浅谈线性代数与空间解析几何

1、线性代数论文题目浅谈线性代数与空间解析几何班级1401018学生郭雅楠学0一五年七月九日摘要在我们的学习过程中，可以发现线性代数和空间解析几何中有很多相似之处。确切的说是线性代数中的一些理论是从空间解析几何中发展和改进而来的。比如说通过空间解析几何中多元一次方程组的解法线性代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如在线性代数中先后提出来线性空间、欧氏空间。线性空间也将向量做了推广，使向量抽象化。欧氏空间也在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总

2、体来说线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广和并使之抽象化。关键词：线性代数解析几何欧氏空间联系促进AbstractInourstudyprocess,wecanfindlinearalgebraandspaceanalyticgeometryhavemuchincommon.Exactlylinearalgebratheoryfromsomeofthespaceanalyticgeometryindevelopmentandimprovement.Forexample,byspaceanalyticgeo

3、metryinamultiplelinearalgebraequationssolutionmethodproposeddeterminants,makethedeterminantwithgeometricmeaning,atthesametime,isthedeterminantdirect.Alsothroughthedeterminants,multipleequationssolutionmoreconvenient,fast.Forinstanceinlinearalgebraandlinearspace,hasbroughtouttheEuclideanspace.Theline

4、arspacewillalsovectordopromotion,makevectorabstraction.Euclideanspaceinlinearspaceisputforwardbasedonthedotproduct,makethegeometryofspacevectorofthesomemeasurepropertiesofpromotion,andsoon.Keywords:LinearAlgebra;AnalyticGeometry;EuclideanSpace;Contact;Promotion在十七世纪，笛卡尔及费马在几何空间中引入了坐标系，从而在几何与代数间建立了一座

5、桥梁，用代数方法解决空间的几何问题，产生了解析几何.解析几何的产生，可以说是数学发展史上的一次飞跃.恩格斯曾经这样评价1:数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就成了必要的了.从代数与几何的发展历史来看，线性代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的

6、典型事例。线性代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧氏空间的理论等等。因此它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对线性代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和线性代数中有着紧

7、密的联系，运用解析几何来分析线性代数更直观。同时，线性代数也是解析几何的一个发展、拓宽，比如说欧氏空间。运用线性代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便、快捷，比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。二.正文1线性代数中一些概念的几何直观解释:1.1关于行列式的几何背景2ijk:=a1a2a3b1b2b3以用行列式写为设。=（a1，a2,a3）,3=（b,b2,b3）,丫=（，C2a）；两个向量的向量积可a3量。b3C3表示为图1平行，它在几何上表示的是与a,3向量都垂直且成右手系的向a1a2b1b2C1C2三个向量的混合积可以用行列式（3,BJ）=（gmB）=何解释是它的绝对值等

8、于棱所作的平行六面体的体六面体。此行列式的几以它们3个向量为相邻积（如图1）。特别地，当（a,3,丫）=0时，由于平行六面体的体积为零。所以C1C2C3由此可得：过平面上两点（2,丫1）,（x2,y2）的直线方程为XiyiX2推广空间中有不在同一直线上的三点（xi,yi,zi）（i=1,2,3）的平面方程为xyzx1y1乙x2y2z2x3yz31.2关于正交变换的几何意义在二次型化为标准型时，可以采用可逆变换或正交变换，但由于可逆变换对应于仿射坐标系的变换，正交变换则对应于直角坐标系的变换222所以区别比较大。例如：上+匕+=1:149通过可逆线性变换“化成3z1,222xyz=1,即椭球面变

9、成了球面。通过线性变换ZzJ向量长度和角度不变，因此几何图形不变。所以在讨论二次方程决定的图形时，必须用正交变换;如果只考虑它所属类型时，可以用可逆变换（当然包括正交变换）。还应注意正交变换中：当正交阵的行列式表示为当正交阵的行列式为-11时，是旋转变换；时，为镜面反射变换。1.3关于正交化的几何解释线性无关的向量组可以由Schmidt正交化得到与其等价的正交组，它的几何解释为，如果有3个线性无关的向量a142a3则可以通过Schmidt正交化得到相应的3个正交向量I,2,31,%=%-y2，灯=%-丁3淇中丫2为a2在31上的投影向量；丫3为“3在31、32所确定的平面上的垂直投影向量。2,

10、2.y，化成x+y=1,即椭球面变成了圆枉面。而正交变换保持2向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系3若a,3,丫是三维空间的向量，则：a线性相关；a,3线性相关；a,3,丫线性相关分别对应于几何直观的a为零向量；a,3共线；a,3,丫共面。因此，一维空间的基是空间中任意一个非零向量；二维空间的基是空间中两个不共线向量；三维空间的基是空间中3个不共面的向量组成的。例.1在三维空间中有向量，OA=(ai,a2,a3),OB=(b1，b2,b3),OC=(gc,q),那么,a,b,c共线的充分必要条件是什么？Zx=aib-ait解:过A,B两点的直线方程为y=a2+(b2a2t显然

