汽车有限元法第二章课件

1、汽车有限元法汽车有限元法学时安排：24学时有限元基本理论；8学时上机。成绩考核方式：1、平时考勤和作业：30%；2、考试：70%；2第二章第二章有限元法的力学基础理论有限元法的力学基础理论31.1 有限元法的基本思想有限元法的基本思想有限元法有限元法(FEM，Finite Element Method)。的基本思想是：的基本思想是：化整为零、积零为整。化整为零、积零为整。 水坝水坝力学模型力学模型离散化离散化有限元模型有限元模型第一节第一节 概述概述41.2 有限元法的基本步骤有限元法的基本步骤1) 将连续体离散成将连续体离散成有限有限个个单元单元. 节节点点 单单元元 124635天生离散天

2、生离散2) 单元与单元的连接单元与单元的连接仅靠仅靠节点节点相联相联.53) 约束、载荷约束、载荷等效等效到节点上。到节点上。节点载荷节点载荷约束约束62.12.1、弹性力学和材料力学、弹性力学和材料力学1、研究的对象：研究的对象：材料力学主要研究弹性杆件材料力学主要研究弹性杆件( (如梁、柱、轴等）如梁、柱、轴等）弹性力学主要研究弹性体（杆、板、壳、块体）弹性力学主要研究弹性体（杆、板、壳、块体）第二节第二节 弹性力学基础弹性力学基础材料力学解zxIMy弹性力学解弹性力学解( (单位宽度单位宽度, ,矩形截面矩形截面) )534(22hyhyqIMyzx欧拉欧拉伯努力梁伯努力梁铁木辛柯梁铁木

3、辛柯梁应力集中应力集中：材料力学和弹性力学处理的不同：材料力学和弹性力学处理的不同92、研究的方法：研究的方法：已知已知外力、边界条件、几何、材料外力、边界条件、几何、材料求求应力、应变、位移应力、应变、位移满足满足平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程边界条件边界条件104、弹性力学的基本假定、弹性力学的基本假定(1) 连续性（连续性（Continuity）应力、应变、位移等才可以用坐标的应力、应变、位移等才可以用坐标的连续函连续函数数来表示。来表示。(2) 线弹性（线弹性（Linear elasticity）符合符合胡克定律。胡克定律。(3) 均匀性（均匀性（Homogeneit

4、y）弹性常数不随位置坐标而变。弹性常数不随位置坐标而变。（4）各向同性（）各向同性（Isotropy） 弹性常数不随方向而变。弹性常数不随方向而变。符合以上假定称为符合以上假定称为理想弹性体理想弹性体。11(5) 小变形（小变形（Small deformation）受力平衡后仍用原来的尺寸计算受力平衡后仍用原来的尺寸计算弹性力学问题转化为线性问题，符合叠加原理。弹性力学问题转化为线性问题，符合叠加原理。叠加原理叠加原理作用在线弹性和小变形的弹性体上的几组载荷作用在线弹性和小变形的弹性体上的几组载荷产生的总效应，等于每组载荷产生的效应之和，产生的总效应，等于每组载荷产生的效应之和，且与加载顺序无

5、关。且与加载顺序无关。122-22-2、外力、应力、应变、位移、外力、应力、应变、位移1 1）面力：）面力：是分布于物体表面的力。如静水压力，接触力。是分布于物体表面的力。如静水压力，接触力。1、外力、外力 面力分量面力分量 向量表示向量表示 ZYXF 空间问题空间问题 平面问题平面问题 YXF2mN量纲： 正负规定：面力分量正负规定：面力分量 沿坐标轴正向为正沿坐标轴正向为正. .132 2）体力：）体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力。是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力。 体力分量向量表示体力分量向量表示 ZYXF 空间问题空间问题 平面问题平面问题 YXF3m

6、N量纲： 正负规定：体力分量正负规定：体力分量 沿坐标轴正向为正沿坐标轴正向为正 14各边边长各边边长 dx dy dz微元微元yxz xy yx yz zy zx xz各面上应力分量各面上应力分量 xx xy yy xz yx yz zx zy xx九个九个应力应力分量分量 zz zz yy当微小的平行六面体趋于无穷当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表小时，六面体上的应力就代表P点处的应力。点处的应力。2、应力、应力第一个下标表示应力第一个下标表示应力分量所在的面素；分量所在的面素；第二个下标表示应力第二个下标表示应力分量作用线的方位。分量作用线的方位。15yxz x y z

