工程力学(天津大学)第10章答案

1、习题习题10 1 一工字型钢梁，在跨中作用集中力 F，已知 l = 6m，F = 20kN，工字钢的型号为 20a，求梁中的最大正应力。解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m30maxM查表知 20a 工字钢 3cm237zW 则 MPa6 .126Pa106 .126102371030663maxmaxzWM10 2 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为 l，截面高度为 h，宽度为 b，材料的弹性模量为 E，试求梁下边缘的总伸长。解：梁的弯矩方程为 22121qxqlxxM则曲率方程为 2212111qxqlxEIEIxMxzz 梁下边缘的线应变 2212122qxqlxEIhxhx

2、z 下边缘伸长为 23020221212EbhqldxqxqlxEIhdxxllzl10 3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。10 4 一对称 T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知qlABbhFl/2l/2AB第 十 章 梁的应力和强度计算2l = 1.5m,q = 8KN/m，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。解：1、设截面的形心到下边缘距离为 y1 则有 cm33. 741084104104841y 则形心到上边

3、缘距离 cm67. 433. 7122y于是截面对中性轴的惯性距为 42323cm0 .86467. 24101241033. 3841284zI2、作梁的弯矩图 设最大正弯矩所在截面为 D，最大负弯矩所在截面为 E，则在 D 截面 MPa08.15Pa1008.15100 .8641033. 710778. 168231maxt,yIMzD MPa61. 9Pa1061. 9100 .8641067. 410778. 168232maxc,yIMzD在 E 截面上 MPa40. 5Pa1040. 5100 .8641067. 4100 . 168232maxt,yIMzE MPa48. 8P

4、a1048. 8100 .8641033. 7100 . 168231maxc,yIMzE 所以梁内，MPa08.15maxt,MPa61. 9maxc,10 5 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力 F，已知 l = 4m，b = 120mm，h = 180mm，弯曲时材料l/3BCqAl10cm8cm4cm4cm1.778kN.m1.0kN.m0.667m第 十 章 梁的应力和强度计算3的许用应力=10Mpa，求梁能承受的最大荷载 Fmax。解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4maxFlM矩形截面梁 62bhWz 则由 得 zWMmaxmax 642bhFl 即 N64804318. 012. 0

5、2101032262lbhF10 6 由两个 28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为 Q235 钢，其许用弯曲正应力=170Mpa，求梁的许可荷载F。解：作弯矩图梁内的最大弯矩发生在跨中 FM4max矩形截面梁 3maxmaxcm656.6802zzzzWyIyIW 则由 得 zWMmaxmax zWF4 即 N28927410656.68010170466zWF10 7 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知 l = 3m，F = 3kN，q = 3kN/m，弯曲时木材的许用应Fl/2l/2ABbhF2mBAFF2m2m2m3F3F4F第 十 章 梁的应力和强度计算4力=10MP

6、a，试选择圆木的直径 d。解：作弯矩图 则由 得 zWMmaxmax maxMWz 即 ，得633101010332d145mmm145. 0d10 8 起重机连同配重等重 P = 50kN，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量 F = 10kN，梁材料的许用弯曲应力 = 170Mpa，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。解：设起重机左轮距 A 端为 x，则有 ，2650 xMC803862xxMD 从而确定出 ，kN.m2 .104maxCMkN.m2 .140maxDM 即梁内出现的最大弯矩为kN.m2 .140则由 得 zWMmaxmax 3463ma

7、xm1025. 810170102 .140MWz 又对于本题 maxmax2zzzzWyIyIW所以3344cm5 .412m10125. 421025. 82zzWWABPF1m4m10mCD1mqdFll/3ABC3kN.m1.167m2.042kN.m第 十 章 梁的应力和强度计算5 查表选 25b 号工字钢。10 9 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。解：1、第一种情况 梁内的最大弯矩发生在跨中 82maxqlM矩形截面梁 32632abhWz 则 3332maxmax163283aqlaqlW

8、Mz2、第二种情况 梁内的最大弯矩发生在跨中 162maxqlM矩形截面梁 6632abhWz 则 3332maxmax83166aqlaqlWMz10 10 直径 d = 0.6mm 的钢丝绕在直径 D = 600mm 的圆筒上，已知钢丝的弹性模量E = 2105MPa，试求钢丝中的最大正应力。解： 由 得 zEIM1N.m1024115. 4103 . 03 . 064106 . 01023312411zEIM 200MPaPa1020032106 . 01024115. 43269333maxdMWMz或 200MPaPa10200103 . 03 . 0103 . 010263311m

9、axmaxEyqlBAaa2aaa第 十 章 梁的应力和强度计算610 11 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知 F = 5kN，a = 1.5m， = 10Mpa。试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比 h:b，以及梁所需木料的最小直径 d。解： 66222bdbbhWz 由 得 ，又 所以 时 取06322bddbdWzdb33022 bdbWdzdb33zW极大值，所以弯曲截面系数最大时，即 db33dh361:2:bh梁内的最大弯矩 kN.m5 . 7max FaM矩形截面梁 322736dbhWz 则由 得 zWMmaxmax maxMWz 即 max3273Md 227mmm

10、227. 01010105 . 739393633maxMd10 12 一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限 b= 150Mpa，压缩强度极限 bc= 630Mpa，试求梁的安全因数。解： 1、设截面形心距离下边缘为 y1 则有 mm33.532160104016021201601020401601ybhdABaFFa3aCD1m0.5m1mABD16kNC32kN160200401010第 十 章 梁的应力和强度计算7 则形心到上边缘距离 mm67.14633.532002y于是截面对中性轴的惯性距为 42323mm4 .29013333267.6616010121601033.3340