11、，当且仅当c点满足此方程时,A,B,Cz=a3b3-a3t共线，即存在t,使得OC=(1-t)OA+tOB,于是,A,B,C共线.当且仅当OA,OB,OC中某一向量可以由其余向量线性表示，而且表出系数之和为1。3线性方程组与直线、平面的位置关系空间直线、平面的位置关系为线性方程组的结构理论提供了直观的几何解释，同样线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用。4例.2已知平面上有三条不同的直线，它们的直线方程分别为l1:ax+2by+3c=0l2:bx+2cy+3a=0l3:cx+2ay+3b=0,试证这3条直线交可点的充分必要条件为a+b+c=0。5证明：必要性

12、，设3条直线l1,l2,l3相交于一点ax2by-3c则线性方程组bx+2cy=-3a有唯一解，a2b、a2b故系数矩阵A=b2c与增广矩阵A=b2c2aJc2acx2ay-3b-3c、-3a的秩均为2,于是|A|=0，由于-3b7a2b|A尸b2cc2a-3c-3a=6(abc)a2b2c2-abac-bc=3(abc)(a-b)2(b-c)2(c-a)2-3b但是(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2丰0,a+b+c=0充分性：由a+b+c=0,则从必要性的证明可知：|A|=0,故:秩(A)3。a2b2,12,32r-由于=2(acb2)=-2(a+-b)2+-b20b2c24故：秩fA

13、J=?,于是，秩SJ=秩=因此线性方程组有唯一解，即,3条直线l1,l2,l3相交于一点。4线性代数中解析几何的几种应用或原理4.1 行列式几何意义的应用aiiXi+a2X2+anXn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2将“元一次线性方程组22112222|an1X1-an2X2-annXn=bn可以表示成工|口1+4期+-Qv=艮K中Q-fim3露.l=L2Tr)、P=(bi,bit.idA-fs,M*.*d人当detAHO时,从几何上看,=lt2.n)iE是列向量口在仿射坐标系SIi=12卜的仿射坐标.下面先通过一个二维图形说明如何来确定这些仿射坐标.从图2可以看出，以3与a2为

14、邻边组成的平行四边形有向面积与以X1a1与a2为邻边组成的平行四边形有向面积相等.这是因为两个平行四边形均是以a2为底,h为高.因此，易于看出它们中每一个的有向面积与以a1,a2为邻边的平行四边形有向面积之比均为X1.同理，可以看出X2与哪些平行四边形的有向面积之比相关.因为这些平行四边形的有向面积可以由行列式给出，所以由以上分析立刻可以_I-d_Im.曰1“看出”如下结果lJ=la：仃、ToTol推广到一般n维空间的情况，即有当a0;当0a4-0.所以0.图2仿射坐标4.2 二次型与二次曲面和二次曲线的联系在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是22ax+

15、2bxy+cy=f（1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度日作转轴（反时针方.向转轴）x=xcos二-ysin二;y=xsin二+ycos（2）把方程（1）化为标准方程。在二次曲面的研究中也有类似情况。从代数角度看，所谓化标准方程就是用变量的线性代换（2）化简一个二次其次多项式，使它只含有平方项。二次型就是在这个基础上提出来的。就譬如说二次曲面吧。研究二次曲面：二的+价介+%口123Mh+fti.li+thX，+鼠匕+二0的形状，可以利用矩阵运算把方程写为/1卬/=上工+二。其中11ai2JCf*-X21-VBI1j./壮J,（122这里，i,j=1,2,3。再利用实对

16、称矩阵可以正交相似对角化知，有正交变换x=Qy,使得：即有Vv；+入V/相应地fjfQj1r=,X1I:J4J-r3FJp1IjL.rJLJrJ这样则由于正交变换对应坐标原点不动的坐标轴的变换，因此，方程中的常数项不变。于是就可据此用解析几何讨论图形的形状。二次型化为标准形可以利用解析几何中二次曲线，二次曲面来直观表示；同时，一些二次曲面，二次曲线的化为标准方程的化简可以运用线性代数中的二次型化为标准形的方法来简化，例如配方法、初等变换以及正交变换。例.3:化简二次曲面2xy+2xz-6yz=0比如初等变换f(x,y,z)=2xy+2xz-6yz01A=101-3011一一20010-30-2

17、0则由1A1=1-30f006e1001-11010110001一1001可利用二次型中的初等变换，配方法或正交变换来化简。Ix=x-yz故原二次曲面经过坐标变换y=x+y化简为2x-2y+6z2=0.正交变换也可以。z=z4.3欧氏空间的几何理论在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘，统称为线性运算。如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等。6在解析几何中我们看到，向量的长度、夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显的代数性质。在这种情况下，欧几里得空间（即欧氏空间）应运而生。结论：线性代数与解析几何密不可分。在求解空间解析几何的问题中，线性代数发挥了至关重要的作用。二者是相互联系、相互促进的。二.