-ta a(n-t(n-t) )a a(n-1)(n-1)y yt ta a(n-1)(n-1)x xt ty yt ta a

33、(n-1)(n-1)x xt ta a(n-1)(n-1)x xt t2 2199319931 120020010100.1074 0.1074 21.474836521.474836521.4748364821.474836480.1073740.1073740.1073741820.107374182199419942 23003009 90.1342 0.1342 40.265318440.265318480.530636880.53063680.2684350.2684350.5368709120.536870912199519953 33503508 80.1678 0.1678 5

34、8.72025658.720256176.160768176.1607680.5033160.5033161.509949441.50994944199619964 44004007 70.2097 0.2097 83.8860883.88608335.54432335.544320.8388610.8388613.35544323.3554432199719975 55005006 60.2621 0.2621 131.072131.072655.36655.361.310721.310726.55366.5536199819986 66306305 50.3277 0.3277 206.4

35、384206.43841238.63041238.63041.966081.9660811.7964811.79648199919997 77007004 40.4096 0.4096 286.72286.722007.042007.042.86722.867220.070420.0704200020008 87507503 30.5120 0.5120 384384307230724.0964.09632.76832.768200120019 98508502 20.6400 0.6400 544544489648965.765.7651.8451.842002200210109509501

36、 10.8000 0.8000 760760760076008 88080200320031111102010200 01.0000 1.0000 10201020112201122011111211214.5705 4.5705 3536.5769 3536.5769 31302.7410 31302.7410 36.7180 36.7180 329.5381 329.5381 0111 ntttnnttnntttnxbay 01211 ntttntnttnnttttnxbxayx 统统 计计 预预 测测中南大学中南大学3536.5784.5736.720ab 31302.7436.7232

37、9.540ab 83.66101.70ab预测模型为：101.7083.66ttyx统统 计计 预预 测测中南大学中南大学统统 计计 预预 测测中南大学中南大学使用加权拟合直线方程法解题使用加权拟合直线方程法解题结论分析结论分析 由于时间序列线性趋势比较明显，又由于加权系数较大(0.8)，使得，加权与不加权拟合结果相近。 加权的重近轻远原则，使其预测结果更接近于实际观察值。统统 计计 预预 测测中南大学中南大学 拟合直线方程法的特殊运用拟合直线方程法的特殊运用 在现实生活中，我们常常会遇到比线性（直线）发展趋势更在现实生活中，我们常常会遇到比线性（直线）发展趋势更为复杂的问题。为复杂的问题。例

38、子：例子：某商品过去九年的市场总需求量时间（年）123456789总需求量（件）16527045074012202010312054609000作图观察其变化趋势（图中公式为趋势线函数方程）：作图观察其变化趋势（图中公式为趋势线函数方程）：统统 计计 预预 测测中南大学中南大学010002000300040005000600070008000900010000012345678910某商品总需求量010002000300040005000600070008000900010000012345678910某商品总需求量tbxtyae某商品过去九年的市场总需求量统统 计计 预预 测测中南大学中南大

39、学0100020003000400050006000199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004某公司1991到2003年销售额txtyab又例又例2:某公司某公司19912003年销售额（单位：万元）年销售额（单位：万元）统统 计计 预预 测测中南大学中南大学拟合直线方程的特殊运用拟合直线方程的特殊运用 -非线性问题的线性化非线性问题的线性化上述特别的变化趋势在实际生活中，常常会遇到比上述特别的变化趋势在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势线性发展趋势更为复杂更为复杂的描述问题。的描述问题。但在某些情况下，我们可以通

40、过适当的变量变换，将变量间的关系式化为但在某些情况下，我们可以通过适当的变量变换，将变量间的关系式化为线性的形式。线性的形式。 如：如： 在满足在满足 的变量关系中，的变量关系中， a、b， 均为与均为与 t 无关的未知参无关的未知参数，数， 只要令只要令 ，即可将其化为线性形式关系：，即可将其化为线性形式关系：sinttyabxsinttxx ttyabx统统 计计 预预 测测中南大学中南大学ta bxtyetbxtyaelnty tylnlntyatyattyabx ttyabx变换变换常用转换模型（常用转换模型（3-1）统统 计计 预预 测测中南大学中南大学常用转换模型常用转换模型（3-

41、2）txtyab模型：对于上式两边取对数：lnlnlnlnlntxttyabaxb令：ty lntyalnab lnb则有：ttyab x统统 计计 预预 测测中南大学中南大学常用转换模型（常用转换模型（3-3）运用拟合直线方程法，可求得：11111221111()()()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnx yxybnxx11111221111lnln()(ln)()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnxyxybnxx 进一步用正负编号法11211lnlnnttntttnttaynnxybnx 统统 计计 预预 测测中南大学中南大学例子：某公司例

