函数极限的概念07027PPT学习教案

1、会计学1函数极限的概念函数极限的概念07027一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准则准则 如果数列如果数列nnyx ,及及nz满足下列条件满足下列条件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. .证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1页/共22页,1 ayNnn时恒有时恒有当当,2 azNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取上两式同时成立上两式同时成立, ayan即即, azan恒有恒有时时当当,Nn , azxyannn,成立成立

2、即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限第2页/共22页准则准则 如果当如果当)(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .)(xhy )(xfy )(xgy A A0 x 0 x 0 x）（）（1 2 A第3页/共22页准则准则 和准则和准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.注意注意: :.,).1(的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与

3、与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy时的情形也成立时的情形也成立此准则对于此准则对于 x).2()()()(xhxfxg 夹逼定理示意图夹逼定理示意图A第4页/共22页例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第5页/共22页2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxx

4、x单调减少单调减少单调数列单调数列准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 几何解释几何解释:x1x2x3xnx1 nxMA第6页/共22页例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx第7页/共22页第8页/共22页二、两个重要极限

5、二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx首先注意到首先注意到都有定义都有定义对一切对一切函数函数0sin xxx设法构造一个设法构造一个“夹逼不等式夹逼不等式”，使函数，使函数xxsin在在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数函数 g(x), h(x) 之间，以便应用之间，以便应用准则准则第9页/共22页作如图所示的单位圆作如图所示的单位圆AC)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形

6、,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 x第10页/共22页xxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注注此结论可推广到此结论可推广到1)()(sinlim xxax 有限值，也可为有限值，也可为可为可为，其中，其中时时条件是条件是axax0)(, 第11页/共22页例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原

7、式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例4 求求 30sintanlimxxxx 解解xxxxxcos)cos1(sinlim30 原式原式第12页/共22页 xxxxxxcos1cos1sinlim2011211 例例5 求求xxx 2coslim2 解解xt 2 令令02tx时时则当则当 于是于是xxx 2coslim2 ttt)2cos(lim0 1sinlim0 ttt第13页/共22页(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnnnnnnnnn1!)1

8、()1( ).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 第14页/共22页类似地类似地,).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e第15页/共22页,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxx

9、xxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx 第16页/共22页, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim此结论可推广到此结论可推广到 exxax )(1)(1lim 有限值，也可为有限值，也可为可为可为，其中，其中时时条件是条件是axax0)(, 注注特别有特别有第17页/共22页ettt 10)1(limezzz 10)1(lim例例6 6.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx原式原式xxx )11(1lim.1e 一般地一般地kxxexk 1lim例例7 求求xxxx 11lim第18页/共22页解一解一)121()121(lim221 xxxx原式原式2e 解二解二xxxxx)11()11(lim 原式原式21eee 第19页/共22页三、小结三、小结1.两个准则两个准则夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .2.两个重要极限两个重要极限,为某过程中