函数的连续性65065PPT学习教案

1、会计学1函数的连续性函数的连续性650652一、连续与间断的概念一、连续与间断的概念定义2.10 设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义.(1)如果则称f(x)在点x0连续,并称x0为f(x)的一个连续点.00lim( )() (2.22)xxf xf x(2)如果f(x)在开区间(a,b)内每点都连续,则称f(x)在(a,b)内连续.(3)如果x0不是f(x)的连续点,则称x0为f(x)的间断点,或称f(x)在点x0间断.第1页/共29页3若令00,( )(),xxxyf xf x 00()()0 (0)yf xxf xx 则式(2.22)等价于 连续与间断的几何解析:若f(x)连续,则曲线

2、y=f(x)的图形是一条连续不断的曲线;若x0是f(x)的间断点,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)出发生断裂.第2页/共29页4定义2.11 (1)若f(x)在点x0的某左邻域内有定义,且f(x00)= f(x0),则称f(x)在点x0左连续;若f(x)在点x0的某右邻域内有定义,且f(x0+0)= f(x0),则称f(x)在点x0右连续. (2)若f(x)在闭区间a,b上有定义,在开区间(a,b)内连续,且在点a右连续、在点b左连续,则称f(x)在闭区间a,b上连续.若f(x)在点x0的某邻域内有定义f(x)在点x0连续 f(x)在点x0既左连续又右连续.第3页/共29页5例例2.2

3、5 讨论函数21, 0( )1, 015, 1xxf xxxxx在点x=0和x=1处的连续性.解解 在点x=0处,有f(0)=1+0=100lim( )lim(1)1xxf xx200lim( )lim(1)1xxf xx由此可知0lim( )1(0)xf xf 第4页/共29页6所以,f(x)在x=0处连续.在点x=1处,有211lim( )lim(1)2xxf xx2(1)1 12f 11lim( )lim(5)4xxf xx因左、右极限不相等,故 不存在,x=1是f(x)的间断点.1lim( )xf x由f(10)=f(0)=2可知,f(x)在x=1处左连续.第5页/共29页7(2) 存

4、在;(1)f(x)在点x0处有定义;0lim( )xxf x00(3)lim( )()xxf xf x 这三个条件中只要有一个条件不满足,则依定义, f(x)在x0不连续或x0是f(x)的间断点.函数在f(x)在点x0连续必须满足三个条件:第6页/共29页8(2)若x0为f(x)的间断点,且f(x00)与f(x0+0)至少有一个不存在,则称x0为f(x)的第二类间断点.其中,若f(x00) ,f(x0+0)中至少有一个为无穷大,则称x0为无穷间断点;否则称x0为非无穷第二类间断点.定义2.12 (1)若x0是f(x)的间断点,且左、右极限f(x0), f(x+0)皆存在,则称x0为f(x)的第

5、一类间断点.其中,若f(x00)=f(x0+0) f(x0) 或f(x0)无定义,则称x0为f(x)的可去间断点(重新定义f(x0)=f(x00)=f(x0+0) 可消去间断);若f(x00)f(x0+0) ,则称x0为跳跃间断点.第7页/共29页9第8页/共29页10二、连续函数的性质二、连续函数的性质定理2.9(连续函数的四则运算) 设f(x)与g(x)在点x0(或区间I上)连续,则(1)f(x)g(x) 在点x0(或I上)连续;(2) f(x) g(x) 在点x0(或I上)连续; (3)当g(x0)0 (或g(x0)0,xI )时, f(x)/ g(x) 在点x0(或在I上)连续.第9页

6、/共29页11由 在x0连续和上式,可得定理2.10(复合函数的连续性) 设函数y=f(u)在点u0连续, 在点x0连续,且 ,则复合函数 在x0连续,即有( )ux00()xu ( )yfx00lim ( ) ()xxfxfx注意：( ) x00lim ( )lim ( ) (2.23)xxxxfxfx第10页/共29页12定理2.11(反函数的连续性) 设函数y=f(x)在区间a,b上单调、连续,且f(a)=,f(b)=,则其反函数y=f1(x)在区间,或,上单调、连续.基本初等函数在其定义域内连续.初等函数在其定义区间内连续.第11页/共29页13例例2.26 求下列极限:000ln(1

7、)1(1)lim; (2)lim(0,1)1(3)lim(1)1, xxxxxaaaxxxx为常数.解解 (1)由对数函数连续性,得100ln(1)limlimln(1)xxxxxx10lnlim(1)xxx=ln e=1.第12页/共29页14(2)令u=ax1,则 .由指数函数ax的连续性知, x0时, u0 ,ln(1)lnuxa001lnlimlimln(1)xxuauaxu于是,由本例(1),得10ln(1)(ln )limlnuuaua第13页/共29页15(3)由于ln(1)(1)1e1xxxx其中ln(1)1 (0,xxx由本例(1)ln(1)e1lne (0,ln(1)xxx

8、由本例(2)所以0(1)1limxxxln(1)ln(1) e1ln(1)xxxx第14页/共29页16我们又得到如下等价无穷小:0 , ln(1) 0 , 1ln (01) (2.24)0 , (1)1xaxxxxaxaaxxax时时时知识链接：第15页/共29页17例例2.27 求 .10lim(1),0 xxxaxa解解 令u=ax,则x0 时, u0 ,且有211()1(1)(1)xauuxaaxu而10lim(1)e,uuu于是10lim(1)e .xaxxax201lim(),uauaa第16页/共29页18故f(x)在 内连续.例例2.28 讨论函数1 (2)1 e, 2( )

9、sin(), 2xxf xxx 的连续性.解解 f(x)在(,2)内f(x)=1e1/(x 2) 为初等函数,在2,+)内f(x)=sin(/x) 也为初等函数,(,2)(2,)在分段点x=2处,有1 (2)22lim( )lim(1 e)1(2)xxxf xf 22lim( )limsin()1(2)xxf xxf 第17页/共29页19因此, f(x)在x=2处既左连续又右连续,从而f(x)在x=2处连续.综上所述,f(x)在其定义域(,+)内连续.第18页/共29页20三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质定义2.13 设函数f(x)在区间I上有定义.若存在x0I,使对I内

10、的一切x,恒有00( )() ( )()f xf xf xf x或则称f(x0)是f(x)在I上的最大值或最小值.最大值与最小值合称为最值.第19页/共29页21定理2.12(最值定理) 设函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在a,b上必能取得最大值与最小值.即在a,b上至少存在两点x1,x2,使对任意的xa,b,恒有12( )( )().f xf xf x第20页/共29页22定理2.13(介值定理) 设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(x)在a,b上的最大值为M、最小值为m,则对任何实数C,mCM,至少存在一点x0(a,b),使得f(x0)=C推论2.6 闭区间上的连续函数一定是有界函数.第21页/共29页23推论2.7(零值定理) 设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0, f(1)=e30,g(b)0,则由零值定理可知,存在x*(a,b) ,使得 g(x*)=0即 f(x*)