42、子：某公司19932005年产品的销售额如下表，试预测年产品的销售额如下表，试预测2006年的年的产品销售额。产品销售额。 （非线性变化趋势）（非线性变化趋势）观察期销售额1993181994721995901996210199727019983901999570200090020011500200223102003405020044800200554000100020003000400050006000199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006某公司1993到2005年销售额01000200030004000500

43、06000199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006某公司1993到2005年销售额统统 计计 预预 测测中南大学中南大学观察期观察期销售额销售额xtxt2lnytxt lnyt199318-6362.890 -17.342 199472-5254.277 -21.383 199590-4164.500 -17.999 1996210-395.347 -16.041 1997270-245.598 -11.197 1998390-115.966 -5.966 1999570006.346 0.000 20009001

44、16.802 6.802 20011500247.313 14.626 20022310397.745 23.235 200340504168.306 33.226 200448005258.476 42.382 200554006368.594 51.565 SUM18282.162 81.907 设：该趋势的曲线模型为：设：该趋势的曲线模型为：txtyab11211lnlnnttntttnttaynnxybnx ?ab 6.320.45ab 统统 计计 预预 测测中南大学中南大学观察期观察期销售额销售额xt199318-63.620 37.334 199472-54.070 58.553

45、199590-44.520 91.833 1996210-34.970 144.029 1997270-25.420 225.892 1998390-15.870 354.283 199957006.320 555.649 200090016.770 871.466 2001150027.220 1366.787 2002231037.670 2143.636 2003405048.120 3362.027 2004480058.570 5272.922 2005540069.020 8269.924 200679.470 12970.350 设：该趋势线的模型为：设：该趋势线的模型为：txt

46、yab6.320.45ab tyttyab xty lnty?ty ty6.320.45ttyx 统统 计计 预预 测测中南大学中南大学0100020003000400050006000700080009000199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006某公司1993到2005年销售额预测值预测预测2006年的销售额：年的销售额：20066.320.4579.470y9.470200612970.35ye ( (二二) )指数曲线预测模型：指数曲线预测模型： 一般形式一般形式: : 修正的指数曲线预测模型修正的指数曲线

47、预测模型 ： 对数曲线预测模型：对数曲线预测模型： 生长曲线趋势外推法：生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型皮尔曲线预测模型 ：bttyaettyabclntyabt1tb tLya etbtyk a 三、趋势模型的选择三、趋势模型的选择 图形识别法：图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间成以时间t t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选

48、择较为合适的模型。 差分法：差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。 一阶向后差分可以表示为：一阶向后差分可以表示为： 二阶向后差分可以表示为：二阶向后差分可以表示为： 1tttyyy1122ttttttyyyyyy 差分法识别标准：差分法识别标准：差分特性差分特性使用模型使用模型一阶差分相等或大致相等一阶差分相等或大致相等一次线性模型一次线性模型二阶差分相等或大致相等二阶差分相等或大致相等二次线性模型二次线性模型三阶差分相等或大致相等三阶差分相等或大致相等三次线性模型三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等一阶差分比率相等或大致

49、相等指数曲线模型指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型修正指数曲线模型10.2.2 10.2.2 多项式曲线趋势外推法多项式曲线趋势外推法 背背 景：当变量之间的关系由于受到众多因素的影响，其景：当变量之间的关系由于受到众多因素的影响，其变动趋势并非总是一条直线方程形式，而往往会呈现出不变动趋势并非总是一条直线方程形式，而往往会呈现出不同形态的曲线变动趋势。并且这种变动趋势曲线方程（模同形态的曲线变动趋势。并且这种变动趋势曲线方程（模型）也很难化为线性形式。型）也很难化为线性形式。 曲线趋势外推法曲线趋势外推法 根据时间序数据资料的散点图走

50、向趋势，选择恰当的曲线根据时间序数据资料的散点图走向趋势，选择恰当的曲线方程，利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和法）等来方程，利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和法）等来确定待定的参数，建立曲线预测模型，并用它进行预测的确定待定的参数，建立曲线预测模型，并用它进行预测的方法。方法。统统 计计 预预 测测中南大学中南大学 一、二次多项式曲线模型及其应用一、二次多项式曲线模型及其应用 二次多项式曲线预测模型为：二次多项式曲线预测模型为： 设有一组统计数据设有一组统计数据 ， ， ，令，令 即：即： 解这个三元一次方程就可求得参数。解这个三元一次方程就可求得参数。2012tybbtb t1y2yn

51、y22201201211(,)()()nntttttQ b b byyybbtb t最小值4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby 例例 1 1下表是我国下表是我国19521952年到年到19831983年社会商品零售总额（按当年价格计年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额算），分析预测我国社会商品零售总额 。 1106.71106.7222219731973604.0604.01111196219622849.42849.43232198319831023.31023.3212119721972607.7607.7101019

