函数的幂级数展开式PPT学习教案

1、会计学1函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式2函函数数)(xf能能展展开开成成幂幂级级数数 0nnnxa的的必必要要条条件件是是)(xf在在点点0 x处处有有任任意意阶阶导导数数，且且系系数数 定理, )0(0fa ,! 1)0(1fa ,! 2)0(2fa ,!)0()(nfann 证设设函函数数)(xf能能展展开开成成幂幂级级数数 0nnnxa， 于于是是存存在在0 r使使得得 22100)(xaxaaxaxfnnn)| (rx 第1页/共26页3这这表表明明)(xf是是幂幂级级数数 0nnnxa在在),(rr 内内的的和和函函数数， 在在上上式式中中令令 0 x，即即得得在在0)0(af

2、 . . 利用幂级数的和函数在其收敛区间内可任意阶求导的性质，又又可可得得出出)(xf在在),(rr 内内有有任任意意阶阶导导数数， 11)(nnnxnaxf)| (rx )| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn1! 1)0(af ! 1)0( 1fa 第2页/共26页4 11)(nnnxnaxf)| (rx )| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn! 1)0( 1fa 22)1()(nnnxannxf)| (rx 2! 2)0(af ! 2)0( 2fa 33)2)(1()(nnnxannnxf)| (rx 3! 3)0(af ! 3)0( 3fa 第3页/共26页5

3、)| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn归纳可得，!)0()(kfakk )2 , 1 , 0( k即得, )0(0fa ,! 1)0(1fa ,! 2)0(2fa ,!)0()(nfann 第4页/共26页6函函数数)(xf能能展展开开成成幂幂级级数数 0nnnxa的的充充分分条条件件是是 定理,0)(lim xRnnDx 其其中中 D 是是幂幂级级数数 0)(!)0(nnnxnf的的收收敛敛域域， 2!2)0(!1)0()0()()(xfxffxfxRnnnxnf!)0()( 称为n阶余项. 第5页/共26页71 1. . 求求出出0 x处处的的函函数数值值及及各各阶阶导导数数

4、值值 )0(f, ,)0(f , ,)0(f , ,),0(,)(nf； 0)(!)0(nnnxnf函数 f(x) 展开成幂级数 具体步骤：2. 写出幂级数 ，并求其收敛域 D. 0)(!)0(nnnxnf3 3. . 考考察察0)(lim xRnx在在 D 上上是是否否成成立立。 0)(!)0()(nnnxnfxf)(Dx 如果是,则 f(x)在 D上可展开成麦克劳林级数 第6页/共26页8,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn,! ! 21! e20 nxxxnxnnnx),( x),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn)

5、,( x,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x第7页/共26页9收敛域为: 0 : 1, 1 01 : 1, 1( 1 : )1, 1( 2! 2)1(1)1(xxx nxnn! )1()1( ( n 不为正整数)此外还有,110 nnxx)1, 1( x第8页/共26页10 一般用间接法: 根据展开式的唯一性, 利用已知展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式 .例1将将2e)(xxf 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . ,! e0 nnxnx),( x所以 02! )(e2nnxnx,! )1(02 nnnxn),

6、( x第9页/共26页11将将2eech)(xxxxf 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 例2解,! )1(! )(e00 nnnnnxxnnx ! )2(!4!21! )2(ch24202nxxxnxxnnn,! e0 nnxnx),( x),( x所以),( x第10页/共26页12,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x例3两边求导, 得第11页/共26页13将将)1ln()(xxf 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 因因为为xxf 11)( 两两边边从从 0 0

7、到到x积积分分, ,得得 011)1()1ln(nnnnxx 11)1(nnnnx, , 上上式式对对1 x也也成成立立, ,故故收收敛敛域域为为1 , 1( x, , 例4解， 0)(nnx1| x第12页/共26页14将将xxfarctan)( 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 因因为为 211)(xxf 02)(nnx, , 两两边边从从 0 0 到到x积积分分, ,得得 上述幂级数在上述幂级数在1 x处也收敛处也收敛, ,且且xarctan在在1 x处处有定义且连续有定义且连续, ,所以上述展开式成立的范围为所以上述展开式成立的范围为 例5解 5312)1(arctan53012x

8、xxnxxnnn1 , 1 x1| x第13页/共26页15将将xxf2cos)( 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 例6解法1)2cos1(21cos2xx ,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x 02! )2()2()1(2121nnnnx,! )2(2)1(11212 nnnnxn),( x第14页/共26页16 012! )12()2()1(nnnnx, 两两边边从从 0 0 到到x积积分分, ,得得 0222! )22()2()1(211cosnnnnxx xx2sin)(cos2 所以将将xxf2cos)( 展展开开成成x的的幂幂级级数数.

9、. 例6解法2),( x 12! )2()2()1(21nnnnx,! )2(2)1(1212 nnnnxn,! )2(2)1(1cos12122 nnnnxnx),( x第15页/共26页17将将341)(2 xxxf展展开开成成x的的幂幂级级数数. . )3)(1(1 xx 311121xx 3/1161)1(21xx 003)1(61)1(21nnnnnnxx 036121)1(nnnnx, , 例7解341)(2 xxxf1| x第16页/共26页18将将)34ln()(2xxxf 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 例8解)34ln()(2xxxf )1)(4ln(xx )1ln(

10、)4ln(xx )1ln()41ln(4lnxx ,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x 11)1(414lnnnnnnxnxn,4)4(14ln1 nnnnxn1, 1( x第17页/共26页19.1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例9解221arctan1)(xxxxxxf )11( x xxxx02d11arctan又又 xnnnxx002d) 1(，xarctan ,12)1(012 nnnnx 022)22)(12()1(nnnnnx xnnnxnxxf0012d12)1()( 故故)11( x,)12(2)1(12

11、1 nnnnnx第18页/共26页20 以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数： 000)()(!)(nnnxxnxf其收敛域为D， 并并要要求求余余项项0)(lim xRnx在在 D上上成成立立， nnxxnxfxf)(!)()(00)( )(Dx 则则)(xf在在0 xx 处处的的泰泰勒勒展展开开式式为为 一般利用麦克劳林级数间接展开。第19页/共26页21将将xxf 41)(展展开开成成) 1( x的的幂幂级级数数. . 收收敛敛域域: : 51 x, , 即即)6, 4( x. . 例10解x 41511151 x151 x 0)51(51nnx,)1(5)1(01 n

12、nnnx第20页/共26页22将将xxfsin)( 展展开开成成)4( x的的幂幂级级数数. . )4cos()4sin(21 xx 02012! )2()4()1(21! )12()4()1(21nnnnnnnxnx 0122! )12()4(! )2()4()1(21nnnnnxnx , , 例11解)44sin(sin xx),( x第21页/共26页23例12解11 x，2111231)(2 xxxxxf， 03431nnx；134 x将将函函数数231)(2 xxxf展展开开为为( (4 x) )的的幂幂级级数数. . 而341131 x， 02421241121)4(2121nnxxxx)4(31 x第22页/共26页24， 011)4(3121)( nnnnxxf)2, 6( x， 0343111nnxx；134 x， 0242121nnxx；124 x例12解将将函函数数231)(2 xxxf展展开开为为( (4 x) )的的幂幂级级数数. . 第