11、1601240160zI2、作梁的弯矩图 C 截面 MPa057.22Pa10057.22104 .290133331033.531012612331maxt,yIMzC MPa663.60Pa10663.60104 .290133331067.1461012612332maxc,yIMzCB 截面上 MPa442.40Pa10442.40104 .290133331067.146108612332maxt,yIMzB MPa705.14Pa10705.14104 .290133331033.53108612331maxc,yIMzB 所以有 ， ，取安全系数为 3.709。709. 3442

12、.40150tntc385.10663.60630nn10 13 一简支工字型钢梁，工字钢的型号为 28a，梁上荷载如图所示，已知l = 6m，F1= 60kN，F2= 40kN，q = 8kN/m，钢材的许用应力 = 170Mpa， = 100Mpa，试校核梁的强度。解：作内力图qABl/6F1F2l/62l/38kN.m12kN.m80.7kN67.3kN12.7kN72.7kN59.3kN19.3kN2.588m76.7kN.m63.3kN.m86.8kN.m第 十 章 梁的应力和强度计算8则有 MPa8 .170Pa108 .1701015.508108 .86663maxmaxzWM

13、 而 %5%47. 01701708 .170max MPa56.38Pa1056.380085. 01062.24107 .80623max,maxS,maxbISFzz10 14 一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知 l = 6m，q = 6kN/m，F = 20kN，钢材的许用应力 = 170Mpa， = 100Mpa，试选择工字钢的型号。解：作内力图由 得 zWMmaxmax 33463maxcm3 .335m10353. 3101701057MWz查表选 25a（考虑 5%误差可以选则 22b） 。对于所选型号，梁内出现的最大切应力为qABl/2Fl/228kN10kN57kN.

14、m10kN28kN第 十 章 梁的应力和强度计算9MPa21.16Pa1021.16008. 01058.211028623max,maxS,maxbISFzz（如为 22b，） MPa8 .15max所以工字钢型号为 25a（或 22b） 。10 15 由工字钢制成的简支梁受力如图所示。已知材料的许用弯曲应力 = 170Mpa，许用切应力 = 100Mpa。试选择工字钢型号。解：作内力图由 得 zWMmaxmax 33463maxcm6 .488m10886. 4101701005625.83MWz查表选 28a 。对于所选型号，梁内出现的最大切应力为MPa06.54Pa1006.54008

15、5. 01062.2410125.113623max,maxS,maxbISFzz所以工字钢型号为 28a。10 16 外伸梁 AC 承受荷载如图所示，Me= 40KN.m，q = 20KN/m。材料的许用应力= 170Mpa， = 100Mpa。试选择工字钢的型号。q2m1m1mABCMe20kN/mAB0.5m80kN60kN1m2.5mCD113.125kN1.85m56.5625kN.m76.875kN.m83.05625kN.m33.125kN76.875kN16.875kN第 十 章 梁的应力和强度计算10解：作内力图由 得 zWMmaxmax 33463maxcm3 .235m1

16、0353. 2101701040MWz查表选 20a 。对于所选型号，梁内出现的最大切应力为MPa22.33Pa1022.33007. 0102 .171040623max,maxS,maxbISFzz所以工字钢型号为 20a。10 17 图示简支梁是由三块截面为 40mm90mm 的木板胶合而成，已知 l = 3m，胶缝的许用切应力 = 0.5Mpa，试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载 F。解：梁内的最大剪力值为 0.5F 则胶缝处的最大切应力为 FFbISFzz73.611090101212090104040905 . 031239*maxS,max 由 得 F 8100N。ma

17、x10 18 图示结构中，AB 梁与 CD 梁所用材料相同，二梁的高度与宽度分别为 h、b 和 h1和 b，已知l = 3.6m，a = 1.3m，h = 150mm，h1= 100mm，b = 100mm，材料的许用应力 = 10Mpa， = 2.2Mpa，试求该结构所能承受的最大荷载 Fmax。0.5l0.5lBA90mm40mm40mm40mmF0.5l0.5laaBADC hbb h1F40kN40kN.m第 十 章 梁的应力和强度计算11解： 1、对于上梁 作内力图由 得 ，即 zWMmaxmax zWMmax zWFl4 所以有 kN852. 1N10852. 16 . 361 .

18、 01 . 0101044326lWFz 又由 得 ，即 AF23maxS,max 32maxS,AF 322AF 所以有 kN33.29N1033.2931 . 01 . 0102 . 243436AF 2、对于下梁 作内力图由 得 ，即 1maxmaxzWM 1maxzWM 12zWFa 所以有 kN77. 5N1077. 53 . 1615. 01 . 01010223261aWFz 又由 得 ，即 1maxS,max23AF 321maxS,AF 3221AF 所以有 kN0 .44N100 .44315. 01 . 0102 . 2434361AFF21F21Fl41F21F21Fa

19、21第 十 章 梁的应力和强度计算12 综上，取 kN852. 1F10 19 图示木梁受一可移动的荷载 F = 40KN 作用。已知 = 10Mpa， = 3Mpa。木梁的横截面为矩形，其高宽比，试选择梁的截面尺寸。23bh解： 当F位于跨中时，梁内出现最大弯矩 kN10N1010411040433maxFlM 由 得 即 zWMmaxmax maxMWz 从而有 3363max32m100 . 1101010102496Mbbh138.7mmm1387. 0b 又当F位于靠近左右支座时，梁内出现最大剪力 kN202maxS,FF由 得 ，即 AF23maxS,max 23maxS,FA 从而有 2363maxS,2m10101032102032323Fbbh81