52、6119612570.02570.0313119821982929.2929.2202019711971696.9696.99 9196019602350.02350.0303019811981858.0858.0191919701970638.0638.08 8195919592140.02140.0292919801980801.5801.5181819691969548.0548.07 7195819581800.01800.0282819791979737.3737.3171719681968474.2474.26 6195719571558.61558.627271978197877

53、0.5770.5161619671967461.0461.05 5195619561432.81432.8262619771977732.8732.8151519661966392.2392.24 4195519551339.41339.4252519761976670.3670.3141419651965381.1381.13 3195419541271.11271.1242419751975638.2638.2131319641964348.0348.02 2195319531163.61163.6232319741974604.5604.5121219631963276.8276.81

54、119521952总额总额（ y yt t ）时序时序（t t）年份年份总额总额 （ y yt t ）时序时序（t t）年份年份总额总额 （ y yt t ）时序时序（t t）年份年份 （1 1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为y y 轴，年份轴，年份为为x x 轴。轴。 （2 2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确定哪一个模型模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将分别对该两种模型进行参能更好地拟合该曲线，则我们将分

55、别对该两种模型进行参数拟合。数拟合。 适用的二次曲线模型为：适用的二次曲线模型为： 适用的指数曲线模型为：适用的指数曲线模型为： 2012tybbtb tbttyae （3 3）进行二次曲线拟合。首先产生序列）进行二次曲线拟合。首先产生序列 ，然后运，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为：为： 其中调整的其中调整的 ， ，则方程，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7151.7。 2t2577.2444.333.29tytt20.9524R 0.05290(2,29

56、)FF (4) (4) 进行指数曲线模型拟合。对模型进行指数曲线模型拟合。对模型 ： 两边取对数：两边取对数： 产生序列产生序列 ，之后进行普通最小二乘估计该模型。，之后进行普通最小二乘估计该模型。最终得到估计模型为：最终得到估计模型为： bttyaelnlntyabtlntylnln 303.690.0627tyt0 .0 6 2 73 0 3 .6 9ttye 其中调整的其中调整的 ， 则方程则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37175.37。 （5 5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用）通过以上两次模型的拟合分析，我

57、们发现采用 二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程：二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程： 进行预测将会取得较好的效果。进行预测将会取得较好的效果。 20.9547R 0.05632.6(1,30)FF2577.2444.333.29tytt 二、三次多项式曲线预测模型及其应用二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为：三次多项式曲线预测模型为： 设有一组统计数据设有一组统计数据 ， ， ，令，令 即：即： 解这个四元一次方程就可求得参数。解这个四元一次方程就可求得参数。230123tybbtb tb t1y223 20123012311( , ,)()()nntt

58、tttQ b b b byyybbtb tbt最小值6352413035342312024332210332210tbtbtbtbyttbtbtbtbyttbtbtbtbtytbtbtbnby2yny10.2.3 10.2.3 指数曲线趋势外推法指数曲线趋势外推法 一、指数曲线模型及其应用一、指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为：指数曲线预测模型为： 对函数模型对函数模型 做线性变换得：做线性变换得： 令令 ，则，则 这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。 二、修正指数曲线模型及其应用二、修正指数曲线模型及其应用 修正指数曲线预测模型为：修正指数曲

59、线预测模型为：bttyae0)( aaeybttlnlntyabtln,lnttYy AatYAbt) 10( cbcaytt10.2.4 10.2.4 生长曲线趋势外推法生长曲线趋势外推法 一、龚珀兹曲线模型及其应用一、龚珀兹曲线模型及其应用 龚珀兹曲线预测模型为：龚珀兹曲线预测模型为： 对函数模型对函数模型 做线性变换得：做线性变换得： 龚珀兹曲线对应于不同的龚珀兹曲线对应于不同的lglg a a与与b b的不同取值范围而的不同取值范围而具有间断点。曲线形式如下图所示。具有间断点。曲线形式如下图所示。tbtykalglglgtykbatbtyka(1) lg(1) lga a0 00 0b

60、 b11(2) lg(2) lga a0 11(3) lg(3) lga a0 00 0b b10 0 b b11k kk kk kk k(1) lg(1) lga a0 00 0b b11k k 渐进线（渐进线（k k）意味着市场对某类产品的需求）意味着市场对某类产品的需求 已逐渐接近饱和状态已逐渐接近饱和状态 。(2) lg(2) lga a0 11k k 渐进线（渐进线（k k）意味着市场对某类产品的需求）意味着市场对某类产品的需求已由饱和状态开始下降已由饱和状态开始下降 。(3) lg(3) lga a0 00 0b b10 0 b b11k k 渐进线（渐进线（k k）意味着市场对某