7、 yz zy zx xz xy yx符号规定符号规定当面素的外法线与坐标当面素的外法线与坐标 同向（正面）时，应力分量与同向（正面）时，应力分量与坐标正向一致者为正；坐标正向一致者为正；当面素的外法线与坐标反向当面素的外法线与坐标反向（负面）时，应力分量与坐标（负面）时，应力分量与坐标反向者为正。反向者为正。正面正向，负面负向为正正面正向，负面负向为正16yxz x y z yz zy zx xz xy yx xy yy xz yx yz zx zy xx zz由剪应力互等定律：由剪应力互等定律： xy= yx独立的应力分量只有六个。独立的应力分量只有六个。 空间问题空间问题 Tzxyzxyz

8、yx 平面问题平面问题 TxyyxPamN2或量纲：17、应变、应变 表示表示x向和向和y向线段之间直角的变化，称为向线段之间直角的变化，称为角应变或切应角应变或切应变变以直角减小为正以直角减小为正xy 表示表示x向微分线段的单位伸缩或相对伸缩，称为向微分线段的单位伸缩或相对伸缩，称为线应变或线应变或正应变正应变以伸长为正，缩短为负以伸长为正，缩短为负x应变是无量纲的量 Tzxyzxyzyx空间问题平面问题 Txyyx18、位移 位移就是位置的移动位移就是位置的移动位移的量纲是m Twvu空间问题平面问题 Tvu 弹性力学中的物理量，一般都随位置改变，因而都是坐标的弹性力学中的物理量，一般都随

9、位置改变，因而都是坐标的函数函数192-32-3、两种平面问题、两种平面问题、平面应力问题、平面应力问题(1) 几何特征几何特征等厚度薄板等厚度薄板xyyztbabtat ,(2) 受力特征受力特征外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿 z 方向不变化。方向不变化。20 xyyztba(3) 应力特征应力特征02tzz02tzzx02tzzy0z0zx0zy结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量

10、也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。212、平面应变问题、平面应变问题等截面长柱体等截面长柱体 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸方向的尺寸大得多大得多(理论上理论上无限长无限长)，且沿长度方向几，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化何形状和尺寸不变化。(1) 几何特征几何特征(2) 受力特征受力特征外力外力（体力、面（体力、面力）和力）和约束约束，平平行于横截面作用行于横截面作用，沿沿 z 方向不变化。方向不变化。22任一截面都是对称面。任一截面都是对称面。0, 0, 0yzzyxzzxw0, 0zyzxz(3) 变形特征变形特征结论：结论：平面应变问题只有

11、三个应变分量：平面应变问题只有三个应变分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyy应力分量、位移分量也仅为应力分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。232-4 2-4 平衡微分方程平衡微分方程xyxyxyPBACxyO取微元体取微元体PABC（P点附近点附近），），dxPA dyPB DXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取单位长度。方向取单位长度。AC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdyyyxyx222)(! 21dxxdxxxyxyxydxxxxBC面：面：dxxxyxydyyyy 注：注： 这里用了小变形假定。

12、这里用了小变形假定。24xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy0 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx0Xyxyxx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy0Yxyxyy25xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy 0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyxdyydxxyxyxxyxy2121yxxy当当0, 0dydx时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理2600Y

13、yxXyxyxyyxx平面情况的平衡微分方程平面情况的平衡微分方程1、平衡微分方程适用条件是：符合、平衡微分方程适用条件是：符合连续性连续性和和小变形小变形的假定的假定2、对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同、对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同3、平面平衡微分方程是、平面平衡微分方程是2方程，方程，3未知未知4、平衡方程中不含材料参数、平衡方程中不含材料参数5、平衡方程满足整个弹性体，包括边界。、平衡方程满足整个弹性体，包括边界。272-5 2-5 边界条件边界条件建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。边界分类边界分类（1）位

14、移边界）位移边界SuS（2）应力边界）应力边界xyOqPuSSuSSS28xyOqPuSSuSSS（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界平面情况平面情况vvuuss 用用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量， 表表示边界上位移分量的已知函数。示边界上位移分量的已知函数。vu,0时当 vu称为齐次位移边界。称为齐次位移边界。29xyOqPuSSuSSS（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界YX,xyOdxdydsPABXNYNNyxxyxy斜面的应力公式，得斜面的应力公式，得xyyN

15、lmYyxxNmlXl、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方轴的方向余弦。如：向余弦。如：式中取：式中取：YYXXNN,sxyxysyysxx,YlmXmlsyxsysxysx)()()()(302-6 2-6 几何方程几何方程建立：建立：平面问题中应变与位移的关系平面问题中应变与位移的关系xyOPP点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA变形前变形前变形后变形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。31xyO

