高等数学12-03

1、上一页上一页下一页下一页1湘潭大学数学与计算科学学院 王文强第三节、齐次方程第三节、齐次方程一、齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次的方程二、可化为齐次的方程三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页2湘潭大学数学与计算科学学院 王文强一、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义上一页上一页下一页下一页3湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,0)(时时当当 uu

2、f,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 当当, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解上一页上一页下一页下一页4湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的

3、解为解解上一页上一页下一页下一页5湘潭大学数学与计算科学学院 王文强2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解上一页上一页下一页下一页6湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 上一页上一页下一页下一页7湘潭大学数学与计算科学学院 王文强解法解法1轴轴设设旋旋转转轴轴

4、 ox如图如图),0 , 0(光源在光源在)(:xyyL xyoMTNRL上任一点，上任一点，为为设设LyxM),(,yMT 斜斜率率为为为为切切线线,1,yMN 斜率为斜率为为法线为法线,NMROMN 例例3. 在制造探照灯反射镜面时在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状试求反射镜面的形状. Q上一页上一页下一页下一页8湘潭大学数学与计算科学学院 王文强, 022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN xyoMTNRLyxyxyyOMN 11tan yNMR

5、 1tanQONMQOMOMN 上一页上一页下一页下一页9湘潭大学数学与计算科学学院 王文强，令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即上一页上一页下一页下一页10湘潭大学数学与计算科学学院 王文强平方化简得平方化简得,2222xCxCu 得得代回代回,xyu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy 上一页上一页下一页下一页11湘潭大学数学与计算科学学院 王文强o

6、yx可得可得 OMA = OAM = 例例3. 在制造探照灯反射镜面时在制造探照灯反射镜面时,解法解法2: 设光源在坐标原点设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线则反射镜面由曲线 )(xfy 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 .过曲线上任意点过曲线上任意点 M (x, y) 作切线作切线 M T,由光的反射定律由光的反射定律: 入射角入射角 = 反射角反射角xy cotxyy 22yxOM TMAPy取取x 轴平行于光线反射方向轴平行于光线反射方向,从而从而 AO = OMOPAP 要求点光源的光线反要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状试求反射镜面的形

7、状. 而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : xyy22yx 上一页上一页下一页下一页12湘潭大学数学与计算科学学院 王文强利用曲线的对称性利用曲线的对称性, 不妨设不妨设 y 0, 21dd yxyxyx, vyx 则则,yxv 令令21ddvyvy yvyvyxdddd Cyvvlnln)1(ln2 积分得积分得故有故有1222 CvyCy,xvy 代入代入得得)2(22CxCy (抛物线抛物线)221)(vvCy Cyvv 21故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程) 上一页上一页下一页下一页13湘潭大学数学与计算科学学院 王文强顶

8、到底的距离为顶到底的距离为 h ,hdC82 说明说明:)2(22CxCy 2,2dyhCx 则将则将这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程为 hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得代入通解表达式得)0,2(C oyxA上一页上一页下一页下一页14湘潭大学数学与计算科学学院 王文强二、可化为齐次的方程的的微微分分方方程程形形如如111cybxacbyaxdxdy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方程否则为非齐次方程

9、. .11111ckbhaYbXacbkahbYaXdXdY 2.解法解法1.1.定义定义上一页上一页下一页下一页15湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.YbXabYaXdXdY11 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与babaabbaba1111 上一页上一页下一页下一页16湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,11 bbaa令令,)(1cbyaxcbyaxdxdy 方程可化为方程

10、可化为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz .)(11czczadxdzb , 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy 1)(1cczadxdzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.上一页上一页下一页下一页17湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 111 cybxacbyaxfdxdy微微分分方方程程为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc否则为非齐次方程否则为非齐次方程. .推广到一般情形：推广到一般情形：上一页上一页下一页下一页18湘潭大学数学与计

11、算科学学院 王文强.314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 上一页上一页下一页下一页19湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为上一页上一页下一页下一页20湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例

12、5 5 求解微分方程求解微分方程0cos)3sin42()3sin2( ydyyxdxyx解解0)(sin)3sin42()3sin2( ydyxdxyx令令zy sin,34232 zxzxdxdz再令再令uzx 2,239udxdu 两边积分后得两边积分后得,932Cxuu 变量还原得变量还原得.9)sin2()sin2(32Cxyxyx 上一页上一页下一页下一页21湘潭大学数学与计算科学学院 王文强例例6 6 求解微分方程求解微分方程.8237323223yyyxxxyxy 解解,8237322222 yxyxxdxydy,823732)()(222222 yxyxxdyd令令,22yx

13、 ,823732 dd上一页上一页下一页下一页22湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,1208230732 khkhkh由由令令1, 2 YXYXYXdXdY2332 ,2332XYXY 令令XYu XdXduuu )1(2232上一页上一页下一页下一页23湘潭大学数学与计算科学学院 王文强两边同时积分得两边同时积分得,)1(145CXuu 变量还原后得通解变量还原后得通解.)2()1(34252222 xyxCyx上一页上一页下一页下一页24湘潭大学数学与计算科学学院 王文强利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解.)(72的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1

14、dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 上一页上一页下一页下一页25湘潭大学数学与计算科学学院 王文强三、小结齐次方程齐次方程).(xyfdxdy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程. kYyhXx令令上一页上一页下一页下一页26湘潭大学数学与计算科学学院 王文强思考题思考题方程方程 )( )()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方程?上一页上一页下一页下一页27湘潭大学数学与计算

15、科学学院 王文强思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.上一页上一页下一页下一页28湘潭大学数学与计算科学学院 王文强作业作业 P276 1(1), (6); 2 (2), (3); 4(4)上一页上一页下一页下一页29湘潭大学数学与计算科学学院 王文强一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下