16、PPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：点的剪应变：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化yudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxyyuxvxy321 1、平面问题的几何方程、平面问题的几何方程yuxvxyxuxyvy vu00 xyyxxyyx矩阵形式矩阵形式yxyxxy22x22y2变形协调条件变形协调条件332、几何方程的几点说明、如果物体的位移确定，则应变完全确定。、如果物体的应变分量确定，则位移不完全确定。、平面应力和平面应变问题几何

17、方程相同。、几何方程只适合小变形的情况。342-7 物理方程（本构方程）物理方程（本构方程）yxzzxzyyzyxxEEE111xyxyzxzxyzyzGGG111 )1(2EG1 1、空间情况的物理方程（各向同性体）、空间情况的物理方程（各向同性体） f其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又称泊松比。各向同性体有各向同性体有2个独立的弹性常数个独立的弹性常数35zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE)1 (2)1 (2)1 (2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 (

18、)1 ()11()21)(1 ()1 ( f36矩阵的形式表示如下：矩阵的形式表示如下： )1 ( 221000000)1 ( 221000000)1 ( 221000000111000111000111)21)(1 ()1 (zxyzxyzyxzxyzxyzyxE简写为：简写为： D37D称为弹性矩阵称为弹性矩阵 )1 ( 22100000)1 ( 2210000)1 ( 221000111111)21)(1 ()1 (称对ED5 . 01382、平面应力问题的物理方程、平面应力问题的物理方程 )1 (2111xyxyxyxyyyxxEGEE 211)1 (211222xyxyxyyxyyx

19、xEEEE0, 0zzyzxzyxzE f f39平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程用矩阵方程表示：用矩阵方程表示：简写为：简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则简化为：则简化为： 2100010112xyyxxyyxE D 2100010112ED403、平面应变问题的物理方程、平面应变问题的物理方程 )1 (221)21)(1 ()1 ()1 (2)1()21)(1 ()1 ()1()21)(1 ()1 (xyxyxyyxyyxxEEEE0, 0zzyzxzyxz41平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程将式用矩阵方程表示：将式用矩阵方程表示：简写为：简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则为：

20、则为： D )1 (22100011011)21)(1 ()1 (xyyxxyyxE )1 (22100011011)21)(1 ()1 (ED42 2100010112ED )1 (22100011011)21)(1 ()1 (ED平面应力问题弹性矩阵平面应力问题弹性矩阵平面应变问题弹性矩阵平面应变问题弹性矩阵(1)平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：1(2)平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：21E12)1 ()21 (EEE43两类平面问题及其特征两类平面问题及其特征名 称平面应力问题平面应变

21、问题未知量已知量未知量已知量位 移应 变应 力外 力几何形状xyyx,0zxyz)(yxzExyyx,0zxyz0zxyyx,0zxyz0zxyyx,0zxyz)(yxzvu,0wvu,0w体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿平面，且沿 z 向不变化。向不变化。z 方向的尺寸远方向的尺寸远小小于板面内的于板面内的尺寸（等厚度薄平板）尺寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸远方向的尺寸远大大于于xoy平面平面内的尺寸（等截面长柱体）内的尺寸（等截面长柱体）44一、基本方

22、程一、基本方程0Xzyxzxyxx0Yzyxzyyxy0Zzyxzyzxz3个方程个方程(空间空间)2.8 2.8 弹性力学问题的微分提法弹性力学问题的微分提法、平衡方程（平衡方程（Navier) )2个方程个方程(平面平面)00YyxXyxyxyyxx45zwyvxuzyxyuxvxwzuzvywxyzxyz 6 个方程个方程(空间空间)2、几何方程几何方程(Cauchy) 3 个方程个方程(平面平面)yuxvxyxuxyvy46yxzzxzyyzyxxEEE111xyxyzxzxyzyzEEE121212 6 个方程个方程(空间空间)3、物理方程（本构方程）物理方程（本构方程）(Hooke

23、)47 3 个方程个方程(平面平面)3、物理方程（本构方程）物理方程（本构方程）(Hooke) 平面应力物理方程平面应力物理方程 2100010112xyyxxyyxE 平面应变物理方程平面应变物理方程 )1 (22100011011)21)(1 ()1 (xyyxxyyxE48问题的提法问题的提法弹性力学边值问题弹性力学边值问题平衡方程平衡方程 3个个几何方程几何方程 6个个物理方程物理方程 6个个15个个基本未知量：基本未知量：ui 3 个个 ij 6个个 ij 6个个15个个空间问题空间问题49平衡方程平衡方程 2个个几何方程几何方程 3个个物理方程物理方程 3个个8个个基本未知量：基本未知量：ui 2 个个 ij 3个个 ij 3个个8个个平面问题平面问题50空间应力边界条件空间应力边界条件空间位移边界条件空间位移边界条件4、边界条件